第三章连续型随机变量及其分布

第三章连续型随机变量及其分布 3.1 一维连续型随机变量及其概率分布 3.2 二维连续型随机变量及其概率分布 3.3 连续型随机变量函数的密度函数

3.1 一维连续型随机变量及其概率分布 3.1.1 分布函数概念 3.1.2 连续型随机变量与密度函数 3.1.3 几个常用的一维连续型分布

3.1.1 分布函数概念 1.定义：设是一个随机变量，是任意实数，令则称为随机变量的分布函数。 2 .计算公式： 3 .若把的值看作数轴上点的坐标，那么表示数轴上的一个随机点，而分布函数表示随机点落在区间上的概率。

例3.1 设随机变量的分布律如表3.1 求的分布函数，并求解：先求分布函数，分几种情况：当时，

当时， 当时，当时，

从而：分布函数 的图形： 0.8 0.6 0.4 0.2 -1 0 1 2 3 4 5

例3.2 设靶子是一个半径为2米的圆盘，每次射击都能中靶，且落在以靶心为圆心的任何一个同心圆内的概率与该圆的面积成正比。用表示弹着点与靶心的距离，试求随机变量的分布函数。解：若，则若，则，即

于是若，则综上，分布函数为：

分布函数的图形：

分布函数的基本性质： （1）是单调非降函数，即对任意的有：（2），且（3）右连续，即

例3.3 设某随机变量的分布函数为 试求常数和解：由于是分布函数，

它的图形如右图：

3.1.2 连续型随机变量与密度函数 定义3.2 是随即变量的分布函数，如果存在某个非负函数，对任意实数有则称为随机变量的密度函数（或者称概率密度函数），同时把称为连续型随机变量。

任意随即变量的密度函数必然满足： 对连续型随机变量，只要已知分布函数或密度函数中的任一个，都可以求得另一个函数。

例3.4 设连续型随机变量的分布函数 式中为未知常数，为已知常数，（1）求常数的值；（2）求的密度函数；

解：

例3.5 设的密度函数为 （1）求常数c；（2）求的分布函数；（3）求

密度函数的其它性质：

例3.6 设随机变量的密度函数 解：

3.1.3 几个常用的一维连续型分布 1、均匀分布设是两个有限实数，，如果随机变量的密度函数为则称服从上的均匀分布。

均匀分布的分布函数为 分布“均匀”性是指落在内任何长度相等的子区间内的概率都是相等的。

2、指数分布 如果随机变量的密度函数为其中为常数，称随机变量服从参数为的指数分布。它的分布函数为

指数分布的密度函数图形： 指数分布的分布函数图形：

3、正态分布 如果随机变量的密度函数为其中，和都是常数,且，则称随机变量服从参数为和的正态分布，记为它的分布函数为：

密度函数曲线 分布函数曲线

当时的正态分布称为标准正态分布。

正态分布密度曲线关于对称，并在 处达到最大值

固定，改变，曲线形状不变，只是沿着 轴平移，即参数决定了曲线的中心位置。 • 固定，改变，曲线形状随着变小而变得尖，随着变大，而变得平缓。

例3.7 设，求 解：

例3.8 设 解：

3.2 二维连续型随机变量及其概率分布 3.2.1联合分布函数和边缘分布函数 3.2.2联合密度函数和边缘密度函数 3.2.4 随机变量的独立性 3.2.5 二维正态分布

3.2.1联合分布函数和边缘分布函数 定义3.3 设(ξ,η)是二维随机变量，x,y是任意实数，令，则称F(x,y)为二维随机变量(ξ,η)的联合分布函数，简称为(ξ,η)的分布函数。

二维随机变量的联合函数的基本性质： • F(x,y)对x和y分别是单调非降的，即对任意固定的x，任意实数y1<y2有：F(x,y1) ≤ F(x,y2)；对任意固定的y，任意实数x1<x2有：F(x1,y) ≤ F(x2,y) • 0 ≤ F(x,y) ≤ 1；F(-, -)=0；F (+, +)=1 • (3) F(x,y)对x和y分别右连续，即对任意的x,y有 • F(x+0,y)=F(x,y)；F(x,y+0)=F(x,y)；

(4) 对任意的x1<x2和y1<y2有 F(x2, y2)+ F(x1, y1)- F(x1, y2)- F(x2, y1) ≥ 0 任何二维随机变量的分布函数都满足以上四条性质，反之，满足这四条性质的函数都可以作为某个二维随机变量的联合分布函数。

二维随机变量(ξ,η)的每个分量都是一维随机变量，都有自己的分布函数，称之为边缘分布函数。二维随机变量(ξ,η)的每个分量都是一维随机变量，都有自己的分布函数，称之为边缘分布函数。 Fξ(x)=P{|ξ()≤x}=P{ξ≤x,η≤+}=F(x,+); 同样： Fη(x)=F(+,y) 对二维离散型随机变量，联合分布：

3.2.2联合密度函数和边缘密度函数 定义3.4 设F(x,y)是(ξ,η)的联合分布函数，如果存在一个函数f(x,y)，使得对于任意的x和y恒有则称f(x,y)为二维随机变量(ξ,η)的联合概率密度函数(简称密度函数)，同时称(ξ,η)为二维连续型随机变量。

联合密度函数具有的性质： 反之，满足这两个条件的函数f(x,y)都可以作为某个连续型二维随机变量的密度函数。

二维随机变量(ξ,η)的每个分量也有密度函数。若ξ 的边缘分布函数为Fξ(x)，如果存在某个函数fξ(x)，对于任意实数x，有，则称fξ(x)为ξ的边缘密度函数。边缘密度函数与联合密度函数的关系式：

设G是平面上的有界区域，面积为A，若(ξ,η)的密度函数设G是平面上的有界区域，面积为A，若(ξ,η)的密度函数则称(ξ,η)在G上服从均匀分布。

例3.9 设(ξ,η)在以原点为中心的单位圆上服从均匀分布，求(ξ,η)的联合密度函数，和求ξ,η的边缘密度函数。解：因x2+y2 ≤1的面积为，所以联合密度函数为

ξ的边缘密度函数为 同理，η的边缘密度函数为

例3.10 设(ξ,η)的联合密度函数为 试求(1)ξ和η的边缘密度函数； (2)ξ和η的联合分布函数和边缘分布函数； (3)P{(ξ,η) G},G如右图所示； (4)P{ξ ≤ η};

由于f(x,y)仅在第一象限非0，故积分区域K如右图：由于f(x,y)仅在第一象限非0，故积分区域K如右图：

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