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第 4 章 连续系统的复频域分析

第 4 章 连续系统的复频域分析. 4.1 拉普拉斯变换 4.2 单边拉普拉斯变换的性质 4.3 单边拉普拉斯逆变换 4.4 连续系统的复频域分析 4.5 系统微分方程的复频域解 4.6 RLC 系统的复频域分析 4.7 连续系统的表示和模拟 4.8 系统函数与系统特性. 4.1 拉普拉斯变换. 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换.

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第 4 章 连续系统的复频域分析

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Presentation Transcript

  1. 第4章 连续系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换 4.2 单边拉普拉斯变换的性质 4.3 单边拉普拉斯逆变换 4.4 连续系统的复频域分析 4.5 系统微分方程的复频域解 4.6 RLC系统的复频域分析 4.7 连续系统的表示和模拟 4.8 系统函数与系统特性

  2. 4.1 拉普拉斯变换 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 一个信号f(t)若满足绝对可积条件，则其傅里叶变换一定存在。例如，e-αtε(t)(α＞0)就是这种信号。若f(t)不满足绝对可积条件， 则其傅里叶变换不一定存在。例如，信号ε(t)在引入冲激函数后其傅里叶变换存在， 而信号eαtε(t)(α＞0)的傅里叶变换不存在。若给信号eαtε(t)乘以信号e-σt(σ＞α)，得到信号e-(σ-α)tε(t)。信号e-(σ-α)tε(t)满足绝对可积条件，因此其傅里叶变换存在。

  3. 设有信号f(t)e-σt(σ为实数)，并且能选择适当的σ使f(t)e-σt绝对可积，则该信号的傅里叶变换存在。 若用F(σ+jω)表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义， 则有 根据傅里叶逆变换的定义，则

  4. 上式两边乘以eσt，得

  5. 4.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域 任一信号f(t)的双边拉普拉斯变换不一定存在。由于f(t)的双边拉普拉斯变换是信号f(t)e-σt的傅里叶变换，因此，若f(t)e-σt绝对可积，即

  6. 例 4.1 - 1求时限信号f1(t)=ε(t)-ε(t-τ)的双边拉氏变换及其收敛域。式中，τ＞0。

  7. 例 4.1 - 2求因果信号f2(t)=e-αtε(t)(α＞0)的双边拉氏变换及其收敛域。 解 设f2(t)的双边拉氏变换为F2(s), 则

  8. 例 4.1-3求反因果信号f3(t)=-e-βtε(-t)(β＞0)的双边拉氏变换及其收敛域。

  9. 图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域 (a) F2(s)的收敛域； (b) F3(s)的收敛域； (c) F4(s)的收敛域

  10. 双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂， 并且信号与其双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。 实际中的信号都是有起始时刻的(t＜t0时f(t)=0)，若起始时刻t0=0, 则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换的积分下限为“0”，该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复频域分析主要使用单边拉普拉斯变换。

  11. 4.1.3 单边拉普拉斯变换 信号f(t)的单边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯逆变换(或反变换)分别为

  12. 与双边拉普拉斯变换存在的条件类似，若f(t)满足 则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在的S复平面上s的取值区域称为F(s)的收敛域。因为f(t)的单边拉普拉斯变换等于f(t)ε(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同，即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于jω轴的一条直线的右边区域，可表示为

  13. 4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换

  14. 4.2 单边拉普拉斯变换的性质 1. 线性

  15. 2. 时移性

  16. 3. 复频移

  17. 例 4.2-3f1(t)=cos(ω0t)ε(t), f2(t)=sin(ω0t)ε(t)，求f1(t)和f2(t)的象函数。

  18. 例 4.2-4

  19. 4. 尺度变换 若 则 式中， 为常数， 证

  20. 例 4.2-5已知 求f1(t)的象函数。 解 因为

  21. 5. 时域卷积

  22. 证 根据信号卷积的定义，并且f1(t)和f2(t)是因果信号，则

  23. 例 4.2-6已知图 4.2-1(a)所示信号f(t)与图(b)所示信号fτ(t)的关系为f(t)=fτ(t)*fτ(t)，求f(t)的单边拉氏变换。 图 4.2-1 例 4.2-6 图 (a) f(t)的波形； (b) fτ(t)的波形

