1 / 43

第 18 讲 点、直线、平面之间位置关系 1. 本讲考点主要以常见的空间几何体为背景，考查 直线、平面之间的平行与垂直关系，以及线面角 的求法 . 依新课标考试说明的要求，重点应放在线

第 18 讲 点、直线、平面之间位置关系 1. 本讲考点主要以常见的空间几何体为背景，考查 直线、平面之间的平行与垂直关系，以及线面角 的求法 . 依新课标考试说明的要求，重点应放在线 面平行和垂直的判定与证明上，“对于这些角与 距离的度量问题，只要在长方体模型中进行说明 即可，具体计算不作要求 .” 摘自 《 江苏省普通高 中数学课程标准教学要求 》. 2. 空间想象能力是新课标考试说明明确要求考查学 生的能力之一，它对空间形式的观察、分析、抽 象的能力具体有三方面的要求：（ 1 ）能根据条件

qabil
Télécharger la présentation

第 18 讲 点、直线、平面之间位置关系 1. 本讲考点主要以常见的空间几何体为背景，考查 直线、平面之间的平行与垂直关系，以及线面角 的求法 . 依新课标考试说明的要求，重点应放在线

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第18讲 点、直线、平面之间位置关系 1.本讲考点主要以常见的空间几何体为背景，考查 直线、平面之间的平行与垂直关系，以及线面角 的求法.依新课标考试说明的要求，重点应放在线 面平行和垂直的判定与证明上，“对于这些角与 距离的度量问题，只要在长方体模型中进行说明 即可，具体计算不作要求.”摘自《江苏省普通高 中数学课程标准教学要求》.

  2. 2.空间想象能力是新课标考试说明明确要求考查学2.空间想象能力是新课标考试说明明确要求考查学 生的能力之一，它对空间形式的观察、分析、抽 象的能力具体有三方面的要求：（1）能根据条件 画出图形；（2）根据图形想象出直观形象；（3） 能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系. 将概念、图形和推理相结合，能对图形进行分解、 组合与变形.备考中要围绕以上要求加强训练，在 体会与思索中提高自己的能力. 3.备考中选取的应是长方体、三棱锥、四棱锥、圆 柱、球等简单几何体，以它们为载体进行识图、 画图、平行垂直关系判定，使学生体会与感悟证

  3. 明的过程与方法，注意推理依据的充分与严密，明的过程与方法，注意推理依据的充分与严密， 教材中的例题、习题中的结论（包括三垂线定理） 等不能作为推理论证的依据. 4.备考中要注意联系平面几何知识，利用类比、联 想等方法理解两者内在联系，培养和树立将空间 问题转化为平面问题解决的意识和思想.

  4. 【例1】（2008·江西改编）如图（1）所示，一个【例1】（2008·江西改编）如图（1）所示，一个 正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了 同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水 时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器 倒置，水面也恰好过点P（如图（2）所示）.有下 列四个命题：

  5. ①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半； ②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P； ③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点P； ④若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满. 其中真命题的代号是.（写出所有真 命题的代号） 解析 设正四棱柱底面边长为b,高为h1,正四棱锥 高为h2,则原题图(1)中水的体积为： 图（2）中水的体积为：

  6. 所以 故①错误，④ 正确. 对于②，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中 截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也 恰好经过P点，故②正确. 对于③，假设③正确，当水面与正四棱锥的一个 侧面重合时，经计算得水的体积为 矛盾，故③不正确. 答案 ②④

  7. 探究拓展 “等积变形”是一种重要的思想方 法，用于求距离、求高，有时十分简捷，本题通 过容器中水的“形状”的变化将这种思想方法展 示得淋漓尽致，生动直观，无疑，对培养备考者 “等积变形”思想有很大的帮助.另外，对这种实 物操作题考场上是没法操作的，只能凭想象处 理，这恰好考查了应考者空间想象能力，这也许 正是命题者所看中的.

