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Driss BOUTAT

La stabilité des sytèmes hybrides : et observateurs hybrides. Driss BOUTAT. Le plan. La stabilité des systèmes linéaires classiques La complexité de la stabilité des dynamiques mixtes Les conditions suffisantes de la stabilité asymptotique indépendante des commutations.

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Presentation Transcript

  1. La stabilité des sytèmes hybrides : et observateurs hybrides Driss BOUTAT D. Boutat

  2. Le plan • La stabilité des systèmes linéaires classiques • La complexité de la stabilité des dynamiques mixtes • Les conditions suffisantes de la stabilité asymptotique indépendante des commutations. • Les conditions suffisantes dépendantes des commutations pour une classe de systèmes hybrides • Application aux observateurs hybrides D. Boutat

  3. Stabilité des sytémes linéaires classiques L’asymptotique stabilité des dynamique linéaires est complètement connue grâce à la connaissance du spectre de Si les parties réelles des valeurs propres de sont strictement négative alors (l’unique singularité). Asymptotiquement Pour toutes matrices définie positive il existe définie positive telles que : On dit que V ou P est une Lyapunov D. Boutat

  4. q=det (M) Spirale asymp stable Spirale instable Centre stable Nœud impropre instable Nœud impropre asymp stable Nœuds Nœuds p= trace (M) Point selle instable Diagramme de stabilité en dimension 2

  5. Que peut on dire de la stabilité des dynamiques mixtes? D. Boutat

  6. Systèmes hybrides avec sauts D. Boutat

  7. Une classe de systèmes hybrides Les systèmes hybrides considérés ici sont : écriture Où est un ensemble de paramètres et est une loi de commutation constante par morceaux. Pour une loi de commutation donnée on lui associe la dynamique hybride : D. Boutat

  8. instable Asymptotiquement Stables commutations D. Boutat

  9. Simulation D. Boutat

  10. Dépendance de la commutation : D. Boutat

  11. Phénomène du barrage stable Instables D. Boutat

  12. D’autres phénomènes D. Boutat

  13. Laypunov commune Définition d’une Lyapunov commune et non bornée pour et Remarque : La condition n’est pas suffisante. En effet, Cependant n’est pas compact D. Boutat

  14. La commutativité : K.S. Narendra & J Balakrishman : 1994 Théorème : On suppose que sont les asymptotiquement stables. Si alors le système SH a une Lyapunov commune. L’idée : Donc uniformément asymptotiquement stable. D. Boutat

  15. Construction de la Lyapunov commune On fixe et on calcule On obtient On montre que est une Lyapunov commune. En effet pour N=2 on a : D. Boutat

  16. La commutativité n’est pas nécessaire. En effet, est une Lyapunov commune pour Cependant, D. Boutat

  17. Co-triangulaires dans « la solvabilité » : D. Liberzon J.P. Hespanha A.S. Morse . R.N. Shorten 1999. L’idée Lyapunov commune. D. Boutat

  18. Théorème S’il existe une matrice inversible complexe telle que Alors une Lyapunov commune. réelle D. Boutat

  19. Résumé Hypothèse Les matrices sont Hurwitz : c’est-à-dire les parties réelles de leur spectres sont strictement négatives Asymptotiquement stable du SH i) La commutativité des deux à deux Asymptotiquement stable du SH ii) La co-triangularisation complexe des Lie XVIII siècle Asymptotiquement stable du SH iii) La solvabilité de l’algèbre de Lie engendrée par les D. Boutat

  20. Une nouvelle classe de systèmes hybrides asymptotiquement stables : Application aux obsrvateurs hybrides. Chaïb, Benali, Barbot et Boutat La solvabilité de l’algèbre de Lie engendrée par les . Les sont triangulaires dans un même repère. IL est difficile de trouver une tel repère!!! ? Comment les choisir pour stabiliser et rendre l’algèbre solvable?? Compliquer!!!!!! D. Boutat

  21. Le principe d’invariance de LaSalle. est asymptotiquement attractive. En particulier si alors est asymptotiquement stable. « observable » « observable » D. Boutat

  22. On considère . Théorème : Si alors le système hybride est globalement uniformément stable (GUS). Et si en plus, sont observables et la commutation a un « comportement sympa » alors il est globalement uniformément asymptotiquement stable (GUAS) Comportement sympa : il existe D. Boutat

  23. Démonstration comme est observable alors par LaSalle 0 est asymptotiquement attractive pour chaque p. D. Boutat

  24. un temps d’attardement une période de persistance D. Boutat

  25. Le reste de la démonstration est dû a J.P. Hespanha 2004 IL écrit comme suit : et sympa F.M. Pait & A.S. Morse 1994 Squashing Lemma : « lemme de pression » D. Boutat

