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★ 前回までの復習 ○無衝突自己重力多体系 ○無衝突ボルツマン方程式 　 ○　定常解（平衡解）は？ (strong)Jeans 定理　　　 積分量

★ 前回までの復習 ○無衝突自己重力多体系 ○無衝突ボルツマン方程式 　 ○　定常解（平衡解）は？ (strong)Jeans 定理　　　 積分量 　一方、　（巨大）楕円銀河：共通な特徴　　　定常状態か？ ＊光度分布　＊三軸不等楕円体　＊速度分散の非等方性 しかし、二体散乱は効いていない violent relaxation Lynden-Bell 分布？ 　　　　　　質量発散、数値実験結果とは合わない　　　　. ★ ３軸不等楕円銀河の力学構造の構築 Lynden-Bell 分布でないとすると、実際は 　　どんな力学構造をしているのだろうか？

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★ 前回までの復習 ○無衝突自己重力多体系 ○無衝突ボルツマン方程式 　 ○　定常解（平衡解）は？ (strong)Jeans 定理　　　 積分量

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Presentation Transcript

  1. ★前回までの復習 ○無衝突自己重力多体系 ○無衝突ボルツマン方程式 　 ○　定常解（平衡解）は？ (strong)Jeans定理　　　積分量 　一方、　（巨大）楕円銀河：共通な特徴　　　定常状態か？ ＊光度分布　＊三軸不等楕円体　＊速度分散の非等方性 しかし、二体散乱は効いていない violent relaxation Lynden-Bell分布？ 　　　　　　質量発散、数値実験結果とは合わない　　　　

  2. ★３軸不等楕円銀河の力学構造の構築 Lynden-Bell分布でないとすると、実際は 　　どんな力学構造をしているのだろうか？ ◎３軸不等かつ速度分散が非等方 第３積分の存在！

  3. 従って、非等方 E以外の積分あり（２つ） 　　　　　　しかも、軸対称ではないので、角運動量ではない、 　　　　　　積分 ◎積分量３つ規則的軌道(regular orbit)で 　　　　　　　　　　　　　　　構成されているはず

  4. 　★まとめると、 三軸不等楕円体　　　ほとんど規則的な軌道で 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　構成されているはず 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　速度分散は等方に 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　なってしまう regular orbitsで構成 Ｓｃｈｗａｒzｓｃｈｉｌｄ：regular orbitsによって、定常的 　　　　　　　　　　　　　　な三軸不等楕円ポテンシャルを 　　　　　　　　　　　　　　無矛盾に構築可能

  5. ★Schwarzshildのself-consistent model Schwarzshild(1979) ＊はじめて、３軸不等(triaxial)ポテンシャル中での定常状態の 　　存在を示した。

  6. ★手法 ◎ρの構成

  7. ◎これは何をやっていることに対応するか？ Cf.２次元系（１自由度系）

  8. ★結果 regular orbit(box orbitとtube orbit)の 　　組み合わせで、定常状態の存在を示す 　　ことができた

  9. ★その他の場合 ○figure rotationがある場合 　○軸比を変化 　○ポテンシャルの形を変化 Heisler et al.(1982), Clearly(1989),Martinet et al.(1988)など 様々な場合に軌道の安定性と分岐構造が解析されている。

  10. ★解析的に解ける場合 　変数分離型　Stackel potential *２次元の場合

  11. 第２積分：

  12. ★その後の発展 　　中心：core cuspがある場合 Merritt&Fridman(1996), Merritt(1996)

  13. ★結果 ○中心部ではカオスがdominate。 　　　ただし、weak cuspの場合の方がゆっくりと拡散。 　○strong, weak cuspいずれの場合もregular orbitのみでは self-consistentモデルを構築できない 　○stochastic orbitを入れれば構築できる 　　　　　　　“準平衡”（時間が経つと変化） 　○fully mixed stochastic orbitを中心部で使う。 　　しかし、strongではできない。 ＊もし、strong cuspの存在が事実 triaxialではなく、spheroidであろう

  14. ★Schwarzshild法の問題点 定常解の存在は分かるが・・・・・ 唯一性？ 　　　　　　　　大局的な安定性？ 実際は、どういう状態が選ばれやすいのか？ ＊様々なモデル作り（template)に適しているかも

