第二节 一阶微分方程

1. 第二节　一阶微分方程 可分离变量的方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程

2. 一、可分离变量的方程 如果一阶微分方程 可以写成 的形式, 或 ——可分离变量的方程 等式的每一边可以写成一个变量的函数与 特点 这个变量的微分之积。 两端积分可得通解.

3. 可分离变量的方程求通解的步骤是: 1. 分离变量, 2. 将上式 两边积分 ——隐式通解 得到： 其中，G(y)、F(x)是g(y)、f(x)的原函数，C为常数。 这种解方程的方法称为 分离变量法. 若存在y0使g(y0)=0,则y=y0也是方程的一个解. 因此,方程除了通积分之外,还可能有一些常数解．

4. 求方程 的所有解． 例1 解 分离变量 两边积分 通解 此外,还有解y=0.无论C取怎样的常数.解y=0均不能由通解表达式y=(x+C)2得出,即直线y=0(x轴)虽然是原方程的一条积分曲线,但它并不属于这方程的通解所确定的积分曲线族y=(x+C)2(抛物线)内,称这样的解为方程的奇解．

5. 例2 求方程 的通解. 解 分离变量 两端积分 通解 为方程的通解.

6. 求解微分方程 练习 解 分离变量 两端积分

7. ¢ = x y y ln y . 求方程 的通解 练习 解 通解为

8. 例3 一、代入验算。 分析 二、两边求导化为微分方程。 分离变量 两边积分 通解 特解

9. 负号是由于当 t 增加时M单调减少 分离变量 两端积分 例4 衰变问题. 衰变速度与未衰变原子含量M成 正比, 求衰变过程中铀含量 M (t) 随时间 t 变化的规律. 解 衰变速度 由题设条件 通解 特解 衰变规律

10. 练习 当轮船的前进速度为v0时, 推进器停止工作, 已知船受水的阻力与船速的平方成正比 (比例系 问经过 数为mk,其中k > 0为常数,而m为船的质量). 多少时间, 船的速度减为原速度的一半? 解 由题意 初始条件 解得 即得.

11. 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 在 内, 的通入量 的排出量 5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 例 解

12. 的排出量 的改变量 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 的通入量

13. 二、齐次微分方程 1.齐次微分方程 如果一阶微分方程可以写成 的形式, 则称之为 齐次方程. 代入 一般解法： 作变量代换 即 得到 u 满足的方程 可分离变 量的方程 分离变量 两边积分, 就得到原方程的通解. 求出通解后,

14. - - = 2 2 xy d x ( x y ) d y 0 例6 解方程 解 将方程写为 齐次方程 方程变为 即 积分 可分离变量方程

15. 例7 求解微分方程 解 微分方程的解为

16. 练习 解方程 解 将方程写为 齐次方程 方程变为 即 积分

17. x - y + = - ( 1 e ) y d x ( x y ) d y . 求方程 的通解 练习 分析 解 齐次方程 令 方程变为 可分离变量方程

18. 分离变量 两边积分 即 得通解

19. 形如 的方程, 当 C1=C2=0时是齐次的,否则不是齐次的． 有惟一解x= , y=. 作变量替换 2. 可化为齐次方程的方程 (1) 若a1b2-a2b1≠0,

20. 这是关于变量u和v的齐次方程.求出其通解后再换回原来的变量x和y.即得原方程的通解.

21. (2) 若a1b2-a2b1=0 作变量替换t=a2x+b2y , 这是关于变量t和x的可分离变量的方程．

22. 令x=X-2,y=Y-3,则原方程可化为 再令 则有 即 例8求方程 的通解． 方程组 解

23. 两边积分得 即 代回原变量即得原方程的通解为

24. 三、一阶线性微分方程 一阶 一阶线性微分方程的标准形式 线性 自由项 上面方程称为 齐次的; 上面方程称为 非齐次的. 如 线性的; 非线性的.

25. ò = - + ln | y | P ( x ) d x C , 1 一阶线性微分方程的解法 1. 线性齐次方程 (使用分离变量法) (C1为任意常数) 齐次方程的通解为

26. 2. 线性非齐次方程 线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况. 线性齐次方程的通解是 但它们 显然线性非齐次方程的解不会是如此, 之间应存在某种共性. 设想 非齐次方程 的解是 待定函数

27. 从而C(x)满足方程

28. d y + = P ( x ) y Q ( x ) . 是 的解 d x 即 一阶线性非齐次微分方程的通解为 把齐次方程通解中的常数变易为 常数变易法 待定函数的方法.

29. 一阶线性方程解的结构 对应齐次方程通解 非齐次方程的一个特解

30. 例9 解 先解对应的齐次线性方程 分离变量 两端积分 即： 常数变易，令 两端求导 积分得 代入得 再代入得通解

31. 一阶线性非齐次方程 例10 解

32. = ³ 3 y x ( x 0 ) 与 例11 如图所示,平行于y 轴的动直线被曲线 y = f (x) 截下的线段PQ之长数值上等于 阴影部分的面积, 求曲线 y = f (x). 解 积分方程 即 一阶非齐次线性方程

33. 所求曲线为

34. 例12解方程 分析 若将方程写成 则它既不是线性方程, 又不能分离变量. 若将方程写成 以x为未知函数, 即 y 为自变量的 一阶非齐次线性方程.

35. 解 此外, y = 1也是原方程的解.

36. 注 解方程时, 通常不计较哪个是自变量哪个是 因变量, 视方便而定, 关键在于找到两个变量间的 甚至是 关系. 解可以是显函数, 也可以是隐函数, 参数形式的.

37. 练习 分析 这是典型的一阶线性方程. 解 由通解公式有

38. 练习 求微分方程 的一个解 使得由曲线 与直线 以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的所围 成的旋转体体积最小. 解 原方程可化为 一阶线性方程 则

39. 雅个布· 伯努利 (瑞士) 1654-1705 伯努利(Bernoulli)方程 形如 的方程, 称为 伯努利(Bernoulli)方程. 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法 需经过变量代换化为线性微分方程. 用 事实上, 除方程的两边,得

40. 伯努利方程的通解 即 可见只要作变换 即化为z 的一阶线性方程

41. 伯努利方程 例13 作变换 解 则方程化为 即 它的通解为 故原方程的通解为

42. 练习 解方程 解 方程化为 令 一阶线性方程 求出通解 将 回代得

43. 例14 求解下列微分方程（其他类型） 解题提示 方程中出现 等形式的项时, 通常要做相应 的变量代换

44. 解 求微分得 代入方程 可分离变量方程

45. 解 可分离变量方程 分离变量法得 所求通解为

46. 解 代入原式 可分离变量方程 分离变量法得 所求通解为 另解 方程变形为 一阶线性方程.

47. 解 原方程 齐次方程 再令

48. 四、小结 可分离变量的微分方程 解法: 分离变量 两端积分 隐式(或显式)通解 齐次方程

49. 一阶线性微分方程 伯努利微分方程

50. 思考题 (是非题) 微分方程的通解是否包含它所有的解? 非 解答 微分方程的通解不一定否包含它所有的解. 例如, 微分方程 的通解为 的通解为 但它不能包含方程的解: 其中C为任意常数.