  26. Le temps d’attardement non sympa D. Boutat

  27. Un générateur de signaux de commutations Signal aléatoire en amplitude D. Boutat

  28. D. Boutat

  29. Corollaire : • Si les sont A stables alors les admettent une Lyapunov commune (on plus besoin de la condition sympa) • Si l’algèbre de Lie engendrée par est solvable alors sont A stable (on plus besoin de la condition sympa) Exemple : n’est pas solvable D. Boutat

  30. Application aux observateurs observable Théorème : • Si est stable sur alors il existe des gains qui stabilise • Si est asymptotiquement stable sur alors il existe des gains qui rendent asymptotiquement stable D. Boutat

  31. Justification : Ok par le premier théorème. sur D. Boutat

  32. Exemple : sur sur D. Boutat

  33. Application à un bio-système : Kwang-Hyun Cho et all (Journal of biosystems ) D. Boutat

  34. D. Boutat

  35. Dans le reste du support je donne en vrac quelques éléments sur les signaux de commutation avec des traductions de la terminologie utilisée par les chercheurs américains. J’ai sélectionné deux théorèmes que je considère important pour la théorie de la stabilité des systèmes hybrides. Cependant il en existe d’autres!!!. Pour tout commentaire je vous serais reconnaissant de me contacter soit : au : 02 48 48 40 77(*) ou par email driss.boutat@ensi-bourges.fr (*) coût d’appel par seconde D. Boutat

  36. Les signaux de commutations le nombre de discontinuités (de passages d’un sous système à l’autre) dans l’intervalle Nonchattering « non oscillant » : les signaux pour lesquels on a : Dwell time « le temps d’attardement » : un signal a un temps d’attardement si le temps d’évolution de chaque sous système est au moins . On note leurs ensemble par : Dans ce cas si on a : D. Boutat

  37. La borne d’oscillation Le temps d’attardement moyen La période de persistance entre les intervalles de longueur et sur lesquels est constante D. Boutat

  38. Un signal de type : satisfait l’hypothèse pour En effet, s’il existe et tels que pour tout Donc Impossible pour : D. Boutat

  39. Démonstration : D. Boutat

  40. Ma selection : deux grands théorème de la théorie Ici je donne deux résultats importants de la théorie de stabilité des systèmes hybrides : le premier est fait pour le cas linéaire avec un Lyapunov commune et le second fait pour les systèmes non linéaire (a fortiori linéaire) et qui utilise la notion de Lyaponuv multiple et le principe d’invariance de LaSalle. On considère l’algèbre de Lie engendrée par les et : On considère sa décomposition de Levi L’idéal maximal solvable Théorème 1 : (A.A. Agrachev & D. Liberzon 2001) • Si compacte alors le système hybride admet une Lyapunov commune. • Si n’est pas compacte alors il existe une famille qui engendre et qui n’admet pas de Lyapunov commune comme il existe une autre qui admet une LC. D. Boutat

  41. Théorème 2 : Hespanha, Liberzon & Angeli 2005 Si les conditions suivantes sont satisfaites : 1) 2) Pour deux commutation avec on a : 3) où 4) tels que : alors le système est globalement asymptotiquement stable Commentaires • Les points (1) et (2) du théorème c’est la définition de Lyapunov multiples. • Le point (3) système est borné par la sortie (fictive) • Le point (4) c’est la persistance du temps d’attardement : on l’impose si le système admet une infinité de commutation. D. Boutat

  42. Lemme de Barbalat Si considère une fonction réelle uniformément continue et telle que alors Démonstration : Supposons que ce n’est pas le cas, donc tels que : Par continuité uniforme pour ce même ……. Donc D. Boutat

  43. sur Cependant Car n’est pas uniformément continue Pour assurer la continuité uniforme, on assume que et sont bornées et ceci grâce au théorème des accroissement fini (mais ça demande un peu de régularité sur ). Ce n’est pas cette version du lemme de Barbalat qui est utilisée pour montrer que la sortie « fictive » On voit déjà que la sortie n’est pas continue. Elle l’est par morceaux. Elle est bornée ainsi que sa dérivée si l’est et est compact. D. Boutat

  44. Hypothèse : S’il le nombre de commutation est infini alors il existe tel que pour tout on peut trouver tel que : Voici la version du lemme de Barbalat utilisée pour les systèmes hybrides. Lemme : Barbalat Hybride D. Boutat

  45. Sinon il existe une famille infinie tels que : si sinon …. D. Boutat

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