  8. 变式训练1有一棱长为a的正四面体骨架（棱的 粗细忽略不计），其内放置一气球，对其充气， 使其尽可能地膨胀（成为一个球），则气球表面 积的最大值为. 解析 气球直径最大值是正四面体的对棱距离， 易求得为

  9. 【例2】（2008·福建）若三棱锥的三个侧面两两垂【例2】（2008·福建）若三棱锥的三个侧面两两垂 直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 . 解析 三棱锥的三个侧面两两垂直,说明三棱锥的 三条侧棱两两垂直,设其外接球的半径为R,可以将 此三棱锥认为是由正方体共顶点的三条侧棱确定 的，显然三棱锥的外接球即是正方体的外接球， 正方体的体对角线等于球直径，因此有： 外接球的表面积为S=4 R2=9 .

  10. 探究拓展 构造法是一种机智处理问题的方法， 体现了化归转化思想的应用.本题借题设中的三棱 锥，构造出以原来“两两垂直三侧面”为相邻三 侧面的正方体，结合正方体外接球性质解决问题. 也可算作是“割补法”中的“补全术”.总之，在 解题之后好好反思一下“思路”，对自己能力的 提高大有好处.

  11. 变式训练2已知各顶点都在一个球面上的正四棱变式训练2已知各顶点都在一个球面上的正四棱 柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是. 解析 设正四棱柱底面边长为a，则S底=a2， ∴V=S底·h=4a2=16，∴a=2. 又正四棱柱内接于球，设球的半径为R，则 （2R）2=22+22+42=24，∴R= . ∴球的表面积为

  12. 【例3】（2009·江苏）如图所示，在 直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别 是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上， A1D⊥B1C. 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C. 证明 （1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知 EF∥BC， 因为EF平面ABC，BC平面ABC， 所以EF∥平面ABC.

  13. （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥ 平面A1B1C1， 又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D. 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C=C， CC1，B1C平面BB1C1C， 故A1D⊥平面BB1C1C. 又A1D平面A1FD， 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.

  14. 探究拓展 本例解答为试题命制组提供且有详尽 的得分要求（这里略）.从中可以看出线面平行、 线面垂直的证明是备考的重点与热点，体现了备 考者的空间想象能力以及解决立体几何问题的基 本功.备考中要加强训练，熟练运用，在解题中体 会判定定理条件的运用，包括思路分析、方法确 认 ，书写表达规范.新课标考试说明对立体几何 的要求有所降低，这只是在知识应用方面有所降 低，但在表达规范性上提出了更高的要求，一定 要做到推理充分，论证有力，思路清晰，叙述有 条理.

  15. 变式训练3（2009·扬州大学附 中月考）如图所示，E、F分别为 直角三角形ABC的直角边AC和斜 边AB的中点，沿EF将△AEF折起 到△A′EF的位置，连接A′B、A′C，P为A′C 的中点. （1）求证：EP∥平面A′FB； （2）求证：平面A′EC⊥平面A′BC. 证明 （1）∵E、P分别为AC、A′C的中点， ∴EP∥A′A，又A′A平面AA′B， ∴EP平面AA′B，∴即EP∥平面A′FB.

  16. （2）∵BC⊥AC，EF⊥A′E，又∵EF∥BC， ∴BC⊥A′E，结合A′E与AC都在平面A′EC内相 交，可知BC⊥面A′EC，又BC面A′BC. ∴面A′EC⊥面A′BC.

  17. 【例4】（2008·盐城第三次调研） 已知点O是正方形ABCD两对角线 的交点，DE⊥平面ABCD， BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE. （1）求证：EO⊥平面AFC； （2）在线段EF上找一点M，使三棱锥M—ACF为正 三棱锥； （3）试问在线段DF（不含端点）上是否存在一点 R，使得CR∥平面ABF，若存在，请指出点R的位 置；若不存在，请说明理由.

  18. (1)证明 连结FO.设AB=BF=2DE=2a， 则DO=OB= a,所以EO= a，FO= a，EF=3a. 在△EOF中，由EO2+FO2=EF2，知EO⊥FO. 又DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC，而BD⊥AC， 所以AC⊥平面DOE，故AC⊥EO. 由于AC面AFC，FO面AFC， AC∩FO=O，所以EO⊥平面AFC. (2)解 在线段EF上取点M,使得 EM∶MF=1∶2， 因为AF=FC=AC= 2 a，所以 △AFC是正三角形.

