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第十三章 影响线及其应用

第十三章 影响线及其应用. 学习内容         影响线的概念，用静力法和机动法作静定梁的影响线，影响量的计算和最不利荷载位置的确定，连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。 学习目的和要求     掌握影响线的概念和绘制影响线的基本方法。    熟练掌握用静力法和机动法绘制静定梁的影响线。    掌握影响量的计算和最不利荷载位置的确定。    掌握连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。. 移动荷载下的结构分析. 影 响 线. 13.1 移动荷载及影响线的概念. 移动荷载 大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载 。. 反应特点

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第十三章 影响线及其应用

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  1. 第十三章 影响线及其应用 • 学习内容 •         影响线的概念，用静力法和机动法作静定梁的影响线，影响量的计算和最不利荷载位置的确定，连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。 • 学习目的和要求 •     掌握影响线的概念和绘制影响线的基本方法。 •    熟练掌握用静力法和机动法绘制静定梁的影响线。 •    掌握影响量的计算和最不利荷载位置的确定。 •    掌握连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。

  2. 移动荷载下的结构分析 影 响 线

  3. 13.1 移动荷载及影响线的概念 • 移动荷载 • 大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载。 • 反应特点 • 结构的反应（反力、内力等）随荷载作用位 • 置的改变而改变。 • 主要问题 • 移动荷载作用下结构的最大响应计算。线弹 • 性条件下，影响线是有效工具之一。

  4. P=1 P=1 R l/4 R=1 P=1 Y 3/4 1/2 1 1/4 X l/2 R=3/4 P=1 3l/4 R=1/2 P=1 P=1 R=1/4 R=0 ----反力R的影响线 • 影响线定义 • 单位移动荷载作用下某 • 物理量随荷载位置变化规 • 律的图形。 • 影响线作法 • 其一是静力法，另一 • 为机动法（虚功法）。

  5. + + 13.2 作影响线的静力法 一. 静力法作静定梁影响线 首先利用静力平衡条件程建立影响线方程，然后由 函数作图的方法作出影响线----静力法。 YB影响线方程 YB影响线 YA影响线

  6. 一. 静力法作静定梁影响线 k YB影响线方程 a b YB影响线 YA影响线 1 a b + + 1 求k截面弯矩和剪力影响线 取右部分作隔离体 单位力在K点右侧,取左部分作隔离体 MK影响线 1 QK影响线

  7. 一. 静力法作静定梁影响线 k YB影响线方程 a b 求k截面弯矩和剪力影响线 YB影响线 取右部分作隔离体 YA影响线 1 单位力在K点右侧,取左部分作隔离体 a b MK影响线 P=1 1 练习:作YA , MA , MK , QK 影响线. + + A QK影响线 K 1 l/2 l/2 l/2

  8. MA YA x x l P=1 MK MA影响线 QK 1 YA影响线 1 QK影响线 P=1 A K l/2 l/2 l/2 l/2 MK影响线 练习:作YA , MA , MK , QK 影响线. 解: x<l/2 MK=0 QK=0 X>l/2 MK= -(x - l/2 ) QK=1

  9. MA YA x x l P=1 MK MA影响线 QK 1 YA影响线 1 P=1 QK影响线 P=1 k B i 练习:作YB , MA , MK , QK Mi , Qi 影响线. A A K l/4 l/4 l/4 l/4 l/2 l/2 l/2 l/2 MK影响线 MA YB 练习:作YA , MA , MK , QK 影响线. 解: x<l/2 MK=0 QK=0 X>l/2 MK= -(x - l/2 ) QK=1

  10. P=1 k B i A l/4 l/4 l/4 l/4 MA YB x x l/2 P=1 MK l/2 MA影响线 l/4 YB QK 1 l/2 MK影响线 YB影响线 1 QK影响线 MK l/4 P=1 Mi影响线 1 QK Qi影响线 练习:作YB , MA , MK , QK Mi , Qi 影响线. 解: x<l/4 QK=-1 MK=l/4 MK= l/4-(x - l/4 )=l/2-x X>l/4 QK=0 Qi=0 Mi=0 x<3l/4 Mi=3l/4 -x X>3l/4 Qi=1

  11. x 1 x 1 l/4 l/4 l/2 QC影响线 1 NE影响线 1 l/2 ME影响线 l/2 1 QD影响线 l/4 MD影响线 二. 静力法作静定刚架影响线 求 QC , ME , NE , MD , QD影响线 1. QC 影响线 2. ME , NE影响线 3. MD , QD影响线

  12. 纵梁 三.经结点传荷的主梁影响线 横梁 作Mk , Qk影响线 作法: 1.作荷载直接作用 于主梁时的影响线; 主梁 2.将结点投影到影 响线上; 3.将相邻投影点连以直线. ab/l Mk影响线 作法的根据: 1.无论荷载在主梁上 还是在纵梁上,结点处 的纵标相同; b/l Qk影响线 a/l 2.影响线在相邻结点间是直线.

