固體之強度特性

1. 固體之強度特性 1. 前言 2. 彈性變形與應力分布 3. 單軸荷重下之應力-應變(σ-ε)關係 4. 低溫及中溫度區域之材料強度 5. 高溫度之材料強度 6. 材料之破壞  For elastic-plastic solid at low temperature, the strain depends only on stress:  ε= f()  When the temperature is high, the resulting strain on application of a stress may be dependent on time as well:  ε= f(, t) 

2.  When is a temperature considered high? Whether a temperature is high or low to a particular material depends not only on the temperature itself but on the atomic bond strength of the material. Thus, room temperature is extremely low for tungsten, which melts at well over 3000oC but very high for ice, which melts at 0oC.  It is more indicative if we normalize temperature with a material’s melting point  Homologous temperature T/Tm(temperatures in K).

3. 1. 前言 作用於物體之外力，將使材料形狀變化 ( 變形，elastic 及plastic ) ，或產生破壞。 這種行為即為材料機械性質 ( Mechanical Behavior，或 Mechanical Property ) 。 其中最重要的為應力 ( stress )，應變 ( strain )，重要之Mechanical Behavior為彈性係數 ( elastic constant ) 又稱為楊氏係數 ( Young’s modulus) 定義: 外力作用產生可逆的，非時間相関性( time-independent ) 之彈性應變。 另一重要的Mechanical Behavior為延性 ( ductility ) 定義 :　材料未破壞前所能承受之最大工程應變。

4. Mechanical Behavior中有些是材料固有特性，例如： E不會因測試條件而變。 有些並非固有特性，例如 :延性， 隨測試條件；如測試溫度，荷重保持時間，應力增加速率而變。 例如：結構用鋼在18℃下具有75％伸長率（strain），但在-253℃則只有1％strain。 因此結構件設計之際，使用材料之機械性質（M.B）必須慎重選擇。 建築鋼架要求強度，尖銳區之低荷重 ( 應力集中 ) 要求延性。 陀螺儀 ( gyroscope ) 要求剛性，因此需要高E材料 ( Be ) ，而生醫材料必須與骨骼匹配，需用低E材料。

5. 2.彈性變形與應力分布 彈性範圍內之σ-ε曲線 固體材料承受低應力時，一般產生彈性變形 ( elastic deformation )，即由應力產生之應變為可逆的，而且應力與應變成正比。 tensile 或shear 均同。 此關係極為有名的Hooke’s’ law 此常數為彈性常數。 對一般結晶材料而言，彈性應變遠小於1%。

6. 定義　:　應力為作用於材料之力的密度 (單位面積之作用力) 　=P/A 應力的成分可分解成平行作用面之剪應力 ( shear stress )τ與垂直作用面之拉伸應力 ( tensile stress )σ 彈性應變γ ( shear strain ) γ = tan (x/h)  x/h 彈性剪應力及剪應變之比例關係 τ=γ  (G) : shear modulus 單純剪斷

8. 為剪彈性係數 ( 或剛性係數Shear Modulus )， 純粹剪應力狀態，物質不產生體積變化，只有形狀變化。 等值之壓縮應力作用 ( σ ) 固體體積產生ΔV變化，形狀不變，此種變形稱為純體積變化。 體積變化 Δ=ΔV/ΔV 同樣， σ=BΔ 此B稱為體彈性係數 Bulk Modulus 純體積變化

9. 然而，一般作用之應力狀態是兩種混合的。單軸向拉伸是最常見的。然而，一般作用之應力狀態是兩種混合的。單軸向拉伸是最常見的。 應力σ作用於長度 ℓ0之試桿，產生Δℓ 伸長。 拉伸應變 εz= Δℓ/ℓ0，由Hooke’s law， σ= Eεz = EΔℓ/ℓ0 其中E為縱彈性係數 (楊氏係數，Young’s modulus ) 單軸向拉伸

10. 與縱向垂直的兩個方向，產生壓縮應變εx= εy，而波桑比 (ν，Poisson's ratio ) 定義為 ν= -εx/εz= -εx/εz 大部分金屬的ν在0.25～0.35 縱彈性係數與剪彈性係數，體彈性係數間有下列關係 : E= 2G(1+ν)，E= 3B(1-2ν)

