1 / 57

Syalom !

Syalom !. Selamat Bertemu Kembali. Bersama Saya. B. Ginting, SPd. ROTASI. ROTASI. C. Pengertian Rotasi dan persamaan Transformasi Rotasi pada Bidang. Pengertian Rotasi Putaran / rotasi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan cara memutar.

pete
Télécharger la présentation

Syalom !

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Syalom ! Selamat Bertemu Kembali Bersama Saya B. Ginting, SPd

  2. ROTASI ROTASI • C. Pengertian Rotasi dan persamaan Transformasi Rotasi pada Bidang. • Pengertian Rotasi • Putaran / rotasi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan cara memutar. • Pengertian persamaan Transformasi Rotasi / perputaran : Misalkan titik P(x,y) terletak pada bidang Cartesius. Titik P(x,y) dirotasikan sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’).Persamaan yang menghubungkan x’ dengan x dan y’ dengan y dinamakan sebagai persamaan transformasi rotasi pada bidang.Persamaan transformasi ini juga ditentukan oleh besar sudut dan titik pusat rotasinya. • Ada 3 hal yang perlu diperhatika dalam rotasi yaitu : • Pusat titik putar • Besar sudut putaran • Arah putaran.

  3. Perhatikan gambar berikut ! 1. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) Di dalam segitiga OAP diperoleh : OA=OP cos β→ x=r cos β dan AP=OP sin β→ y=r sin β Di dalam segitiga OBP’ diperoleh : OB=OP’ cos (β+ θ ) X’=r cos β cos θ - r sin β sin θ X’=x cos θ - y sin θ BP’ = OP’ sin (β+ θ ) Y’=r sin (β+ θ ) Y’=r sin β cos θ + r cos β sin θ Y’=y cos θ + x sin θ Y P’(x’, y’) C r P(x, y) D r β x 0 B A

  4. Jadi dari keterangan diatas dapat disimpulkan bahwa: Misalkan titik P(x,y) diputar sejauh θ dengan titik pusat rotasi di O(0,0) sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Dengan hubungan sbb: X’ = x cos θ - y sin θ Y’ = x sin θ + y cos θ Jadi dapat dituliskan sbb: P(x,y) P’(x’,y’) dimana : X’=x cos θ -ysin θ Y’=x sin θ + y cos θ Secara matriks dapat dituliskan sbb :

  5. 1.A. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ=(+90o). Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut θ= (+90o) maka diperoleh bayangan sbb :

  6. Contoh 1.1.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar +90o dengan titik pusat O(0,0)? Y Jawab : 7 6 P’ (3, 5) 5 4 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 P(5, -3) -3 -4 -5 -6

  7. Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (+90o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(3, 5)

  8. 1.1.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 90o ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb: 2y’ – (-x’) = 10 X’ + 2Y’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 90o adalah x+2y=10

  9. Secara geometrik dapat dilukiskan sebagai berikut : Y G :2x-y=10 7 G’ : x+2y=10 6 B’(0,5) 5 4 A’(2,4) 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B(5,0) -2 A(4, -2) -3 -4 -5 -6

  10. Tugas • Tentukanlah bayangan dari titik A( 5, 10) yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan arah dengan arah jarum jam dengan titik pusat putaran di O(0, 0) • Tentukanlah bayangan dari garis y = 4x – 5 yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ? • Tentukanlah bayangan dari garis x2 + y2 – 2x + 4y = 25 yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ?

  11. 1.B. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= -90o Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ= (-90o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

  12. Contoh 1.2.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-90o) dengan titik pusat O(0,0)? Y • Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 P’ (5, -3) -4 -5 -6

  13. Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-90o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(5, -3)

  14. 1.2.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi -90o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb: 2 (-y’) – x’ = 10 -X’ - 2Y’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 90o adalah x+2y= -10

  15. 1.C. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= 180o . Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ= 180o maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

  16. Contoh 1.3.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar 180o dengan titik pusat O(0,0)? Y • Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 P’ (-3, -5) -6

  17. Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (180o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(-3, -5)

  18. 1.3.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 180o ? • Jawab : • Dengan mensubstitusikan x = -x’ dan y = -y’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb: • 2 (-x’) – (-y’) = 10 • -2X’ + Y’ = 10. • Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 180o adalah 2x- y= -10

  19. 1.D. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= (-180o ). Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ=(- 180o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

  20. Contoh 1.4.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar -180o dengan titik pusat O(0,0)? Y • Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 P’ (-3, -5) -6

  21. Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (180o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(-3, -5)

  22. 1.4.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi (-180o ) ? • Jawab : • Dengan mensubstitusikan x = -x’ dan y = -y’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb: • 2 (-x’) – (-y’) = 10 • -2X’ + Y’ = 10. • Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi (-180o )adalah 2x- y= -10 atau y – 2x = 10

