popescuadelina22
Uploaded by
11 SLIDES
111 VUES
110LIKES

statistica

DESCRIPTION

statistic_INDICATORI

1 / 11

Télécharger la présentation

statistica

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Academia de matematica Statistica si probabilitati – clasa X Interpretarea datelor statistice – Notiuni teoretice http://robeauty.ro INTERPRETAREA DATELOR STATISTICE PRIN PARAMETRII DE POZITIE:MEDII, DISPERSIA, ABATERI DE LA MEDIE Definitie. Indicatorii statistici sunt numere reale care sintetizeaza informatia continuta de o serie statistica dand posibilitatea aprecierii globale a intregii serii in locul luarii in consideratie a fiecarei valori a variabilei. INDICATORI AI TENDINTEI CENTRALE Indicatorii tendintei centrale urmaresc determinarea unei valori reprezentative in jurul careia exista tendinta de concentrare a valorilor individuale ale caracteristicii. Acesti indicatori sunt relevanti cand datele (valorile variabilei) nu au un grad mare de imprastiere. I. Media aritmetica I.1. Serii simple(date negrupate) Pentru seria statistica (cantitativa) simplaX , data prin tabelul n x n x 1 x 2 x ............  1 , se defineste media aritmetica(media) a seriei numarul    .... x x x 1 2 n  X . a n Exemplu. Cinci sucursale ale unei banci au inregistrat urmatoarele credite in luna decembrie 2015:200.000€, 240.000€, 240.000€, 190.000€ si 160.000€. Media creditelor acordate banca in decembrie 2016 este: 5  a X x i     200 000 240 000 240 000 190 000 160 000  1 i   5 5 206 €/sucursal 000 a 1

  2. Academia de matematica Statistica si probabilitati – clasa X Interpretarea datelor statistice – Notiuni teoretice http://robeauty.ro INTERPRETAREA DATELOR STATISTICE PRIN PARAMETRII DE POZITIE:MEDII, DISPERSIA, ABATERI DE LA MEDIE I.2. Serii cu frecventa pe variante   . . x x x x  1 2 1 n n      X Pentru seria statistica (cantitativa) , se . . f f f f  1 2 1 n n defineste medie aritmetica ponderata a seriei numarul:      x f x f .... 2 2 1 1 Exemplu. La recensamantul populatiei dintr-o localitate s-au obtinut urmatoarele date statistice:   ....  .... f x f x f x 1 1 2 2 n n , , ,...., sunt frecvente absolute f f f  1 2 n f f f X . 1 2 n a     , , ,...., sunt frecvente relative f x f f f 1 2 n n n Nr. copii Nr. Familii 102 406 388 143 0 1 2 3 4 54 5 16 6 5 7 1 Numarul mediu de copii per familie va fi egal cu: 2 388 1 406 0 102                  143  3 54 4  16  5  5 6 1 7   Xa  102 406 388 143 54 16 5 1 1944 copii 74 , 1  / familie 1115 I.3. Serii cu frecventa pe intervale Media aritmetica ponderata a unei unei serii statistice in frecventa pe intervale se calculeaza asemanatoar cu media aritmetica ponderata a unei serii statistice in frecventa pe variante, considerand valorile caracteristicii centrele intervalelor. Exemplu: Daca distributia punctajului obtinut de elevii unei scoli la un test de cunostinte este data in tabelul urmator Punctaj 10-30 30-50 50-70 70-90 Numar elevi 10 30 60 40 , atunci punctajul mediu obtinut este 2

