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第二篇：动态电路的时域分析

第二篇：动态电路的时域分析. 第六章 电容元件与电感元件 第七章 一阶电路 第八章 二阶电路. 本章学习目的及要求. 1 、电路二阶微分方程的建立； 2 、求特征根，并由此能判断响应的四种形式（无阻尼、临界阻尼、欠阻尼、过阻尼）； 3 、求四种不同形式的响应。. 包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电感的动态电路称为二阶电路。 本章着重分析含电感和电容的二阶电路，这类电路的响应可能出现振荡的形式。. 方程和初始条件. 补充：二阶线性常系数微分方程的求解. 二阶齐次方程的求解.

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第二篇：动态电路的时域分析

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  1. 第二篇：动态电路的时域分析 • 第六章 电容元件与电感元件 • 第七章 一阶电路 • 第八章 二阶电路

  2. 本章学习目的及要求 1、电路二阶微分方程的建立； 2、求特征根，并由此能判断响应的四种形式（无阻尼、临界阻尼、欠阻尼、过阻尼）； 3、求四种不同形式的响应。 包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电感的动态电路称为二阶电路。 本章着重分析含电感和电容的二阶电路，这类电路的响应可能出现振荡的形式。

  3. 方程和初始条件 补充：二阶线性常系数微分方程的求解 二阶齐次方程的求解 其中 x(t) 为待求变量，a、b、c、A 1及A2 均为常数。

  4. 求通解 特征方程 设特征根（固有频率）为 s1和 s2 ，根据 s1和 s2 的不同情况，（1－1）方程有如下形式的通解。

  5. 确定待定常数 二阶非齐次方程的求解 方程和初始条件 将初始条件(1－2)式代入通解中，可求得待定常数(K1，K2)、(K，)或(K，)。 其中 x(t)为待求变量，w(t)为输入函数，a、b、c、d、A1及A2 均为常数。

  6. 求通解： 其中 xh(t) 为齐次通解，形式取决于微分方程的特征根，称为自由分量；xp(t) 为（2－1）式的一个特解，形式取决于输入函数，称为强制分量。 xh(t)的求解如前所述， xp(t) 的形式与 w(t) 有关。

  7. 第八章 二阶电路 §8.1LC电路中的正弦振荡 §8.2RLC串联电路的零输入响应 §8.3RLC串联电路的全响应 §8.4 GLC并联电路的分析 返回目录

  8. §8.1 LC电路中的正弦振荡 1、LC电路中能量的振荡 设：电容的初始电压为U0，电感的初始电流为零。 (a)在初始时刻，能量全部储于电容中，电感中没有储能，电路的电流为零。由于U0的存在，电容通过电感放电，电路的电流开始增加，能量逐渐转移到电感的磁场中。 (b)当电容电压下降到零的瞬间，电感电压为零， 即di/dt=0，电路电流达到最大值I，此时储能全部 转入到电感。 (c)由于电感电流不能跃变，此时电路的电流开始逐渐减小，电容在该电流的作用下又被充电，只是电压的极性不同。当电感电流下降到零的瞬间，能量又全部转入到电容之中。电容电压又达到U0，但极性与(a)相反。

  9. (d)当电容电压达到U0的瞬间，电容通过电感又开始放电，只是放电电流与上一次放电电流方向相反。随放电电流的增加，能量逐渐又转移到电感的磁场中，电流又达到最大值。(d)当电容电压达到U0的瞬间，电容通过电感又开始放电，只是放电电流与上一次放电电流方向相反。随放电电流的增加，能量逐渐又转移到电感的磁场中，电流又达到最大值。 (e)当电感电流达到最大值的瞬间，电容在该电流的作用下又被充电，当电感电流下降到零的瞬间，能量又全部转入到电容之中，电容电压又达到U0，电路状态又和初始时刻相同，这意味着上述过程将不断地重复进行。

  10. 由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构 成的电路中，随着储能在电场和磁场之间的往返转移， 电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成振 荡。这种电路中不含电阻由初始储能维持的振荡是一种 等幅振荡。 如果电路中含有电阻，在能量转移过程中要被电阻消耗，振荡将不可能是等幅的，幅度会逐渐衰减而趋于零。这种振荡称为阻尼振荡。 如果电路电阻较大，在能量初次转移过程中大部分能量就被电阻消耗，将不可能产生振荡。

  11. ２、LC电路中振荡的方式 右图中，L=1H 、C=1F，uc(0)=1V、iL(0)=0。 上述两个联立的一阶微分方程表明：电压的存在要求有电 流的变化，电流的存在要求有电压的变化。因此电压、电流都必须处于不断的变化状态之中。 结合初始条件：uc(0)=1V、iL(0)=0。 因此，LC回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。

  12. 3、LC电路中的储能 根据电容和电感的储能公式，可得LC回路的储能为： 将u、i、L=1H 、C=1F代入上式, 可得在任何时刻储能均为常量,这就表明: 储能不断地在电场和磁场之间往返,永不消失。

  13. §8.2 RLC串联电路的零输入响应 8.2.1 电路和方程 8.2.2 过阻尼(overdamped)情况 8.2.3 临界阻尼(critically damped)情况 8.2.4 欠阻尼(underdamped)情况 8.2.5 零阻尼情况