  15. ★まとめと問題提起 　★Violent Relaxation 位相空間のミキシング　 カオス 　　★３体問題：カオス　　　大自由度系は 　　　　　　　　　　　　　　　　　もっと複雑？！ ★三軸不等楕円体　　　　規則的軌道で構成 矛盾？？ 　この二面性はどう説明されるのだろうか？ 実は、ハミルトン系のカオス、エルゴード性とも 関連

  16. ★ハミルトン系のカオスと安定カオス ★カオスとは？　　完全可積分系カオス ★完全可積分系 孤立積分：Ｎ個の保存量　　はポアッソン括弧に 　　　　　　　　　　対して互いに包含的である

  17. 例：１次元調和振動子

  18. ★カオスの特徴と定量的判定 ◎特徴　・非周期的運動 　　　　　　 ・初期条件のずれが指数関数的に拡大　　　　予測困難 　◎定量化　Lyapunov exponent:位相空間上での軌道

  19. ポアンカレ切断面

  20. ポアンカレ写像

  21. ★可積分系(regular system) 非可積分系 *KAMトーラスの存在

  22. Henon-Heiles系のポアンカレ写像

  23. ★安定カオス ◎大きく分けて２種類のカオス 　　　・ergodic chaos ・stable chaos カオスであっても長時間、あたかも 　　　“regular”のようにみえる ＊ある場合は、位相空間での残存トーラスの 　　　　　複雑な自己相似構造に起因

  24. ★安定カオスの例 ◎Stagnant motionY.Aizawa etal.(1989) Stagnant layer KAM（or cantor)トーラスの周りを 　　　　　　　　　　　　　　　　　長時間まとわりつく ＊カオスであってもあたかも 　　　　　　　　　　　　　　　　　“regular”のようにみえる 　　　　　　　　　　　　　　◎残存トーラスのフラクタル構造 ・pausing time T: long time tail correlation!

  25. トーラスのフラクタル構造

  26. ★問題提起 ★ “安定カオス”　　　　　・長期的にトーラス付近に 　　　　　　　　　　　　　　　　まとわりつく ・状態の遷移 　　　　　　　　　　　　　　 　・滞在時間の分布　　　ベキ分布 トーラスのフラクタル構造 自己重力多体系でもみられないだろうか？ ＊楕円銀河の力学構造の二面性を説明可能か！？ 　　　　カオスであり、かつregularになっている

  27. ★ 大自由度系での緩和とmixing（混合性） カオス：少数自由度でも複雑な運動　　　　熱平衡化 大自由度系：自由度を増やす　　　ノイズを加える 　　　　　　　　　　　　　　　熱平衡化しやすいと期待 　　　系のサイズＮ　　　　∞　の時に、KAMトーラスの 　　　体積は０になるのか？ ◎大自由度系の保存系は熱平衡になるしかないか？ ◎カオスとregular領域の混在する系での緩和、 　　　熱平衡化に関しては未開拓

  28. §8．自己重力多体系の緩和過程 8－１　緩和過程と混合性 Relaxation Process of Normal Gas(Liquid) on the Ground Relaxation:approach to the thermal equilibrium (“thermalization”:熱平衡化) 　　　　　　　　　（熱平衡） the maximum entropy state thermal equilibrium (Maxwell-Boltzmann distribution) microcanonical distribution（ミクロカノニカル分布） We can see this thermalized state at any time after relaxation.

  29. ★Microscopic dynamics is described as a trajectory in the Γ space(2×D×N-dimensional phase space) D:spatial dimension N:number of particles Γ space Relaxation process = Mixing （混合性）===>Ergodicity（エルゴード性） In the mixing system, a small but finite part of the phase space spread over a whole ergodic region by means of coarse graining . Chaos N>>1random collision information loss Relaxation Time τ～tKS=1/hKS (hKS:Kolmogorov-Sinai(KS)entropy)

  30. ★エルゴード性と混合性 ○エルゴード性：物理量の長時間平均＝集団平均 しかし、 エルゴードだからといっても、混合性ではなく、 　　緩和と関係ない場合もある。 例：１個の調和振動子： 　　　　　エルゴードであるが、しかし、緩和とは 　　　　　関係ない

  31. ★混合性：熱平衡に近づくために、エルゴードより強い条件★混合性：熱平衡に近づくために、エルゴードより強い条件 　 ◎混合系　　　　　エルゴード系 （証明は、参考文献の中野・服部のtextを参照） 位相空間(Γ空間）でのphase mixingによる 　　　　　　　　分布の広がり カオスの発生メカニズムとも対応