  13. 纵梁 三.经结点传荷的主梁影响线 横梁 作Mk , Qk影响线 作法: 1.作荷载直接作用 于主梁时的影响线; 主梁 2.将结点投影到影 响线上; 3.将相邻投影点连以直线. ab/l Mk影响线 x 作法的根据: 1 1.无论荷载在主梁上 还是在纵梁上,结点处 的纵标相同; 1-x/s x/s s 2.影响线在相邻结点间是直线.

  14. 1 1 1 1 1 a a a 四.静定桁架影响线 桁架承受的是结点荷载。 经结点传荷的主梁影响线 的做法同样适用于桁架。 N1影响线 1

  15. E F G H a 2 3 4 B E F A 1 C D a a a N2 N2 1 B A N1 N1 C D I.L.YA 1 YA YB I.L.YB 1 1 I.L.N3 N2 N3 D 1 I.L.N4 四.静定桁架影响线 1.N1影响线 力在G点右侧: 2 力在F点左侧: I.L.N1 2.N2影响线 I.L.N2 力在G点右侧: 力在F点左侧: 3.N3 影响线 4.N4 影响线 力在G左: N4=0 力在G点: N4=-1

  16. P=1 x l P=1 令 + 13.3 作影响线的虚功法 作静定结构影响线的机动法的理论基础是刚体虚功原 理.下面以静定梁为例说明。 求图示梁支座反力影响线 机动法步骤:解除与所求量对应的约束,得到几何可变体系。令其发生虚位移,并使与该量对应的广义位移为1,方向与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线,基线上部为正。 1 YB影响线

  17. P=1 l x 1 YB影响线 P=1 + 求图示梁支座反力影响线 1 机动法步骤:解除与所求量对应的约束,得到几何可变体系。令其发生虚位移,并使与该量对应的广义位移为1,方向与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线,基线上部为正。 YA影响线

  18. P=1 k l b a Mk a x Mk影响线 1 b/l Qk a/l 练习:作YA , MA , MK , QK 影响线. P=1 + A K l/2 l/2 l/2 求图示梁k截面弯矩和剪力影响线 a 1 （ Qk影响线 机动法步骤:解除与所求量对应的约束,得到几何可变体系。令其发生虚位移,并使与该量对应的广义位移为1,方向与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线,基线上部为正。

  19. Mk 1 ） l/2 YA 1 ） 1 Qk MA 1 1 1 l 练习:作YB , MA , MK , QK Mi , Qi影响线. P=1 P=1 k B i A K A l/2 l/2 l/2 l/4 l/4 l/4 l/4 YA影响线 Mk影响线 Qk影响线 MA影响线 机动法步骤:解除与所求量对应的约束,得到几何可变体系。令其发生虚位移,并使与该量对应的广义位移为1,方向与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线,基线上部为正。 练习:作YA , MA , MK , QK 影响线.

  20. Mi Mk 1 ） YA MA ） 1 ） 1 Qk Qk 1 练习:作YB , MA , MK , QK Mi , Qi影响线. P=1 k B i A l/4 l/4 l/4 l/4 YA影响线 Qk影响线 1 MA影响线 Mi影响线 l/2 l/4 Mk影响线 Q i影响线 1 l/2 机动法步骤:解除与所求量对应的约束,得到几何可变体系。令其发生虚位移,并使与该量对应的广义位移为1,方向与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线,基线上部为正。

  21. A 2 1 B 3 C 4 D 2m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 2m 1m 1m 1 M2 M1 1 （ 例：作YA 、 M1 、 M2 、Q2 、 MB 、Q3 、YC 、Q4 、 QC左 、QC右影响线 YA影响线 YA M1影响线 1 M2影响线 1 （ 1

  22. A 2 1 B 3 C 4 D 2m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 2m 1m 1m Q2 Q3 1 MB 例：作YA 、 M1 、 M2 、Q2 、 MB 、Q3 、YC 、Q4 、 QC左 、QC右影响线 Q2影响线 1 MB影响线 1 （ 2 Q3影响线 1

  23. A 2 1 B 3 C 4 D 2m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 2m 1m 1m YC QC左 Q4 1 QC右 例：作YA 、 M1 、 M2 、Q2 、 MB 、Q3 、YC 、Q4 、 QC左 、QC右影响线 YC影响线 1 Q4影响线 在直角坐标系中,静定 结构的影响线是否一定是 由直线段构成? 除了梁可用机动法 作影响线,其它结构,如 桁架、刚架、三角拱等， 是否也可用机动法？ QC左影响线 1 QC右影响线 1