11. 各種材料之E與ν 此等係數之大小代表原子間結合力的強度。

13. 彈性係數並不受合金元素微量增加，內部缺陷之影響。彈性係數並不受合金元素微量增加，內部缺陷之影響。 全率型固溶型合金，Young’s modulus 依混合比例變化。 形成中間相之縱彈性係數則比較複雜。 例如 Mg-Sn alloy : 兩元素均為6×106psi，但Mg2Sn則高達107psi以上。 彈性係數受組成不同而變，另外E也具有結晶學之差異。此種因方位造成之差異稱為 ” 異方性( anisotropy ) ” Fe的彈性係數，因方位 ( orientation ) 不同，在4×106psi～19×106psi之變化。 E也隨溫度上升而降低，一般在熔點一半溫度隨溫度呈線性降低，溫度再上昇則急速下降。 1/2Tm及Tm附近各約為0.8E及0.4E。

17. Stress • Strain Young’s modulus

19. 單純應力狀態 大部分材料，在微小應力範圍產生彈性行為。超過此應變將產生永久變形甚至破壞。 產生永久變形之外力值，即作用力之剪應力成分所決定。 產生破壞之條件，則為作用力之垂直應力成分所決定。 因此，理解結構件受力狀態 ( 應力狀態 ) 是必要的。 例如 : 單軸荷重P作用，在特定幾何學面上之特定方向產生剪應力τ，因而產生剪應變。 此分解剪應力大小隨此特定面與方向沿拉伸軸所構成之角度而異。

20. 單軸拉伸時，面A’上之分解剪應力之計算 考慮求取τ之最大值時，當ψ固定，θ之最小值為(π/2-ψ) ，則 此函數在ψ=π/2時有最大值 τmax= σ/2 最大分解剪應力 ( Maximum Resolved shear stress ) 出現在與拉伸軸呈45o之面。大小為拉伸應力一半

21. Schmid’s law Schmid’s factor

23. EX : 考慮2軸向應力狀態。計算作用於AA之剪應力τ，及τ最大時之面方位 ( θ值 )。 作用力之平衡

24. 一般結構材受力狀態遠比單軸向拉伸複雜，通常作用力均包含垂直應力與剪應力。一般結構材受力狀態遠比單軸向拉伸複雜，通常作用力均包含垂直應力與剪應力。 但是，應力狀態如何複雜，均可單純由相互垂直之垂直應力來等價表現。 此垂直應力成分稱為主應力 ( principle stress )。

25. Mohr’s Circle

27. 事實上，巨觀永久( 塑性 ) 變形在 由此，了解荷重與主應力之關係時，即可求得不產生塑性變形之最大荷重。 EX. 承受內壓P之薄壁容器，屬於2軸向應力狀態，容器壁上之垂直應力成分 (σ3) 實質上為0，壁厚t，直徑d，主應力σ1= Pd/2t，σ2= Pd/4t，σ3=0 。

28. 解 : 降伏開始 因此 永久變形後之開始條件決定於剪應力，而破壞條件則決定於拉伸應力。 因此，破壞條件 EX : 上例中，材料具有之破壞強度為何 ?

29. 應力集中源 ( Stress Concentrator ) 巨觀材料強度低於理論值之另一原因→ Crack ( 裂縫 ) 此種缺陷 ( bulk defect ) 使局部應力超過破壞原子間結合之應力值。 荷重作用於截面積A，σ=P/A 力的密度可用力線來表示。 均質體含Crack物體

32. 彈性之應力集中係數 定義為 : 裂縫附近之局部應力 以K表示， 。 K隨裂縫 ( Notch ) 長度2a，尖端曲率半徑ρ，及距裂縫尖端之距離r而變。 在裂縫尖端 (r=0時)， 即 : 裂縫愈長愈尖，局部應力愈大。

33. 3. 單軸向荷重下之σ-ε關係 一般σ-ε曲線有3種型態，即 ( 1 ) 同時具有彈性及塑性變型之材料 ( 2 ) 無塑變只產生彈性變型後破壞之材料 ( 3 ) 產生極大之 “ 彈性應變 “ 之材料

34. 一般金屬材料屬於第一種型態，具有elastic與plastic deformation 後破壞。 大部分bcc結構之過渡金屬與steel類似，σ-ε曲線中有明顯之降伏點。 而fcc，hcp離子結晶等，則與Al之σ-ε類似。

47. T = K(