1 / 41

เมตริกซ์

เมตริกซ์. บทนิยาม. ถ้า A เป็นเมตริกซ์ที่มี m แถว n หลัก จะเรียกว่า A มีมิติ m x n (อ่านว่า เอ็ม คูน เอ็น ). เช่น. 2 1 3 4 5 6. เรียกว่า 2 x3 เมตริกซ์. มีมิติ 2 x3. [ -1 4 ]. มีมิติ 1 x2. เรียกว่า 1 x2 เมตริกซ์. นิยาม.

pilis
Télécharger la présentation

เมตริกซ์

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. เมตริกซ์ บทนิยาม ถ้า A เป็นเมตริกซ์ที่มี m แถว n หลัก จะเรียกว่า A มีมิติ m x n (อ่านว่า เอ็ม คูน เอ็น ) เช่น 2 1 34 5 6 เรียกว่า 2x3 เมตริกซ์ มีมิติ 2x3 [ -1 4 ] มีมิติ 1x2 เรียกว่า 1x2 เมตริกซ์

  2. นิยาม ถ้า A เป็น m xn เมตริกซ์ใด ๆ แล้ว ทรานสโพสของ A คือ n x m เมตริกซ์ ที่มี หลักที่ i เหมือนแถวที่ i ของเมตริกซ์ A เมื่อ i = 1, 2, 3, …, m ทรานสโพสของ A เขียนแทนด้วย At A t = [ 2 ] เช่น จะได้ A = [ 2 ] 1 3 B t = จะได้ B = [ 1 3 ] 2 4-1 0 3-2 2 4 -10 3 -2 C t = จะได้ C =

  3. นิยาม • เมตริกซ์ A = [ aij ] mx n และ B = [ bij ] px q • จะเป็นเมตริกซ์ที่เท่ากัน เขียนแทนด้วย A = B ก็ต่อเมื่อ • ( 1 ) m = p และ n = q • ( 2 ) aij = bij สำหรับทุก i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …, n

  4. ตัวอย่าง x + 2y 1 0 4 3 10 2x และ B = กำหนด A = จงหาจำนวนจริง x และ y ที่ทำให้ A = B วิธีทำ 2x = 4 และ x + 2y = 3 2 + 2y = 3 ดังนั้น x = 2 จะได้ y = x = 2 และ y = ดังนั้น จะได้

  5. บทนิยาม กำหนดให้ A = [ aij]mxnและ B = [bij]mxnผลบวกของ A และ B เขียนแทนด้วย A + B โดยที่ A + B = [ aij+ bij]mxn 1+(-2) 2+10+(-1) 3+4 -2 1-1 4 -2 1-1 4 เช่น 1 20 3 + = -1 3-1 7 =

  6. ตัวอย่าง 1 2-3 0 0 13 4 จงหาเมตริกซ์ X กำหนด + = X a bc d วิธีทำ ให้ X = จะได้ ดังนั้น a = -1 0 1 + a = 1 2 + b = ดังนั้น b = -1 จะได้ ดังนั้น c = 6 3 -3 + c = จะได้ ดังนั้น d = 4 0 + d = 4 จะได้ -1 -1 6 4 X ดังนั้น =

  7. บทนิยาม กำหนดให้ A = [ aij]m x nจะได้ว่า - A = (-1)A กำหนดโดย - A = [ -aij ]m x n 1 -1 6 4 -1 1 -6 - 4 เช่น A = จะได้ - A =

  8. บทนิยาม กำหนด A = [ aij ]m x nและ B = [ bij ]m x n A - B เป็นเมตริกซ์มิติ m x n โดยที่ A - B = A + (-B) = [ aij ]m x n + [ -bij ]m x n -2 -1 5 4 1 -1 -3 4 เช่น 1 -1 -3 4 2 1 -5 - 4 - = + 3 0 -8 0 =

  9. ตัวอย่าง 1 2 0 -1 3 0 -2 1 = กำหนด 2x + 3 จงหาเมตริกซ์ x วิธีทำ 3 60 -3 3 0 -2 1 2x = จะได้ - 0 -6-2 4 = 0 -3-1 2 ดังนั้น x =

  10. บทนิยาม ถ้า A = [ aij ]m x nและ B = [ bij ]n x p ผลคูณ AB จะเป็นเมตริกซ์ที่มีมิติ m x p โดยที่ AB = C = [ cij ]m x p นิยามโดย Cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + . . . + ainbnj