  3. Academia de matematica Statistica si probabilitati – clasa X Interpretarea datelor statistice – Notiuni teoretice http://robeauty.ro INTERPRETAREA DATELOR STATISTICE PRIN PARAMETRII DE POZITIE:MEDII, DISPERSIA, ABATERI DE LA MEDIE 60 60 40 30 20 10           40 80 8200   58 57 , puncte . 10 30 60 40 140 Proprietati ale mediei aritmetice 1.Media aritmetica este cuprinsa in intervalul de variatie a variabilei:  a X X X min max 2.Daca toate valorile individuale ale unei variabile cresc/descresc cu o constanta a, atunci si media aritmetica creste/descreste cu aceeasi constanta a.  a X     X a a a 3.Daca toate valorile individuale ale unei variabile se inmultesc cu un numar h , atunci si media aritmetica a variabilei se inmulteste cu h.    h X h X a a 4.Daca frecventele unei variabile se inmultesc cu un numar h, atunci media aritmetica a variabilei ramane neschimbata.  n n h f f f    .... 2 1       h         ....   ..... .... f x f x f x f x h f  x h  f x 1 1 2 2 1 1 2 2 n n   X         h f h f f 1 2 n n II. Mediana Mediana unei serii statistice este valoarea caracteristicii individului median (individului dinmijloc), presupunand ca indivizii ar fi aranjati in ordinea crescatoare a valorilor caracteristicii. Rezulta ca algoritmul determinarii medianei va cuprinde in principiu urmatorii pasi: a.Ordonarea crescatoare a variantelor; b.Determinarea pozitiei (cotei) individului median; c.Determinarea valorii caracteristicii individului median. 3

  4. Academia de matematica Statistica si probabilitati – clasa X Interpretarea datelor statistice – Notiuni teoretice http://robeauty.ro INTERPRETAREA DATELOR STATISTICE PRIN PARAMETRII DE POZITIE:MEDII, DISPERSIA, ABATERI DE LA MEDIE II.1. Serii simple Distingem urmatoarele situatii: 1.Daca avem seria statistica (cantitativa) simpla   n n x x x x X 1 2 1 . . .      si nimpar, atunci .... x x n x , unde  n 1 2 1 individul median are pozitia (cota) , deci mediana este 2 (  ) Me X n x .  1 2 2.Daca avem seria statistica (cantitativa) simpla  n x x x 1 2 1 . . .   individul median este virtual, iar mediana este media aritmetica a celor 2 indivizi din mijloc (vecini individului virtual):     si npar, atunci .... X x x x n x , unde 1 2 n  x x n n  1 2 2  ( ) Me X . 2 Exemple: 1.Daca tensiunea arteriala a unui pacient, masurata intr-un interval de 10 zile, este data in tabelul de mai jos Ziua 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tensiunea arteriala 150 140 160 170 130 170 150 120 170 160 pentru determinarea medianei acestei serii de valori se aseaza valorile caracteristicii in ordine crescatoare si se alege valorea din mijloc (sau media aritmetica a valorilor caracteristicii indivizilor din mijloc). Ziua 8 5 2 1 7 3 10 4 9 6 Tensiunea arteriala 120 130 140 150 150 160 160 170 170 170  150 160   155 Me Se obtine . 2 4

  5. Academia de matematica Statistica si probabilitati – clasa X Interpretarea datelor statistice – Notiuni teoretice http://robeauty.ro INTERPRETAREA DATELOR STATISTICE PRIN PARAMETRII DE POZITIE:MEDII, DISPERSIA, ABATERI DE LA MEDIE II.2. Serii cu frecventa pe variante Pentru determinarea cotei individului median este necesara ordonarea crescatoare a variantelor si calculul frecventelor cumulate crescator. Exemple: 1.Pentru calculul medianei seriei statistice a notelor obtinute la statistica de o   3 4 5 6 7 8 9 10       grupa de 99 de studenti , data prin X , 4 11  21  32 7  13 2 9 99 7 2  1   1   4  11 99 21  32 13 9 N avem volumul populatiei , deci cota   N 50 individului median este , ceea ce inseamna ca acesta se 2 2  gaseste printre studentii care au primit nota 6. Asadar ( ) 6 Me X . 2.Pentru seria statistica din tabelul urmator X if i F -3 100 100 2 150 250 4 55 305 6 10 315 10 120 435 12 65 500 501  500 N 250 5 , volumul populatiei fiind , cota individul median este , 2 deci individul median este virtual si mediana seriei va fi media aritmetica a  2 4   ( ) 3 250si 251 Me X indivizilor de pe pozitiile , adica . 2 5