  24. P=1 P=1 P=1 x 13.4 超静定结构的影响线 以图示梁为例讨论超静定结构的影响线做法。 用力法求解：

  25. k C D E P=1 YA YC MA Mk 例:作图示梁YA、MA、YC、Mk、Qk、MC、QC左、QC右影响线形状。 YA影响线 MA影响线 YC影响线 Mk影响线

  26. k C D E P=1 Qk QC左 QC右 MC 例:作图示梁YA、MA、YC、Mk、Qk、MC、QC左、QC右影响线形状。 Qk影响线 MC影响线 QC左影响线 QC右影响线

  27. P1 P1 P3 P2 P2 PN k k yk yk y2 y2 yN R y1 y3 13.5 影响线应用 一、利用影响线求固定荷载作用下的内力、反力等 Mk=P1y1 +P2y2 +… … + PNyN Mk影响线 y1 Mk=P1y1+P2y2 +P3y3 =RyR yR Mk影响线

  28. 一、利用影响线求固定荷载作用下的内力、反力等一、利用影响线求固定荷载作用下的内力、反力等 Mk=P1y1 +P2y2 +… … + PNyN P1 PN P2 Mk影响线 k k y1 q(x) q(x)dx yk yk y2 yN a b 当q(x)为常数时 y(x) Mk影响线 x Xa x x+dx Xb 0

  29. l/2 l/2 l/2 l/2 k l/4 l/4 l/4 Mk影响线 1/2 1/2 1/2 1/2 Qk影响线 例：利用影响线求k截面弯矩、剪力。 解：

  30. P P P k a b ya yk yb 二、利用影响线确定最不利荷载位置 最不利荷载位置:结构中某量达到最大值(或最小值) 时的荷载位置. 1. 一个移动集中荷载 Mk,max=Pyk Mk,min=Pya Mk影响线 使Mk发生最大值的荷载位置 使Mk发生最小值的荷载位置

  31. 1. 一个移动集中荷载 Mk,max=Pyk Mk,min=Pya Mk影响线 P P P k k 使Mk发生最大值的荷载位置 使Mk发生最小值的荷载位置 a b a b ya yk yb 2. 可动均布荷载(定位荷载) 使Mk发生最大值的荷载分布 使Mk发生最小值的荷载分布

  32. k Mk影响线 例:确定图示连续梁在可动均布荷载作用下Mk的最不 利荷载分布。 使Mk发生最大值的荷载分布 使Mk发生最小值的荷载分布

  33. a b y1 P1 Pk PN P2 C dy1 dx h yk y2 yN 3. 移动集中力系（行列荷载） MC (x)=P1y1 +P2y2 +… … + PNyN MC (x+dx)=P1(y1 +dy1 ) +P2(y2+dy2 ) +… … + PN (yN+dyN ) MC影响线 dMC (x)=P1dy1 + P2dy2 +…+ PNdyN dMC (x)=dy1 (P1+ P2 +…+ Pk)+dyk+1 (Pk+1+ Pk+2 +…+ PN) 满足上式的 Pk 称作临界荷载.记作Pcr 。 临界力位于影响线顶点时的荷载位置称为临界位置。

  34. a b y1 P1 P2 PN Pk C dy1 dx h y2 yk yN MC影响线 ---临界荷载判别式 此式表明:临界力位于那一侧，那一侧的等效均布荷载集度就大。 满足上式的 Pk 称作临界荷载.记作Pcr 。 临界力位于影响线顶点时的荷载位置称为临界位置。

  35. a b y1 P1 P2 PN Pk C dy1 dx h y2 yk yN MC影响线 ---临界荷载判别式 此式表明:临界力位于那一侧，那一侧的等效均布荷载集度就大。 最不利荷载分析步骤： 1、由临界力判别式确定那些力是临界力； 2、计算荷载位于各临界位置时的量值； 3、比较得到的量值，得到最大值； 4、最大值发生时的临界位置即是最不利荷载位置。

  36. 临界荷载判别式： C P4=3 P3=7 P2=2 P1=4. 5kN 6m 10m 4m 5m 4m 最不利荷载分析步骤： MC影响线 P2 P1 1、由临界力判别式确定那些力是临界力； 2、计算荷载位于各临界位置时的量值； 3、比较得到的量值，得到最大值； 4、最大值发生时的临界位置即是最不利荷载位置。 P3 P2 P1 例：求图示简支梁C截面弯矩的最不利荷载位置。 解： > < P1是临界力. > > P2不是临界力.

