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1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等 进行简单的推理，了解合情推理在数学发现 中的作用 . 2. 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基

1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等 进行简单的推理，了解合情推理在数学发现 中的作用 . 2. 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基 本模式，并能运用它们进行一些简单推理 . 3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 1. 合情推理. 2. 演绎推理. [ 思考探究 ] (1) 由合情推理所获得的结论一定正确吗？. 提示： 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明. (2) 演绎推理所获得的结论一定可靠吗？.

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1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等 进行简单的推理，了解合情推理在数学发现 中的作用 . 2. 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基

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Presentation Transcript

  1. 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等 进行简单的推理，了解合情推理在数学发现 中的作用. 2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基 本模式，并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

  2. 1.合情推理

  3. 2.演绎推理

  4. [思考探究] (1)由合情推理所获得的结论一定正确吗？ 提示：一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明.

  5. (2)演绎推理所获得的结论一定可靠吗？ 提示：演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理.演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论.

  6. 1.观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4 ＋5 ＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是 () A.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2 B.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2 C.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 D.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2

  7. 解析：由条件可知，第n个式子的第一个数为n，且第n个式子为2n－1个数的和.解析：由条件可知，第n个式子的第一个数为n，且第n个式子为2n－1个数的和. 答案：C

  8. 2.下面几种推理是合情推理的是 () ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、 等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所 有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是 100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形 的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形 的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－ 2)·180°. A.①②　　　　　　　　　 B.①③ C.①②④ D.②④

  9. 解析：①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理.解析：①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理. 答案：C

  10. 3.一同学在电脑中打出如下若干个圆： ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若 依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2 009个 圆中共有●的个数是 () A.61 B.62 C.63 D.64

  11. 解析：设前2 009个圆中共有●的个数为n，经观察可得如下关系 ≤2 009， 经检验n＝61. 答案：A

  12. 4.一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不 能被2整除，其演绎“三段论”的形式为： 大前提：一切奇数都不能被2整除 小前提：， 结论：. 解析：由“三段论”的形式可知：2100＋1是奇数为小前提，2100＋1不能被2整除是结论. 答案：2100＋1是奇数　2100＋1不能被2整除

  13. 5.在平面几何中，关于正三角形的性质，有真命题：正 三角形内任一点到各边的距离之和是一个定值.类比平 面几何的上述性质，写出正四面体的一个真命题：　 . 答案：正四面体内任一点到各个面的距离之和是一个定值

  14. 1.归纳推理的特点 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所 得的结论超越了前提所包含的范围. (2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、 经验或实验的基础之上的.

  15. 2.归纳推理的一般步骤 (1)通过观察个别情况发现某些相同本质. (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.

  16. 设f(x)＝ 先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明. [思路点拨]

  17. [课堂笔记]f(0)＋f(1)＝ 同理可得：f(－1)＋f(2)＝ ， f(－2)＋f(3)＝ ，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均为f(x1)＋f(x2)＝ .

  18. 证明：设x1＋x2＝1， ∵f(x1)＋f(x2)＝

  19. 若将本例中改为f(x)＝ 呢？ 解：f(0)＋f(1)＝ 同理可得f(－1)＋f(2)＝ ， f(－2)＋f(3)＝ .

  20. 并且在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1，归纳猜想得：并且在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1，归纳猜想得： 当x1＋x2＝1时均有f(x1)＋f(x2)＝ . 证明：设x1＋x2＝1， ∴f(x1)＋f(x2)＝

  21. 1.类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：1.类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出 一个明确的命题(猜想).

  22. 2.类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的 一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中， 得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一 些元素的类比列表如下：

  23. 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证： 那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由. [思路点拨]

  24. [课堂笔记](1)如图所示，由射影定理 AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC， AC2＝BC·DC， ∴ 又BC2＝AB2＋AC2，

  25. 所以 猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直， AE⊥平面BCD，则

  26. (2)如图，连接BE交CD于F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. 而AF⊂平面ACD， ∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴ 在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝ ∴ 故猜想正确.