  14. 8.2.1 电路和方程 换路后电路如图，电路中无电源，电路响应为零输入响应。 有以下三种初始状态情况： 下面仅以第一种情况为例讨论该电路的零输入响应。

  15. 由KVL，有 ，得微分方程： 代入电容的VAR 初始条件为：

  16. 可求得特征根： （1）式的特征方程为

  17. 1、当 时，即时，S1、S2为两个不相等的负实根，则响应形式为： 2、当 时, S1、S2为两相等的负实根，则响应为： 根据两特征根的形式，响应可分为四种： 称为过阻尼 称为临界阻尼 为临界电阻

  18. 3、当 时，即时，S1、S2为一对共轭复根：称为欠阻尼。则响应形式为 式中： ； ； 4、当R=0时，即＝0时，S1、S2为一对共轭虚根：称为无阻尼。则响应形式为

  19. 令 其中 显然有 8.2.2 过阻尼(overdamped)情况 特征根为两个不相等的负实根，

  20. （1）式通解为： 上式求导，得： 初始条件代入（3）、（4）式，得：

  21. 由（5）式求得 代入（3）得方程（1）满足初始条件的解为： uc t

  22. (1) 且uc(t)单调下降 结果分析： (2) (3) 令 diL / dt =0 , 求得 iL 的极值点

  23. (4) 过渡过程的能量情况如下图所示： (5) 过阻尼情况下，电路具有非振荡的过渡过程。 电压和电流表达式中，特征根 s1= -1对应项在过渡过程中起主要作用。

  24. 特征根为两个相等的负实根： （1）式通解为： 上式求导，得： 8.2.3 临界阻尼(critically damped)情况

  25. 初始条件代入（6）、（7）式，求得： 代入（6）式得微分方程（1）满足初始条件的解为： 分析可知， uc 、iL 波形图与过阻尼情况类似。

  26. 特征根为一对共轭复根： 其中 8.2.4 欠阻尼(underdamped)情况

  27. K 上式求导，得： K2  K1 初始条件代入（8）、（9）式，得： 通解为：

  28. 由（10）式求得 0   其中 d 、d、0及 的关系如下图所示

  29. 方程（1）满足初始条件的解为： 进一步求得：

  30. (2) 0  (3) uc 的过零点为  d iL 的过零点为 由 可求得iL的极值点为 分析： (1) uc和 iL 均是幅值按指数规律衰减的正弦函数。 (4) uc的极值点即 iL的过零点。

  31. + + + C C C L L L - - - R R R 结果分析 *过渡过程中电场和磁场能量相互转换，由于耗能电阻的存在，总能量逐渐减少。

  32. *欠阻尼情况下，电路具有阻尼振荡(damped oscillation)或衰减振荡的过渡过程。由 可知uc(t) 和iL的包络线函数分别为 称  为衰减系数，  越大，则电压和电流衰减越快；称 d为衰减振荡角频率， d越大，则电压和电流振荡越剧烈。

  33. *由 可知，若电路中L、C一定，则R越小，  就越小， d就越大。电路过渡过程的振荡性就会越强，过渡过程时间也会越长。可以想象，若R＝0，则过渡过程会无休止地进行下去。

  34. 8.2.5 零阻尼情况 特征根为一对共轭虚根： （相当于欠阻尼情况下 =0、d = 0 、 = 0 。）

  35. t + C L - 利用欠阻尼情况的分析结果，得： 零阻尼情况下，电路响应为等幅振荡的正弦函数，0称为无阻尼振荡角频率。电场和磁场不断进行着完全的能量交换，但总能量并不减少，任一时刻的电路总能量都等于电路的初始储能。 因振荡仅由电路的初始储能所产生，故称为自由振荡。

  36. 图9-6

  37. 20Ω 50V + - 5Ω iL 0.5H + u - c 20Ω 10Ω 50V 100 F μ + - + uC - 10Ω 5Ω iL 10Ω 10Ω 0+电路 20Ω + 25V 5A 10Ω - iC 10Ω 例1 电路所示如图，t = 0 时打开开关。求 : 电容电压uC , 并画波形图。 解: 0-电路 (1)uc(0-)=25V iL(0-)=5A (2) uc(0+)=25V iC(0+)= -5A

  38. 20Ω 50V (4) + - 5Ω iL 0.5H 由 + u - c 10Ω 100 F μ 10Ω + C L - 25 特征方程为 50S2+2500S+106=0 t>0 电路:

  39. uC 358 25  t 0

  40. 解：由KVL可知 由KCL知 则 例：判断如图所示电路，是过阻尼情况还是欠 阻尼情况。

  41. 而 将式(2)和式(3)代入式(1)得电路的二阶微分方程 其特征方程为

  42. 特征根为 因，电路为过阻尼情况。

  43. 作业 P367: 8-2 8-5

  44. §8.3 直流RLC串联电路的全响应 换路后电路如图，电路响应由电源和电路的原始储能共同产生。 或：

  45. 通解为： 可求得特解： uch为方程对应齐次方程的通解，它的形式决定于方程的特征根也有四种，讨论与零输入响应相同。 初始条件代入通解，即可确定2个待定的积分常数。

  46. 例:电路如图所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uS(t)=(t)V。求t>0时电容电压的零状态响应。 解：t>0时，(t)=1V，可以作为直流激励处理。首先计算电路的固有频率：

  47. 根据这两个固有频率s1=-3+j4和s2=-3-j4，可以得到全响应的表达式为 利用电容电压的初始值uC(0)=0和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程

  48. 求解以上两个方程得到常数K1＝-1和K2＝-0.75，得到电容电压的零状态响应: 可以画出电容电压和电感电流零状态响应的波形为：

  49. 注：图(c)和(d)表示当电阻由R=6Ω减小到R=1Ω，衰减系数由3变为0.5时的电容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。

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