  19. 在线段OF上取点G，使得OG∶GF=1∶2， 则点G是△AFC的重心，也就是△AFC的中心. 连结MG，则MG∥EO，由（1）得MG⊥平面AFC. 故此时三棱锥M—ACF为正三棱锥. （3）解 找不到这样的点R，使得CR∥平面ABF. 假设存在这样的点R，使得CR∥平面ABF. 因为点R与点D不重合，所以CD与CR相交. 又CD∥平面ABF，CR∥平面ABF，且CR平面 CDF，CD平面CDF，所以平面CDF∥平面ABF. 而平面CDF与平面ABF有公共点F，

  20. 所以平面CDF与平面ABF必定相交，矛盾. ∴假设不成立. 所以找不到这样的点R，使得CR∥平面ABF. 探究拓展 探索类问题在新课标立体几何中为热 点题型，备考中要加强训练.其解题模式简单明 了，易于掌握，关键是探索准确，论证充分，表 达清晰明了，言简意赅.探索类问题在承认一个假 设时，要依这个假设为“事实”严格论证推理， 若产生矛盾，则推翻“假设”，否则，“假设” 便是成立的.

  21. 变式训练4（2009·浙江）如图，平面PAC⊥平 面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角 形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点， AC=16，PA=PC=10. (1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE； (2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面 BOE，并求点M到OA，OB的距离.

  22. 证明 （1）如图，取PE的中点为H， 连结HG，HF. 因为点E，O，G,H分别是PA,AC,OC,PE的中点， 所以HG∥OE，HF∥EB. 因此平面FGH∥平面BOE. 因为FG在平面FGH内， 所以FG∥平面BOE.

  23. （2）在平面OAP内，过点P作PN⊥OE，交 OA于点N，交OE于点Q，连结BN，过点F作 FM∥PN，交BN于点M. 下证FM⊥平面BOE. 由题意，得OB⊥平面PAC， 所以OB⊥PN. 又因为PN⊥OE， 所以PN⊥平面BOE. 因此FM⊥平面BOE.

  24. 所以点N在线段OA上. 因为F是PB的中点，所以M是BN的中点. 因此点M在△AOB内，点M到OA，OB的距离分别 为

  25. 规律方法总结 1.两直线夹角范围是： 直线与平面所成角范围 是： 两平面所成二面角度数范围是:［0, ］. 2.长方体中有关结论： （1）体对角线长 （2）体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分 别为 则有 （3）体对角线与过同一顶点的三侧面所成角的分 别为 则有 （4）正方体和长方体外接球直径等于体对角线长.

  26. 3.三棱锥中 （1）侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等）顶 点在底面射影为底面外心; （2）侧棱两两垂直（两对棱互相垂直）顶点在 底面射影为底面垂心； （3）斜高相等（侧面与底面所成角相等）顶点 在底面射影为底面内心. 4.正棱锥各侧面与底面所成角相等，设为 ，则 S侧·cos =S底.

  27. 一、填空题 1.如图所示，一个空间几何体的正视图，左视图， 俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角 形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为 .

  28. 解析 几何体是一个有三条棱两两垂直的正三棱 锥，S表 答案

  29. 2.（2009·丹阳高级中学调研）棱长为1的正方体 ABCD—A1B1C1D1中，若E、G分别为C1D1、BB1的 中点，F是正方形ADD1A1的中心，则空间四边形 BGEF在正方体的六个面内射影的面积的最大值为 . 解析 考查各个面内射影情况可知最大值为

  30. 3.四棱锥P—ABCD的顶点P在底面 ABCD中的投影恰好是A，其三视 图如图所示，则四棱锥P—ABCD的 表面积为. 解析 几何体是四棱锥，其底面为正方形，面积 为a2；一侧棱垂直于底面，其中两侧面为等腰直角 三角形，面积和为 另两侧面也是直角 三角形面积和为 ∴表面积为(2+ )a2.