  23. 1.E. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= 270o . Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ= 270o maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

  24. Contoh 1.5.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar 270o dengan titik pusat O(0,0)? Y • Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 P’ (5, -3) -4 -5 -6

  25. Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (270o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(5, -3)

  26. 1.4.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 270o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = -y’ dan y = x’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb: 2 (-y’) – (x’) = 10 -2y’ - x’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 270o adalah x + 2y= -10

  27. 1.F. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= (-270o ). Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ = (- 270o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

  28. Contoh 1.6.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-270o) dengan titik pusat O(0,0)? Y • Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 P’ (-5, 3) 3 2 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6

  29. Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (270o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(-5, 3)

  30. 1.4.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi -270o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb: 2 y’ – (-x’) = 10 2y’ + x’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi -270o adalah x + 2y = 10

  31. Tugas • Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 270 derejat dengan titik pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? • Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (-180) derejat dengan titik pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? • Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (-90) derejat dengan titik pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? • Tentukanlah bayangan garis 5x – 3y = 10 yang diputar sebesar (-270) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ? • Tentukanlah bayangan garis y = 2x2 – 4x + 5 yang diputar sebesar (180) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ?

  32. 2. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) Jika titik P(x,y) kita pandang terhadap titik pusat M(h,k) maka posisi titik P terhadap titik M dapat dituliskan P(x-h, y-k).dan posisi bayangannya P’(x’-h, y’-k) Sehingga dengan demikia dapat dituliskan bayang titik P tersebut didalam koordinat kartesiusnya sbb: P(x,y) P’(x’,y’) dimana : X’-h =(x-h) cos θ – (y-k) sin θ Y’-k =(x-h) sin θ + (y-k) cos θ Secara matriks dapat dituliskan sbb : Y P’(x’, y’) P(x, y) M(h,k) X 0

  33. 2.A. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ=(+90o). • Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut θ= (+90o) maka diperoleh bayangan sbb :

  34. Contoh 2.1.a Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar +90o dengan titik pusat M(2,1)? Y • Jawab : 7 6 5 P’(6, 4) 4 3 2 M(2,1)? 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 P(5, -3) -4 -5 -6

  35. Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (90o) dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(6, 4)

  36. Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 3x-4y=-12 oleh rotasi berpusat di M(-1, 2) dengan susut rotasi 90o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = k+h-x’, h=-1,dan k=2 ke persamaan 3x – 4y = -12 diperoleh sbb: 3(y’+h-k) – 4(k+h-x’) = -12 3(y’+(-1)-(2)) – 4(2+(-1)-x’)= -12 atau 3(y’-3) – 4(1-x’) = -12 3y’ - 9 – 4 + 4x’ = -12 atau 4x’ + 3y’ = -12 + 13 4x’ + 3y’ = 1 Jadi persamaan bayangan kurva 3x – 4y = -12 oleh rotasi berpusat di M(-1,2) dengan sudut rotasi 90o adalah 4x + 3y= 1

  37. 2.B. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (-90o) Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-90o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

  38. Contoh 2.2.a Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-90o) dengan titik pusat M(1,2)? Y • Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 3 M(1,2) 2 1 P’(4, 0) X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6

  39. Secara matematis dapat ditentukan sbb : • Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-90o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(4, 0)

  40. Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -90o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = h+k-y’, y = x’+k-h’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb: 2(h+k-y’) – (x’+k-h) = 12 atau 2(2+3-y’) – (x’+3-2)= 12 2(5-y’) – (x’+1)= 12 atau 10-2y’-x’-1 = 12 -x’ - 2y’ = 12 – 9 atau x’ + 2y’ = -3 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi -90o adalah x + 2y= -3

  41. 2.C. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (180o) . Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (180o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

  42. Contoh 2.3.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar 180o dengan titik pusat M(2,1)? Y • Jawab : 7 6 P’(-1, 5) 5 4 3 2 1 M(2,1) X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 P(5, -3) -4 -5 -6

  43. Secara matematis dapat ditentukan sbb : • Jawab : Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (180o) dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(-1, 5)

  44. Contoh 2.3.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi 180o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb: 2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 12 8 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12 -2x’ + y’ = 10 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah 2x - y= -10

  45. 2.D. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (-180o) . Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-180o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

  46. Contoh 2.4. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-180o) dengan titik pusat M(1,2)? Y • Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 3 2 M(1,2) 1 X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P’(-1, -1) -2 -3 -4 -5 -6

  47. Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-180o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(-1, -1)

  48. Contoh 2.4.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -180o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb: 2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 12 8 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12 -2x’ + y’ = 10 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah 2x - y = -10

  49. 2.E. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (270o) Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (270o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

  50. Contoh 2.5. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesar (270o) dengan titik pusat M(1,2)? Y • Jawab : 7 6 P(3, 5) 5 4 3 M(1,2) 2 1 P’(4, 0) X -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6

More Related