  6. Academia de matematica Statistica si probabilitati – clasa X Interpretarea datelor statistice – Notiuni teoretice http://robeauty.ro INTERPRETAREA DATELOR STATISTICE PRIN PARAMETRII DE POZITIE:MEDII, DISPERSIA, ABATERI DE LA MEDIE Definitie.   . . x x x x  1 2 1 n n      X Fiind data seria statistica , unde . . f f f f  1 2 1 n n ,2 ,...., f f n f sunt frecvente necumulate, se numeste modul (moda, modala) sau valoare dominanta a seriei valoarea frecventei maxime (adica este valoarea cu cea mai mare frecventa). 1 Exemplu.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10      X Pentru seria statistica a notei 0 0 1 2 4 3 10 14 6 10 obtinuta la obiectul ”Statistica matematica” de o grupa de 50 de studenti , nota dominanta este 8. Observatii: . . 2 1 f f f n  k x X Mo  ) ( necumulate si nu toate egale). 2.Modul este un indicator care se defineste si pentru seriile calitative. 3.Daca avem doua sau mai multe mode spunem ca avem distributii bimodale sau unimodale.   f f 2 1 . . este o Exemple.   1 3 45 22 12 4 15 16 3      Rearanjand valorile seriei in ordine descrescatoare obtinem tabelul urmator:   x x x x  1 n n     2 , 1 {  ,..., } X si k n 1.Pentru seria avem . . f ,   1 2 1 n   , 1 f f i n ,2 ,...., f f n f daca si numai daca ( frecvente i k 1  . . x x x x  1 2 1 n n        X ... f f n f 4.Seria statistica , in care 1 2 f f  1 n n serie fara moda (fara valoare dominanta).  16 15 12 22 45 60 14 20     X 2.Pentru seria statistica avem: 4 60  1 3 1  1 3 1          14 20 300     20 12 Xa si Mo .  3 1 4 1 1 1 3 1 15 6

  7. Academia de matematica Statistica si probabilitati – clasa X Interpretarea datelor statistice – Notiuni teoretice http://robeauty.ro INTERPRETAREA DATELOR STATISTICE PRIN PARAMETRII DE POZITIE:MEDII, DISPERSIA, ABATERI DE LA MEDIE  15 Me , de unde putem vedea valoarea mijlocie, adica mediana . INDICATORI AI VARIATIEI (IMPRASTIERII) In figura urmatoare sunt prezentate diagramele a doua serii aceeasi medie ) ( a a Y X  . care au X si Y Se constata ca indicatorul mediei nu este relevant pentru comparatia celor doua serii, a doua serie ) (Y avand datele mult mai dispersate fata de prima serie ) (X . Pentru a masura variatia termenilor unei serii fata de tendinta lor centrala, se definesc indicatori ai variatiei. 7

  8. Academia de matematica Statistica si probabilitati – clasa X Interpretarea datelor statistice – Notiuni teoretice http://robeauty.ro INTERPRETAREA DATELOR STATISTICE PRIN PARAMETRII DE POZITIE:MEDII, DISPERSIA, ABATERI DE LA MEDIE Definitie.   . . x x x x  1 2 1 n n      X Fiind data seria statistica cantitativa , . . f f f f  1 2 1 n n definim: a.Amplitudine absoluta a seriei, diferenta dintre valoarea maxima si valoarea minima a caracteristicii, adica:  a x x X R ,...., , max ) ( 2 1      min , ,...., x x x x 1 2 n n b.Amplitudinea relativa a seriei, raportul dintre amplitudinea absoluta si media (aritmetica) a seriei, adica ( ) R X a X  ( ) R X r a Observatii. 1.Amplitudinea absoluta indica largimea plajei de valori a seriei, iar amplitudinea relativa masoara gradul de imprastiere a valorilor variabilei fata de medie. 2.Amplitudinea relativa permite compararea a doua serii care au aceeasi medie. Seria avand amplitudinea relativa mai mare are o imprastiere mai mare a valorilor. Definitie.   . . x x x x  1 2 1 n n      si a X Fiind data seria statistica cantitativa . . f a f f f  1 2 1 n n   n , ,....., x a x a x un numar real, numerele individuale ale valorilor seriei X de la valoarea a. se numesc abateri 1 2 8