  31. 4.（2009·全国Ⅱ改编）纸制的正方体的六个面根4.（2009·全国Ⅱ改编）纸制的正方体的六个面根 据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北， 现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝 上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面 的方位是. 解析 将正方体复原再判断. 北

  32. 5.（2009·徐州模拟）已知 是两个平面， m，n是两条直线，给出如下四个论断： ①m⊥ ；②n∥ ；③ ⊥ ；④m∥n.现以其 中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论， 请写出一个正确的命题. ①②④③

  33. 6.（2009·江苏样本分析卷）已知l，m，n是三条不6.（2009·江苏样本分析卷）已知l，m，n是三条不 重合的直线， 是三个不重合的平面，给出下 列四个命题： ①若m⊥ ，m∥ ，则 ⊥ ； ②若直线m，n与 所成的角相等，则m∥n； ③存在异面直线m，n，使得m∥ ，m∥ ， n∥ ，n∥ ，则 ∥ ； ④若 ∩ =l， ∩ =m， ∩ =n，l∥ ，则 m∥n. 其中所有真命题的序号是. 解析 用相关性质与判定定理，容易得只有②不 正确. ①③④

  34. 二、解答题 7.(2009·金陵中学三模)如图所示， 以长方体ABCD—A1B1C1D1的顶点 A、C及另两个顶点为顶点构造四面体. （1）若该四面体的四个面都是直角三角形，试写 出一个这样的四面体（不要求证明）； （2）我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对 棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个 这样的四面体（不要求证明）； （3）若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个 这样的四面体（不要求证明），并计算它的体积 与长方体的体积的比.

  35. 解 （1）如四面体A1—ABC或四面体C1—ABC或 四面体A1—ACD或四面体C1—ACD. （2）如四面体B1—ABC或四面体D1—ACD. （3）如四面体A—B1CD1； 设长方体的长、宽、高分别为a，b，c

  36. 8.（2009·盐城中学第七次月考）如 图所示，已知在三棱柱ABC—A1B1C1 中,AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、 P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1 的中点. （1）求证：面PCC1⊥面MNQ； （2）求证：PC1∥面MNQ. 证明 （1）因为AC=BC，且P是AB的中点， 所以AB⊥PC，又AB⊥CC1， 所以AB⊥面PCC1， 又因为MN∥AB，

  37. 因此MN⊥面PCC1. 又MN面MNQ，所以面PCC1⊥面MNQ. （2）连接PB1交MN于点K，连接KQ， 易证QK∥PC1， 所以PC1∥面MNQ.

  38. 9.一个多面体的直观图和三视图（正视图、左视图、 俯视图）如图所示，M、N分别为A1B、B1C1的中 点.求证： （1）MN∥平面ACC1A1； （2）MN⊥平面A1BC.

  39. 证明 由题意可知，这个几何体是直三棱柱， 且AC⊥BC，AC=BC=CC1. （1）连接AC1，AB1. 由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1， 所以AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩形. 由矩形性质得AB1过A1B的中点M. 在△AB1C1中，由中位线性质得 MN∥AC1， 又AC1平面ACC1A1， MN平面ACC1A1， 所以MN∥平面ACC1A1.

  40. （2）因为BC⊥平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1， 所以BC⊥AC1. 在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1. 又因为BC∩A1C=C，所以AC1⊥平面A1BC. 由MN∥AC1，得MN⊥平面A1BC.

  41. 10.（2008·盐城质检）已知直角梯形ABCD中， AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+ ，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中 点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC. （1）求证：BC⊥平面CDE； （2）求证：FG∥平面BCD； （3）在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面 DCB，并说明理由.

  42. （1）证明 由已知得：DE⊥AE，DE⊥EC， ∴DE⊥面ABCE，∴DE⊥BC. 又BC⊥CE，∵DE∩CE=E，∴BC⊥平面DCE. （2）证明 取AB中点H，连结GH，FH， ∴GH∥BD，FH∥BC， ∴GH∥面BCD，FH∥平面BCD, ∴面FHG∥面BCD，∴GF∥面BCD. （3）解 分析可知，R点满足 3AR=RE时， 面BDR⊥面BDC. 证明如下： 取BD中点Q，连结DR、BR、CR、CQ、RQ，

  43. 容易计算 ∴在△CRQ中，CQ2+RQ2=CR2， ∴CQ⊥RQ. 又在△CBD中，CD=CB，Q为BD中点， ∴CQ⊥BD，∴CQ⊥面BDR， 又∵CQ平面BDC，∴面BDC⊥面BDR. 返回

More Related