Chvenie strún

1. Chvenie strún Stojaca vlna Mersennove zákony Spôsoby kmitania

2. Postupná vlna a stojaca vlna • Aký je rozdiel medzi kmitajúcou strunou a vlniacou sa hladinou? • Vlna na vodnej hladine postupuje, kým • Struna vlní „na mieste“. • Rozlišujeme dva druhy vĺn: • Postupná vlna • Stojaca vlna

3. Vznik stojacej vlny • Ako vzniká chvenie struny? • Predstavme si, že rozkmitávame gumenú hadice na jednom jej konci, pričom jej druhý koniec bude voľný • V tom prípade vzniká postupná vlna • Predstavme si teraz, že druhý koniec hadice upevníme. • V tomto prípade sa pôvodná postupná vlna odrazí na upevnenom konci • Máme tu teda teraz dve vlnenia • Výsledné vlnenie je vlastne súčtom dvoch opačným smerom sa pohybujúcich vlnení • Takto vzniká stojaca vlna model v xls

4. Uzly a kmitne • Pri stojacej vlne vznikajú miesta s maximálnym a s minimálnym (vlastne nulovým) rozkmitom: • Uzol – nulový rozkmit • Kmitňa – maximálny rozkmit kmitňa uzol

5. Vlnová dĺžka a frekvencia • Trochu matematiky :)) • Aký je vzťah medzi vlnovou dĺžkou, frekvenciou (resp. periódou) a rýchlosťou šírenia vlny? • Nech je: v rýchlosť šírenia vlny T perióda kmitania (teda doba jedného kmitu) f frekvencia kmitania w vlnová dĺžka potom zrejme: • z čoho máme: • A nakoniec, keďže frekvencia je prevrátenou hodnotou periódy: • Využitie: • meranie rýchlosti zvuku • určenie absolútnej výšky tónu

6. Mersennove zákony • Monochord • Aké faktory ovplyvňujú výšku tónu vyludzovaného kmitajúcou strunou? • Dĺžka struna • Napätie struny (t.j. veľkosť sily napínajúcej strunu) • Hmotnosť struny (resp. jej jednotková hmotnosť, t.j. hmotnosť 1 m struny) • Francúzsky matematik Mersenne (1588-1648) vyslovil vo svojej Harmonie Universelle (1636) nasledujúce tri zákony týkajúce sa frekvencie kmitajúcej struny

7. 1 – Pytagorov zákon • Ak sa nemení struna (t.j. jej priemer a hustota) ani jej napätie (t.j. sila, ktorá ju napína), tak frekvencia jej kmitania je • nepriamo úmerná dĺžke struny • Tento zákon sa tradične nazýva Pytagorov a je teda známy už aspoň 2500 rokov. • Majme strunu, ktorá je naladená na frekvenciu a1 = 440 Hz. Ak ju skrátime na polovicu, dostaneme tón • Dvojnásobnej frekvencie a2 = 880 Hz

8. 2 – Napínajúca sila • Ak sa nemení struna (t.j. jej priemer a hustota) ani jej dĺžka, tak frekvencia jej kmitania je • priamo úmerná druhejodmocninesily, napínajúcej strunu • Majme strunu, ktorá je naladená na frekvenciu a1 = 440 Hz. Ak zoštvornásobíme napínajúcu silu, dostaneme tón • Dvojnásobnej frekvencie a2 = 880 Hz

9. 3 – Jednotková hmotnosť struny • Ak sa nemení dĺžka struny ani veľkosť napínajúcej sila, tak frekvencia jej kmitania je • nepriamo úmerná druhejodmocninejednotkovejhmotnosti struny • Majme opäť strunu, ktorá je naladená na frekvenciu a1 = 440 Hz. Ak zoštvornásobíme jednotkovú hmotnosť struny, dostaneme tón • Polovičnej frekvencie a = 220 Hz • Naše úvahy možno ešte upresniť, ak si uvedomíme, že jednotková hmotnosť je priamo úmerná hustote a druhej mocnine polomeru struny ( = *r2)

10. Taylorov vzorec • Všetky predošlé výsledky možno vyjadriť jediným matematickým zápisom: Som si plne vedomý, že niekomu ten vzorec iba naženie hrôzu a inému pomôže zapamätať si Mersennove zákony. Ale to je v poriadku. Určite nechcem, aby ste sa ho biflovali. Len treba vedieť, že existuje. Kde: • f frekvencia • l dĺžka struny • F napínajúca sila • [grécke mí] jednotková hmotnosť

11. Flažolety – oktáva Nech toto je tón a1 = 440 Hz • Bežne struna kmitá takto: • Ak ju však jemne pridržíme v strede, t.j. v mieste, kde predtým mala kmitňu, bude nútená kmitať ináč: Potom toto je tón a2 = 880 Hz • Ako sa zmení frekvencia kmitania? • Spomeňme si, že stojatá vlna je zložením dvoch postupných vlnení v opačnom smere • Perióda týchto vlnení sa zrejme zmenšila na polovicu (predpokladáme, že rýchlosť šírenia vĺn sa nezmenila) • A preto frekvencia sa zväčšila na dvojnásobok (vieme, že frekvencia je obrátenou hodnotou periódy) • Teda znie o oktávu vyšší tón s frekvenciou 2f

12. Flažolety – duodecima • Čo sa bude diať, ak pridržíme strunu (a vynútime tak vznik uzla) v tretine jej dĺžky? Nech toto je tón a1 = 440 Hz Potom toto je tón e3 = 3 x 440 Hz = 1320 Hz • Ľahko už teraz prídeme na to, že bude znieť tón s trojnásobnou frekvenciou 3f • Z hudobného hľadiska je to tón o duodecimu (oktáva plus kvinta) vyšší

13. Vyššie harmonické tóny • Podobne by sme mohli vylúdiť ďalšie flažolety s frekvenciami 4f, 5f atď. • Vzniknuté tóny sú tzv. vyššie harmonické tóny, nazývané aj alikvotné tóny. Budú kľúčové pre naše ďalšie úvahy. • Nasledujúca tabuľka zhŕňa prvých 16 alikvotných tónov.

14. Vyššie harmonické tóny (tabuľka) Číslo harmonického tónu Frekvencia Tón ______________________________ 92354,67Hz d4 102616,30Hz e4 112877,93Hz **f-fis4 123139,56Hz g4 133401,19Hz **gis-a4 143662,82Hz *b4 153924,45Hz h4 164186,08Hz c5 Číslo harmonického tónu Frekvencia Tón ______________________________ 1 261,63Hz c1 2 523,26Hz c2 3 784,89Hz g2 41046,52Hz c3 51308,15Hz e3 61596,78Hz g3 71831,41Hz *b3 82093,04Hz c4 * 7. harmonický tón je výrazne nižší ako b ** 11. a 13. harmonický tón ležia taktiež mimo našej bežnej tónovej škály