  37. 临界荷载判别式： 例：求图示简支梁C截面弯矩的最不利荷载位置。 C P4=3 P3=7 P2=2 P1=4. 5kN 6m 10m 1.88 1.25 0.38 4m 5m 4m 最不利荷载分析步骤： MC影响线 P2 P1 1、由临界力判别式确定那些力是临界力； 2、计算荷载位于各临界位置时的量值； 3、比较得到的量值，得到最大值； 4、最大值发生时的临界位置即是最不利荷载位置。 P3 P2 P1 P4 P3 P2 P1 P4 P3 P2 实际计算时，一般并不需验证所有 荷载是否为临界力，只考虑那些数值较 大、排列密集的荷载。 解： P1是临界力；P2不是临界力. > < P3是临界力 3.75 若荷载可以掉头， 如何处理？ < P4不是临界力

  38. P1 P2 PN Pk S影响线 P1 P2 PN Pk R3 R1 R2 若某量S的影响线为多边形，如图所示。 前面讨论的是求 某量最大值，如 何求最小值（绝 对值最大的 负值）？ 荷载组左移 ---临界荷载判别式 荷载组右移 按下面原则确定需判别是否为临界力的荷载情况: 1.较多荷载居于影响线正号范围内,较多荷载居于影响线较大竖标处; 2排列密集、数值较大荷载位于竖标较大的顶点. （例题请见教材例题（5-10））

  39. C 2m 6m 1m 3/4 P1 P2 1/4 QC影响线 P1 P2 P2 P1 若某量S的影响线为直角三角形或竖标有突变，不能用前述方法。 例：求图示简支梁C截面剪力的最大值和最小值。荷载运行方向不变。 已知：P1=10kN， P2 =20kN 解： P1位于C点： P2位于C点：

  40. k x a l -x-a P1 Pk PN R A B l YA P1 Pk Mk YA 三、简支梁的绝对最大弯矩 绝对最大弯矩:所有截面最大弯矩中的最大弯矩。

  41. P1 Pk PN A B l/2 l/2 k x a l -x-a R a/2 a/2 Mk,max(k=1,2…N)中的最大者即是绝对最大弯矩。 实际做法： 1、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界荷载Pcr； 2、计算梁上合力R及与临界力距离a ； 3、移动荷载组，使R与Pcr位于梁中点两侧a/2处。 若没有荷载移出或移入梁，由上式计算绝对最大弯矩； 若有荷载移出或移入梁，从第2步重新计算。

  42. 1、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界荷载Pcr；1、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界荷载Pcr； 2、计算梁上合力R及与临界力距离a ； 3、移动荷载组，使R与Pcr位于梁中点两侧a/2处。 若没有荷载移出或移入梁，由右式计算绝对最大弯矩； 若有荷载移出或移入梁，从第2步重新计算。 A B C 3m 3m R P2 P3 a P2 P3 P1 P2 P3 P4 4.8m 1.45 4.8m a/2 a/2 P2 P3 对于等截面梁,发生绝对最大弯 矩的截面是最危险截面. 例：求图示简支梁的绝对最大弯矩。荷载运行方向不变。 已知：P1= P2 = P3=P4 = 324.5kN 解： P2和P3是MC发生最大值 时的临界力(计算过程略). P3为临界力

  43. 四、内力包络图 内力包络图:在恒载和活载共同作用下,由各截面内力最 大值连接而成的曲线。分弯矩包络图和剪力包络图。 内力包络图的做法:将梁沿跨度分成若干等份,求出各等 份点的内力最大值和最小值;用光滑曲线将最大值连成 曲线,将最小值也连成曲线.由此得到的图形即为内力包 络图。

  44. 280kN 280kN 280kN 280kN 4.8m 1.44 4.8m A B 12m 1471.7 1182.7 660.8 576.8 492.8 408.8 324.8 218.4 134.4 84 56 28 -28 -56 -84 -134.4 -218.4 -324.8 -408.8 -492.8 -660.8 -576.8 1.简支梁内力包络图 弯矩包络图 将梁分成十等份 求各分点截面弯矩最大值 1639.7 1668.7 692.2 用光滑曲线连成曲线 剪力包络图 求各分点截面剪力的 最大值和最小值 用光滑曲线连成曲线 (以上数值未计恒载影响)

  45. 1 2 4 3 5 6m 6m 6m q1 54 49.5 13.5 72 q2 96 63 111 132 q2 72 54 18 q2 36 24 6 18 12 240 90.5 31.5 18 94.5 48 198 166.5 2.连续梁内力包络图 已知:恒载q1=20kN/m 活载q2=40kN/m 作弯矩包络图 将每跨梁分成4等份； 作恒载作用下的弯矩图， 求出各分点弯矩值； 求各分点截面活载作用下的弯矩的最大值和最小值： 求各分点截面活载和恒载共同作用下的最大值和最小值； 用光滑曲线将各最小值连成曲线,将最大值连成曲线即得包络图。 剪力包络图做法类似

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