PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

1. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Matemática Dorta

2. O determinante de uma matriz quadrada é nulo se: Observação: válido para as três primeiras propriedades que serão citadas nesta aula.

3. P1)A matriz apresenta uma fila de zeros (fila nula).

4. P2)A matriz possui filas paralelas proporcionais:

5. P3)Uma fila é a combinação linear de outras filas paralelas:

6. P4)O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.

7. P5)Teorema de Binet det (A.B) = det A . detB

8. P6)Troca de filas paralelas • Dada uma matriz Anxn, se trocarmos as posições de duas filas de A, teremos uma nova matriz Bnxn, cujo determinante é igual ao determinante de A mudando-se apenas o sinal (+ ou -).

9. Exemplo da P6

10. P7)k. (fila) • Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um número real k não-nulo, o seu determinante ficará multiplicado por k.

11. Exemplo da P7

12. P8)Conseqüência da propriedade anterior • Se multiplicarmos uma matriz Amxn por um número real k não-nulo, obtemos uma matriz Bmxn= k. Amxn tal que det B = kn.det A.

13. Exemplo da P8

14. P9) Válida para matrizes triangulares • Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal principal de uma matriz quadrada são todos iguais a zero, o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal.

15. Exemplos da P9

16. P10) Válida para matrizes similares as triangulares • Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal secundária de uma matriz quadrada são todos iguais a zero, o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal multiplicados por (-1) [n.(n-1)]/2; em que n é a ordem da matriz.

17. Exemplos da P10

18. P11)Soma de determinantes • São dadas três matrizes, A, B e C, de ordem n, com n-1 filas correspondentes iguais. Se os elementos da outra fila de C forem iguais à soma dos elementos correspondentes das outras filas de A e B, então det C = det A + det B.

19. Exemplo da P11

20. P12)Teorema de Jacobi • Multiplicando-se uma fila de uma matriz A por um número real não-nulo e adicionando-se o resultado à outra fila, o seu determinante fica inalterado.

21. Exemplo da P12

22. P13)Determinante de Vandermonde • Um determinante de ordem n maior ou igual a 2 é chamado determinante de Vandermonde se na primeira linha os elementos forem todos iguais a 1; na segunda, números reais quaisquer; na terceira, seus quadrados; na quarta seus cubos, e assim sucessivamente.

23. Cálculo do determinante de Vandermonde • Os elementos da segunda linha no determinante de Vandermonde são chamados de elementos característicos. • Um determinante de Vandermonde é calculado por meio do produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo de cada um dos elementos característicos os elementos que os precedem.

24. Exemplo da P13