  11. ตัวอย่าง 1 2 0 1 1 0 2 1 3 4 1 0 จงหา AB B = กำหนด A = วิธีทำ (2)(2) + (1)(1) + (3)(0) (2)(1) + (1)(0) + (3)(1) AB = (4)(1) + (1)(0) + (0)(1) (4)(2) + (1)(1) + (0)(0) เท่ากันคูณกันได้ 5 5 เมตริกซ์ 2x3 คูณกับ เมตริกซ์ 3x2 = 4 9 ผลลัพธ์มีมิติ 2x2

  12. ตัวอย่าง 1 2 0 1 1 0 2 1 3 4 1 0 จงหา BA B = กำหนด A = วิธีทำ (1)(2) + (2)(4) (1)(1) + (2)(1) (1)(3) + (2)(0) (0)(2) + (1)(4) (0)(1) + (1)(1) (0)(3) + (1)(0) BA = (1)(1) + (0)(1) (1)(3) + (0)(0) (1)(2) + (0)(4) 10 3 3 เท่ากันคูณกันได้ เมตริกซ์ 3x2 คูณกับ เมตริกซ์ 2x3 = 4 1 0 ผลลัพธ์มีมิติ 3x3 1 2 3

  13. 5 5 จากผลคูณ AB = 4 9 10 3 3 BA = 4 1 0 1 2 3 ดังนั้น AB BA จะเห็นว่า A 2จะหาค่าได้เมื่อ A เป็นเมตริกซ์จตุรัส

  14. สมบัติการคูณสำหรับเมตริกซ์ 2x2 เมตริกซ์ 1. สมบัติปิด คือ A , B เป็น 2x2 เมตริกซ์ แล้ว AB เป็น 2x2 เมตริกซ์ด้วย A(BC) คือ (AB)C = 2. เปลี่ยนกลุ่ม 1 0 3. เอกลักษณ์ คือ มีเมตริกซ์ I = ซึ่ง IA = AI = A 0 1 a b 4. อินเวอร์ส ให้ A = c d -b d โดยที่ ad - cb 0 โดยที่ A-1 = a -c ซึ่งทำให้ AA-1 = A-1A = I 5. แจกแจง คือ A(B + C) = AB + AC (A + B )C = AC + BC หรือ

  15. ตัวอย่าง -3 1 -2 1 ถ้า A-1มี จงหา A-1 กำหนด A = 0 - (-2)(1) = -1 จะได้ (-3)(1) วิธีทำ 1 -1 -(-2) -3 ดังนั้น มี A-1 ซึ่ง A-1 = 1 -1 2 -3 1 -1 2 -3 (-1) = -1 1 -2 3 ดังนั้น A-1 =

  16. 1 2 1 3 0 1 -1 2 ตัวอย่าง กำหนด A จงหา A = วิธีทำ -1 -1 จะได้ 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 A 0 1 -1 2 = 0 1 -1 2 3 -2 -1 1 = AI (1) -1 1 ดังนั้น A = -5 4

  17. ดีเทอร์มินันต์ กำหนดให้ A = [ aij] n x n ดีเทอร์มินันต์ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ det(A) หรือ | A | a11 a12 a13 . . . a1n = a21 a22 a23 . . . a2n . . . . . . . an1 an2 an3 . . . ann

  18. บทนิยาม ถ้า A = [ a ] เป็นเมตริกซ์ที่มีมิติ 1x1 แล้ว det (A) = a เช่น ถ้า A = [ 5 ] แล้ว det (A) = 5 บทนิยาม a11 a12a21 a22 ถ้า A = เป็นเมตริกซ์ที่มีมิติ 2x2 แล้ว det (A) = a11a22 - a21a12 -1 1 -2 3 -1 1 -2 3 - (-1)(3) (-2)(1) เช่น ถ้า A = แล้ว det(A) = = -1

  19. ไมเนอร์(Minor) บทนิยาม กำหนด A = [ aij ]n x n โดยที่ aijเป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็ม ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2ไมเนอร์ของ aijคือ ดีเทอร์มินันต์ของเมตริกซ์ที่ได้ จากการตัดแถวที่ i หลักที่ j ของเมตริกซ์ออกเขียนแทนไมเนอร์ของ aij ด้วย Mij(A)

  20. 2 -1 11 4 0 2 0 -2 ตัวอย่าง กำหนด A = จงหา M13(A) ,M22(A) วิธีทำ M13(A) ตัดแถว 1 หลัก 3 ออก 1 42 0 - 8 = - = (1)(0) (2)(4) จะได้ M13(A) = M22(A) ตัดแถว 2 หลัก 2 ออก 2 12 -2 (2)(-2) - (2)(1) = - 6 = จะได้ M22(A) =