  27. 1.演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理 模式，是一种必然性推理.演绎推理的前提与结论之间有 蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正 确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导 致错误的结论. 2.演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论 的三段论式推理.

  28. [特别警示]合情推理推出的结论不一定正确，有待进一步证明，演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下得到的结论一定正确.[特别警示]合情推理推出的结论不一定正确，有待进一步证明，演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下得到的结论一定正确.

  29. 用三段论证明函数y＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数.用三段论证明函数y＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数. [思路点拨] 小前提是在(－∞，1]上满足增函数的定义 结论 大前提是增函数的定义

  30. [课堂笔记]任取x1、x2∈(－∞，1]，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝(－ ＋2x1)－(－ ＋2x2) ＝(x2－x1)(x2＋x1－2). 因为x1<x2，所以x2－x1>0； 因为x1、x2≤1，x1≠x2，所以x2＋x1－2<0. 因此，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 于是根据“三段论”，得f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是 增函数.

  31. 由已知条件归纳出一个结论或运用类比的形式给出某个问题的结论，是高考对本节内容的常规考法.09年江苏高考、浙江高考分别以填空题的形式考查了类比推理和归纳推理，这一考查形式仍会是明年高考的一个考查方向.

  32. [考题印证] (2009·浙江高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，， 成等比数列.

  33. 【解析】根据类比原理知该两空顺次应填 【答案】

  34. [自主体验] 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么可截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O­LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是.

  35. 解析：设OM＝a，ON＝b，OL＝c，则MN2＝a2＋b2，NL2＝b2＋c2，ML2＝c2＋a2，此时 ＝a2b2, ＝b2c2, ＝c2a2.根据余弦定理得 cos∠NML＝

  36. 故sin2∠NML＝1－ 所以 MN2ML2sin2∠NML＝ (a2＋b2)(c2＋a2) 答案：

  37. 1.观察等式： sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝ ， sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝ ， sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝ ；

  38. 由此得出以下推广命题不正确的是 () A.sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝ B.sin2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cosα＝ C.sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝ D.sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝ . 解析：由已知β－α＝30°时，命题才成立. 答案：A

  39. 2.下面给出了关于复数的四种类比推理： ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由向量a的性质|a|2＝a2类比得到复数z的性质|z|2＝z2； ③方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不同实数根的条 件是b2－4ac＞0可以类比得到：方程az2＋bz＋c＝0(a， b，c∈C)有两个不同复数根的条件是b2－4ac＞0； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.

  40. 其中类比得到的结论错误的是 () A.①③　　　　　　　　　　B.②④ C.②③ D.①④ 解析：选项②中z＝i，则|z|2≠i2，选项③若a、b、c为实数，则方程有实根. 答案：C

  41. 3.“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数 (M)，故此奇数(S)是3的倍数(P).”上述推理是 () A.小前提错B.结论错 C.正确的D.大前提错 解析：大前提正确，小前提正确，故命题正确. 答案：C

  42. 4.(2009·江苏高考)在平面上，若两个正三角形的边长的 比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间 中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体 积比为. 解析： 答案：1∶8

  43. 5.(2009·浙江高考)观察下列等式： ＝23－2， ＝27＋23， ＝211－25， ＝215＋27， …… 由以上等式推测到一个一般的结论： 对于n∈N*， ＝.

  44. 解析：归纳推理.观察等式右边23－2,27＋23,211－25,215＋27，…，可以看到右边第一项的指数3,7,11,15，…成等差数列，公差为4，首项为3，通项为4n－1；第二项的指数1,3,5,7，…的通项为2n－1.故得结论24n－1＋(－1)n22n－1.解析：归纳推理.观察等式右边23－2,27＋23,211－25,215＋27，…，可以看到右边第一项的指数3,7,11,15，…成等差数列，公差为4，首项为3，通项为4n－1；第二项的指数1,3,5,7，…的通项为2n－1.故得结论24n－1＋(－1)n22n－1. 答案：24n－1＋(－1)n22n－1

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