  9. Academia de matematica Statistica si probabilitati – clasa X Interpretarea datelor statistice – Notiuni teoretice http://robeauty.ro INTERPRETAREA DATELOR STATISTICE PRIN PARAMETRII DE POZITIE:MEDII, DISPERSIA, ABATERI DE LA MEDIE Observatie. Media abaterilor de la medie a unei variabile(serii) statistice este zero.   f f 2 1 frecvente   .... 1 2 2 1 1     n n f x f x f x f Definitie.  . . x x x x  1 2 1 n n     X ,2 ,..., f f n f Intr-adevar daca si sunt 1 . . f f  1 n n relative avem: x f              X ....  X f x X f x X 1 1 2 2 a a f n n a     .... . 0 f X X 2 n a a a   . . x x x x  1 2 1 n n      X Fiind data seria statistica cantitativa , . . f f f f  1 2 1 n n ,2 ,..., f f n f sunt frecvente absolute si X este valoarea medie a seriei, X x f X x    .... 2 1 abatere medie liniara sau abaterere medie absoluta (fata de medie) a seriei. Definitie. unde 1       .... f f x X 1 1 2 1 1 a a n a  A numarul se numeste ml f f f n   . . x x x x  1 2 1 n n      X Fiind data seria statistica cantitativa , . . f f f f  1 2 1 n n ,2 ,..., f f n f X unde se numeste: a.Dispersie sau varianta (a seriei) numarul: sunt frecvente absolute si este valoarea medie a seriei, 1 a       2 2 2       .... f x X f x  X  f x X 2 1 1 2 2 a a .... n n a  ( ) D X .  f f f 1 2 n b.Abatere medie patratica (abatere standard, abatere tip) numarul  ) ( X D        . 2 2 2       .... f f x X f x  X  f x X 2 1 1 2 f 2 a a n n a  .... f 1 2 n 9

  10. Academia de matematica Statistica si probabilitati – clasa X Interpretarea datelor statistice – Notiuni teoretice http://robeauty.ro INTERPRETAREA DATELOR STATISTICE PRIN PARAMETRII DE POZITIE:MEDII, DISPERSIA, ABATERI DE LA MEDIE    100 CV c.Coeficient de variatie (sau de omogenitate) raportul X a (exprimat in procente). Observatii: 1.Abaterea medie patratica este media patratica a abaterilor individuale ale valurilor variabilei de la medie. 2.La serii cu valori medii aproximativ egale este mai imprastiata seria cu dispersia mai mare. 3.La serii cu dispersii aproximativ egale este mai imprastiata seria cu medie mai mica. 4.Coeficientul de variatie exprima intensitatea variatiei si valoarea sa apreciaza in ce masura media este reprezentativa pentru serie. Se considera urmatoarele praguri de semnificatie: CV<17% 17%<CV<35% 35%<CV<50% 50%<CV media este strict reprezentativa media este moderat reprezentativa media este reprezentativa in sens larg media nu este reprezentativa 10

  11. Academia de matematica Statistica si probabilitati – clasa X Interpretarea datelor statistice – Notiuni teoretice http://robeauty.ro INTERPRETAREA DATELOR STATISTICE PRIN PARAMETRII DE POZITIE:MEDII, DISPERSIA, ABATERI DE LA MEDIE Exemplu. 11

More Related