  24. 6. 时域微分 式中，f(1)(t)、f(2)(t)、f(n)(t)分别表示f(t)的一次、二次、n次导数， f(0-)、f(1)(0-)、f(i)(0-)分别表示f(t)、f(1)(t)、f(i)(t)在t=0-时的值。

  25. 证 先证明式(4.2-9)和式(4.2-10)。根据单边拉普拉斯变换的定义， 则有

  26. 反复应用式(4.2 - 9)，就可得到f(n)(t)的单边拉普拉斯变换如式(4.2 - 11)所示。f(1)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域至少是Re［s］＞σ0。若F(s)在s=0处有一阶极点，则sF(s)中的这种极点被消去，f(1)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域可能扩大。f(n)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域也有类似情况。 若f(t)为因果信号，则f(n)(0-)=0 (n=1, 2, …), 此时，时域微分性质表示为 n=1, 2, …；Re［s］＞σ0

  27. 例 4.2-7 求f1(t)和f2(t)的单边拉氏变换。 解 (1) 求f1(t)的单边拉氏变换。由于 故根据线性得 若应用时域微分性质求解，则有

  28. (2) 求f2(t)的单边拉氏变换。由于 因此得

  29. 7. 时域积分 若f(t)←→ F(s)，Re［s］＞σ0, 则有： (4.2-12) 若f(-n)(t)表示从-∞到t对f(t)的n重积分，则有 (4.2-13)

  30. 证明式(4.2-12)： 因为 根据时域卷积性质，则 因为

  31. 证明式(4.2-13): 因为 单边拉普拉斯变换为 根据线性得

  32. 若f(t)是因果信号，f(n)(t)是f(t)的n次导数，则f(t)等于f(n)(t)从0-到t的n重积分。若f(n)(t)的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，根据时域积分性质式(4.2 - 12)，则f(t)的单边拉氏变换为 若f(t)为非因果信号，则L［f(t)］=L［f(t)ε(t)］。因此，若f(t)ε(t)的n次导数 的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)也可由式(4.2 - 17)得到。

  33. 非因果信号f(t)的单边拉普拉斯变换也可根据式(4.2-13)求解。 若f(t)在t=-∞的值f(-∞)=0，f(1)(t)是f(t)的一阶导数，则 t＞-∞ 若f(1)(t)的单边拉普拉斯变换用F1(s)表示，则f(t)的单边拉普拉斯变换为 若f(-∞)≠0，则 t＞-∞

  34. 对于t＞0-，有 则f(t)的单边拉普拉斯变换为

  35. 例 4.2-8求图 4.2-2(a)所示因果信号f(t)的单边拉氏变换。 解 f(t)的二阶导数为 由于δ(t) ←→ 1, 由时移和线性性质得 由时域积分性质

  36. 图 4.2-2 例 4.2-8 图 (a) f(t)的波形； (b) f′(t)的波形； (c) f″(t)的波形

  37. 例 4.2-9求图 4.2-3(a)所示信号f(t)的单边拉普拉斯变换。 解 方法一 由于 根据单边拉氏变换的定义， 得

  38. 图 4.2-3 例 4.2-9 图

  39. 方法二f(0-)=-1，f(t)的一阶导数为 f(1)(t)的单边拉氏变换为 Re［s］＞-∞ Re［s］＞0

  40. 8. 复频域微分 若f(t)←→ F(s), Re［s］＞σ0， 则有 Re［s］＞σ0 n=1, 2, …; Re［s］＞σ0 证 根据单边拉普拉斯变换的定义 Re［s］＞σ0

  41. 例 4.2-10求f(t)=tnε(t)的单边拉氏变换。 解 由于 Re［s］＞0，根据式(4.2 - 21)，得 Re［s］＞0 于是得 Re［s］＞0 由于t2ε(t)=(-t)［(-t)ε(t)］， Re［s］＞σ0 重复应用以上方法可以得到 Re［s］＞σ0

  42. 9. 复频域积分 若f(t)←→ F(s)，Re［s］＞σ0，则有 式中， 存在， 的单边拉普拉斯变换的收敛域为Re［s］＞0和Re［s］＞σ0的公共部分。

  43. 证 根据单边拉普拉斯变换的定义 Re［s］＞σ0 对上式两边从s到∞积分，并交换积分次序得 因为t＞0, 所以上式方括号中的积分 在Re［s］＞0时收敛。因此得

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