相似形在實物測量上的應用

1. 相似形在實物測量上的應用 利用相似三角形作簡易測量

2. 之前單元的回顧 • 在上次的課程中，我們用AAA、AA、SAS、SSS等性質來判別兩個三角形是否相似。以下則進一步探討，兩相似三角形的對應邊與對應高、對應角平分線、對應中線之間的關係，及對應邊與面積的關係。

3. 相似三角形對應邊的比＝對應高的比 • 如圖，△ABC∼△A‘B’C‘ ，且 於D點， • 於D點，試說明 ： • ＝ ： 。

4. (1)∵△ABC∼△A'B'C'， ∴∠B＝∠B'， ： ＝ ： ---- (2)∵ 且 ， ∴∠ADB＝∠A'D'B'＝90° 故△ABD∼△A'B'D'（AA 相似） ： ＝ ： ------  (3)由式、式知： ： ＝ ：

5. 觀念整合 • 兩個相似三角形， 對應邊的比＝對應高的比＝對應角平分線的比＝對應中線的比。 • 相似三角形面積的比＝對應邊的平方比

6. (2)面積的比＝對應邊的平方比。 如圖 ，△ABC∼△A'B'C'， 則△ABC面積：△A'B'C'面積＝2：2。 • 現實生活中，無法直接求得的距離或長度，常利用相似三角形作簡易測量。

7. 生活中實際的例子 • 相傳兩千六百多年前 ，法老王阿美西斯 （Amasis）很想知道 金字塔（如圖1-19）確 實的高度。於是命令祭司們去丈量，但是祭司們卻束手無策，國王只好以巨額懸賞徵求能人高手前來揭開這個難題。

8. 這時希臘數學家泰勒斯（Thales of Miletus，西元前六、七世紀）正好看到了國王的告示，便燃起挑戰的壯志。他試了幾種方法，還是行不通；然而他並不氣餒。有一天，他走在路上苦思對策，炙熱的太陽照著他孤獨的身體，正當他低下頭時，注意到影子一直跟著自己，而且影子隨著太陽升起愈來愈短，終於觸動了他的靈感，喃喃自語：「在一天之中，一定有一個

9. 時間，身高與影子的長度相等，這時候金字塔的高度與它的影子也會相等。」泰勒斯終於利用推理的方法解決了金字塔高度的問題。時間，身高與影子的長度相等，這時候金字塔的高度與它的影子也會相等。」泰勒斯終於利用推理的方法解決了金字塔高度的問題。 • 泰勒斯如何解決這個問題呢？如下圖，藍線表示太陽光線，人與金字塔分別垂直於地面，因為可視太陽光線為平行，所以△ABC∼△DEF • （AA 相似），

10. 因此當人的身高與影子的長度相等時（ ＝ ），由 ： ＝ ： 可知 ＝ ，即金字塔的高度與金字塔的影子長度相等。

11. 課堂練習題 • 測量樹高 如右圖，心怡想要測 量樹高 ，她在樹前 7.5公尺的C點立了一 根1公尺長的標竿 ， 且 的延長線與 的延長線交於E點，又測得 ＝9公尺，試求樹高 。

12. 解題過程: • ∵ 與 皆垂直於 ， • ∴ // 。 • ： ＝ ： • ：1＝9：（9－7.5）＝9：1.5 • ＝6 • 故樹高 ＝6 公尺。

13. 測量湖寬 • 如圖，湖邊有A、B 兩點，志明想知道它們之間的距離。首先他在湖邊的空地找另一點C，並測得 ＝75 公尺， ＝25 公尺， ＝90公尺， ＝30公尺， ＝28公尺， 試求A、B兩點的距離。

14. 解題過程 • 在△ABC 與△MNC 中， • ∵ ： ＝ ： ＝3：1， • 且∠ACB＝∠MCN， • ∴△ABC∼△MNC（SAS 相似）， • ： ＝ ： • ：28＝3：1 • ＝28．3＝84 • 故A、B 兩點的距離為84公尺。

15. 隨堂練習 • 如右圖，宜君想知道湖邊A 點到湖中小島B 點的距離，她在湖邊找了一點C，並測得 ＝24 公尺， ＝8 公尺， ＝6 公尺， // ，試求A、B兩點的距離。

16. 隨堂練習 • 如圖，志豪想要測量樹高 ，他在樹前5公尺的 D 點豎立了一根長1.8公尺的木棍，並從木棍後方2公尺的觀測點E，觀察到木棍的頂端與樹梢成一直線，已知E點至地面的高度 為1公尺，試求樹高 。