  21. โคแฟกเตอร์ (Cofactor) บทนิยาม กำหนด A = [ aij ]n x n โดยที่ aijเป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2โคแฟกเตอร์ของ aijคือ ผลคูณของ (-1)i+jและ Mij(A)เขียนแทนโคแฟกเตอร์ของ aijด้วย Cij(A) จากนิยาม Cij(A) = (-1)i+j Mij(A) จะได้

  22. 2 -1 11 4 0 2 0 -2 ตัวอย่าง กำหนด A = จงหา C13(A) , C21(A) วิธีทำ จาก C13(A) = (-1)1+3M13(A) 1 42 0 (1)(0) - (2)(4) - 8 = = จะได้ (-1)1+3M13(A) = (1) -1 1 0 -2 จาก M21(A) = = (-1)(-2) - (0)(1) = 2 = (-1)(2) = -2 C21(A) = (-1)2+1M21(A) ดังนั้น

  23. ดีเทอร์มินันต์ บทนิยาม กำหนด A = [ aij ]n x n โดยที่ aijเป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2ดีเทอร์มินันต์ของ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์det(A) กำหนดโดย det(A) = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) + ai3Ci3(A) + … +ainCin(A) หรือ det(A) = a1jC1j(A) + a2jC2j(A) + a3jC3j(A) + … +anjCnj(A)

  24. 2 -1 11 4 0 2 0 -2 ตัวอย่าง จงหา det(A) A = กำหนด หาตามแถวที่ 1 วิธีทำ a11C11A) + a12C12(A) + a13C13(A) จะได้ det(A) = + (-1)(2) 2(-8) + 1(-8) = = - 26

  25. การหาดีเทอร์มินันต์ 3x3 เมตริกซ์วิธีลัด - - - 2 -1 11 4 0 2 0 -2 212 -1 4 0 ( เขียนเพิ่มอีก 2 หลัก ) A = + + + (1)(1)(0) + det(A) = (2)(4)(-2) + (-1)(0)(2) (0)(0)(2) (2)(4)(1) - - (-2)(1)(-1) - -16 = + 0 + 0 - 8 + 0 - 2 - 26 det(A) =

  26. สมบัติดีเทอร์มินันต์ 1. ถ้า A เป็นเมตริกซ์ nxn เมตริกซ์ ที่มีแถวใดแถวหนึ่ง (หรือหลักใดหลักหนึ่ง) เป็น 0 ทั้งหมด จะได้ det(A) = 0 2. ถ้า A เป็นเมตริกซ์ nxn เมตริกซ์ ที่มีสองแถว(หรือสองหลัก) ใดๆ เท่ากัน จะได้ det(A) = 0 3. ถ้าเมตริกซ์ B เกิดจาก n x n เมตริกซ์ A โดยการสลับแถว คู่ใดคูหนึ่ง(สลับหลักคู่ใดคู่หนึ่ง) จะได้ det(B) = - det(A) 4. ถ้าเมตริกซ์ B เกิดจาก n x n เมตริกซ์ A โดยการคูณแถว ใดแถวหนึ่ง(หลักใดหลักหนึ่ง) ด้วยค่าคงตัว kจะได้ det(B) = k det(A)

  27. 5. ถ้าเมตริกซ์ B เกิดจาก n x n เมตริกซ์ A โดยการคูณแถว ใดแถวหนึ่ง(หลักใดหลักหนึ่ง) ด้วยค่าคงตัว แล้วนำไปบวก กับแถวหนึ่ง(หลักหนึ่ง) จะได้ det(B) = det(A) 6. ถ้า A เป็น n x n เมตริกซ์ ซึ่งแถวที่ i (หลักที่ i ) ของ A เท่ากับ ผลคูณของค่าคงตัวกับแถวที่ j(หลักที่ j) จะได้ว่า det(A) = 0 7. ถ้า A , B เป็น nxn เมตริกซ์ จะได้ ว่า det(AB) = det(A) det(B) 8. เมตริกซ์ A ซึ่งเป็น nxn เมตริกซ์ จะมีอินเวอร์สการคูณ เมื่อ det(A) 0 ซึ่ง det(A-1) =

  28. 9. det(At) = det (A) 10. det ( Inxn) = 1 11. det ( ) = 0 12. ถ้า A เป็น nxn เมตริกซ์ แล้ว det(kA) = kndet(A)เมื่อ k เป็นจำนวนจริง 2 13 4 det(A) = 5 เช่น A = 8 412 16 det(4A) = 42 (5) = 80 4A =

  29. บทนิยาม กำหนด A = [ aij ]nxnโดยที่ n 2 และ Cij แทนโคแฟกเตอร์ ของ aijโคแฟกเตอร์เมตริกซ์ของ A คือ nxn เมตริกซ์ ซึ่งสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j คือ Cij เขียนแทนโคแฟกเเตอร์ของเมตริกซ์ A ด้วยสัญลักษณ์ cof. A

