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第三章 线性方程组 §5 向量组的秩

第三章 线性方程组 §5 向量组的秩. 定义 设 向量组 A 的部分向量组 A 0 ： α 1 , α 2 , … , α r 满足：. 1 ） A 0 线性无关； 2 ） A 中任意 r+1 个 向量 ( 若有 ) 必 线性相关. 则称 A 0 为 A 的一个最大（线性）无关组. 称 向量组 A 的秩为 r, 记作： r A =r. 如 A:. 中， α 1 ， α 2 线性无关 ,. 而 α 1 ， α 2 ， α 3 线性相关， ∴ α 1 ， α 2 为 A 的一个最大无关组， r A =2.

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第三章 线性方程组 §5 向量组的秩

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Presentation Transcript

  1. 第三章 线性方程组 §5 向量组的秩 定义 设向量组A的部分向量组A0：α1 ,α2 ,… ,αr 满足： 1）A0线性无关；2）A中任意r+1个向量(若有)必线性相关. 则称A0为A的一个最大（线性）无关组. 称向量组A的秩为r,记作：rA=r. 如A: 中， α1，α2线性无关, 而α1，α2，α3线性相关，∴ α1，α2为A的一个最大无关组，rA=2. 又如n维单位坐标向量组 ε1,ε2 ,…, εn 线性无关， 其最大无关组就是它自己. 其秩为n.

  2. 第三章 线性方程组 §5 向量组的秩(续1) 定理8 矩阵的秩等于其行（列）向量组的秩. 设A0： 为A的最大无关组. 则对A中任意向量 线性相关， 由定理7的推论3, 可由A0线性表示. 易知 A的最大无关组与A等价.

  3. 第三章 线性方程组 §5 向量组的秩(续2) 例1 求下列向量组A的一个最大无关组，并将其余向量 表为最大无关组的线性组合. 行变换 A: A → B,则A的列之间的关系不变. 解： =U. =R(U)=2. 线性无关, 即 为A的一个最大无关组.设 得： U

  4. 第三章 线性方程组 §5 向量组的秩(续3) 例2 求A的列向量组的秩与一个 最大无关组A0，并将其余列向量 表为A0的线性组合. 解： =U 秩为3， α1,α2,α4线性无关, 为一个最大无关组.

  5. 第三章 线性方程组 §5 向量组的秩(续4) U= 首元所在列均化为单位坐标向量. 为行最简形.

  6. 第三章 线性方程组 §5 向量组的秩(续5) 定理9 设向量组A可由向量组B线性表示，则rA≤rB. 推论1. 等价向量组秩相等.

  7. 第三章 线性方程组 §5 向量组的秩(续6) 推论2.设向量组A的部分向量组A0： α1,α2,… ,αr满足： 1）A0线性无关；2）A可由A0线性表示. 则A0为A的一个最大无关组. （最大无关组的等价定义.） 证：只须证A中任意r+1个向量线性相关. 因为A中任意r+1个向量均可由A0线性表示，所以其秩r1≤A0的秩r， ∴r1≤r<r+1,由定理7，这r+1个向量线性相关，证毕.

  8. 第三章 线性方程组 §5 向量组的秩(续8) 矩阵秩的性质： (1)R(AB) ≤min{R(A),R(B)}; 证:设A=[α1α2...αs], B=[bij]s×n, AB=[c1 c2...cn] b1j b2j . bsj [c1 c2...cn]= [α1α2...αs] cj=b1j α1+b2j α2+...+bsj αs ∴R(AB) ≤R(A). 即AB的列可由A的列线性表示. 又R(AB) =R(BTAT)≤R(BT)=R(B). ∴R(AB) ≤min{R(A),R(B)}.

  9. 第三章 线性方程组 §5 向量组的秩(续9) 矩阵秩的性质： (2)R(A+B) ≤R(A)+R(B); 证:设A=[α1α2...αs],B=[β1β2...βs] 则A+B=[α1+ β1α2+ β2...αs+ βs] 又设A,B的列向量组的最大无关组分别为： A+B的列可由A与B的列的合并向量组线性表示，显然亦可由A0与B0的合并向量组A0∪B0线性表示. ∴R(A+B) ≤ A0∪B0的秩≤r+k=R(A)+R(B) 类似可证: (3)R[A|B] ≤R(A)+R(B).

  10. 第三章 线性方程组 §6 线性方程组解的结构 定理10 设X1,X2均为齐次线性方程组AX=0的解，则 k1X1+k2X2也是AX=0的解（k1,k2为任意常数）. 定义：设齐次线性方程组AX=0的解向量 ξ1, ξ 2,…,ξp 满足： 1) ξ1, ξ 2,…,ξp线性无关; 2) AX=0的任一解均可由ξ1, ξ 2,…,ξp线性表示. 则称ξ1, ξ 2,…,ξp为AX=0的一个基础解系.

  11. 第三章 线性方程组 §6 线性方程组解的结构(续1) 定理11 设R(Amn)=r<n,则AX=0有基础解系：ξ1, ξ 2,…,ξn-r . 证:AX=0有n-r个自由未知量，不妨设为xr+1,xr+2,...,xn. 令 依次取

  12. 第三章 线性方程组 §6 线性方程组解的结构(续1) 对应解向量： 线性无关.

  13. 第三章 线性方程组 §6 线性方程组解的结构(续1) 且对AX=0任一解: X= ∴ξ1, ξ2,…,ξn-r为 AX=0的基础解系.

  14. 第三章 线性方程组 §6 线性方程组解的结构(续2) 定理12 设η1, η2均为非齐次线性方程组AX=b的解，则 η1- η2是AX=0的解. 定理13 若n元非齐次线性方程组AX=b有解，则通解为： 其中， η*为AX=b的一个特解，r=R(A), ξ1, ξ 2,…,ξn-r为AX=0的基础解系. 证：设η为AX=b的任一解， η*为AX=b的一个特解.则 η- η*为AX=0的解，可表为基础解系的线性组合：

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