  32. ★混合性の定義

  33. ★熱平衡状態への緩和について 混合性　　　　　　　　相関の消滅 　（初期情報の消滅） ◎Mixingと粗視化 mixing (ほぼ全域から） 　　軌道が入ってくる 　　　　　＋ 　　粗視化　　（非可逆性が入る！） Γ空間のE=一定面上でどこでも同じ　　“安定”（平衡）

  34. つまり、 ミクロカノニカル分布になる

  35. ★緩和時間とKSエントロピー 　　◎Kolmogorov-Sinai(KS)エントロピー ◎物理的意味 　　　初期でのlittle phase volume 時刻t後 mixingするtime scale ：その系で、現在までにある巨視的物理量の測定をあらかじめ 　　　　　　　　　どんなに多数回測れたとしても、現在の値は確定しない。　

  36. Problem: How is the relaxation process in the self - gravitating system? Is the relaxation process similar to the normal gas? In general, Ｎ≧３Chaos IfN>>1 Strong Chaos?? Strong Mixing? Relaxation is strengthened?

  37. 8－２　１次元重力シート多体系 ------- Sheet Systems------- N identical plane-parallel mass sheets, each of which has uniform mass density and infinite in extent in the vertical direction of the moving ★Advantages ○phase space is compact, which makes the system tractable in considering ergodicity ○the evolution of the system can be followed numerically with a good accuracy. ○we can study the properties induced by long range forces even in the 1-D systems.

  38. ８－３　緩和過程とカオス的遍歴 Complicated approach to “theｒmalization” Initial state(virial equilibrium:ビリアル平衡,τ～tc） Microscopic relaxation:energy equipartition(エネルギー等分配）“quasi-equilibrium state(QE)(準平衡状態）”τ～Ntc Macroscopic relaxation: transit state(TS) e.g.τ～104Ntc（遷移状態） QE TS QE --------- thermal equilibrium(long time average=ensemble average) microcanonical distribution（ミクロカノニカル分布） τ～106Ntc (tc: crossing time, the typical time in which a sheet crosses the system)

  39. ★初期条件 例えば、 Water Bagと等温分布（Isothermal) Tsuchiya etal. Physical Review E 50,2607(1994)

  40. ★ Degree of deviation from equipartition (if fluctuation behaves in the same manner as thermal noise---> N=64

  41. ★degree of deviationや（有限の）リアプノフ指数の 　　時間進化

  42. ★エネルギー分布関数 Microscopic relaxation直後

  43. ★Microscopic relaxation ○エネルギー等分配が成立 ○エネルギー分布関数は、ほとんど変化せず。 “準平衡状態” ○緩和時間τ～Ntc ★Macroscopic relaxation 　○degree of deviationやリアプノフ指数の値が 　　　変化 　○エネルギー分布関数が変化 　　　“等温分布”に“似た”状態（遷移状態）に移行 　○緩和時間τ～104Ntc

  44. ★エネルギー分布関数 Macroscopic relaxation直後

  45. ★Macroscopic relaxation以後について この緩和で、“等温分布”にいったものと思ったが。。。 　実は、これは、カオス的遍歴の始まりに過ぎなかった。 ◎エネルギー分布関数がもとに“近い”状態にもどった。

  46. ★Chaotic Itinerancy(カオス的遍歴） e.g. :degree of deviation from equipartition (if fluctuation behaves in the same manner as thermal noise---> N=64N=32 averaged in time over the interval

  47. ★準平衡状態(quasi-equilibrium state)と 　　遷移状態(transit state) Life timeの分布

  48. ★準平衡状態と遷移状態の遷移メカニズム 　◎遷移状態：１個の粒子がhigh energyをもつ ◎位相空間：　外側にある粒子の“回転” 　　　　　　　　　　　　　遅れるーー＞エネルギーをもらう 　　　　　　　　　　　　　早くなるーー＞エネルギーを失う　 準平衡状態　　　　　　　　遷移状態への移行直前

  49. ★Remarks 1. Complicated relaxation process Chaotic Itinerancy : Probability distribution of the life-time of TS: (QE: ) Fractal structures of the barriers in Γspace 2.Time scale of relaxation What determines the time scale? Size of the largest barrier?

  50. ★時間尺度の違い

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