  30. ตัวอย่าง 1 -1 02 3 -2 -3 0 4 จงหา cof. A กำหนด A = 3 -20 4 (1) วิธีทำ C11 = (1) (12) = 12 = 2 -2-3 4 (-1) C12 = (-1)(2) = -2 = ในทำนองเดียวกันจะได้ C22 = 4 C23 = 3 C21 = 4 C13 = 9 C31 = 2 C32 = 2 C32 = 5 12 -2 9 4 4 3 2 2 5 ดังนั้น cof. A =

  31. แอดจอยต์เมตริกซ์ (Adjoint matrix) บทนิยาม กำหนด A = [ aij ]nxn โดยที่ n 2 แอดจอยต์ ของเมตริกซ์ A คือ ทรานสโพสของ cof. A เขียนแทนแอดจอยต์ของเมตริกซ์ A ด้วย adj. A

  32. 1 -1 02 3 -2 -3 0 4 ตัวอย่าง กำหนด A = จงหา adj. A (จากตัวอย่างที่ หา cof.A มาแล้ว) วิธีทำ 12 -2 9 4 4 3 2 2 5 เนื่องจาก cof. A = t 12 -2 9 4 4 3 2 2 5 12 4 2-2 4 2 9 3 5 ดังนั้น adj.A = =

  33. บทนิยาม กำหนด A = [ aij ]nxnโดยที่ n 2 ถ้า det(A) 0 จะได้ว่า A-1 =

  34. 1 -1 02 3 -2 -3 0 4 ตัวอย่าง จงหา A-1 กำหนด A = 12 + (-6) + 0 - 0 - 0- (-8) = 14 det(A) = วิธีทำ 12 4 2-2 4 2 9 3 5 adj.A = ( หามาจากตัวอย่างก่อนแล้ว) 12 4 2-2 4 2 9 3 5 ดังนั้น A-1 = =

  35. การแก้ระบบสมการโดยใช้เมตริกซ์การแก้ระบบสมการโดยใช้เมตริกซ์ จงแก้ระบบสมการ 3x + 2y = 5 5x + 3y = 8 ตัวอย่าง วิธีทำ เขียนสมการเมตริกซ์แทนระบบสมการได้ดังนี้ xy 58 3 25 3 = - 1 xy 3 25 3 58 = -3 2 5 -3 58 =

  36. 11 xy = ดังนั้น จะได้ x = 1 และ y = 1

  37. ถ้า A เป็นเมตริกซ์มิติ nxn โดยที่ det(A) 0 แล้วระบบสมการที่เขียนในรูปสมการเมตริกซ์ AX = B เมื่อตัวไม่ทราบค่า คือx1 , x2 , x3, . . . , xn และ b1 , b2 , b3 , . . . , bnเป็นค่าคงตัว โดยที่ X = และ B = การแก้ระบบสมการโดยใช้กฎคราเมอร์ ทฤษฎีบท b1 b2 . bn x1 x2 . xn มีคำตอบคือ x2 = , . . . , xn = x1 = ,

  38. ตัวอย่าง จงหาคำตอบของระบบสมการ x + y + z = 6 2x - y - z = -3 x - 3 y + 2 z = 1 วิธีทำ เขียนสมการเมตริกซ์ได้ดังนี้ x y z 6 -3 1 1 1 12 -1 -1 1 -3 2 =

  39. 1 1 12 -1 -1 1 -3 2 ให้ A = จะได้ det(A) = -15 1 6 1 2 -3 -1 1 1 2 1 16 2 -1 -3 1 -3 1 6 1 1-3 -1 -1 1 -3 2 A1 = A2 = A3 = จะได้ det(A1) = -15 det(A2) = -30 det(A3) = -45 z = y = ดังนั้น x = = = = x = 1 y = 2 z = 3

  40. การแก้ระบบสมการโดยการแปลงเมตริกซ์ x - 2y - 3z = 3x + y - z = 22x - 3y = 5z + 5 ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการ วิธีทำ เขียนเมตริกซ์แต่งเติมจากระบบสมการได้ดังนี้ 1 -2 -3 3 1 1 -1 2 2 -3 -5 5 1 -2 -3 30 3 2 -1 0 -5 -3 1 R2 - R1 R3 - 2R2

  41. 1 0 0 -10 1 0 1 0 0 1 -2 R1+5R3 R2-2R3 3R3 จะได้ระบบสมการที่มีคำตอบเท่ากับสมการเดิมดังนี้ x + 0y + 0z = -1 0x + y + 0z = 1 0x + 0 y + z = -2 z = -2 y = 1 , x = -1 , ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ

More Related