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§9-3 三重积分

§9-3 三重积分. z. o. y. x. 一、直角坐标系下三重积分的计算. z=z 2 ( x , y ). z=z 1 ( x , y ). y=y 1 ( x ). y=y 2 ( x ). 物理意义 : f ( x , y , z ) 表示密度, I 表示 的质量. 设  为 Z 型域: z 1 ( x , y )  z  z 2 ( x , y ), ( x , y )  D xy.  m i.  v i 的质量. 小柱体. m i. . 或 . 所以. 例 1.

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§9-3 三重积分

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Presentation Transcript

  1. §9-3 三重积分

  2. z o y x 一、直角坐标系下三重积分的计算 z=z2(x, y) z=z1(x, y) y=y1(x) y=y2(x)

  3. 物理意义:f (x, y, z)表示密度, I 表示的质量. 设为Z型域: z1(x, y) z  z2(x, y), (x, y)Dxy .

  4. mi vi 的质量 小柱体 mi

  5. 或 所以

  6. 例1. 解:在 xy 平面上的投影区域 D 为 故

  7. z 1 o 1 D y x+y =1 1 x 例2. 解: 在 xy 平面上的投影区域 D 为 的底部曲面和顶部曲面分别为 z = 0和 z = 1– x – y ,

  8. 即  ={(x, y, z)|0  x  1, 0  y 1 x, 0  z  1– x – y}. 由公式(3), 得

  9. z o y x 例3. 解:在 xy 平面上的投影区域为

  10. 的底部和顶部分别是 即 由公式(3), 得

  11. 或 如果将  投影到 yoz 平面上 Dyz ,

  12. Dyz z z=z2( y) z=z1( y) 0 a b y  x x=x1(y, z) x=x2(y, z)

  13. Dxy z y=y1( z,x) b x=x2( z)  a y=y2( z,x) 0 y x=x1( z) x

  14. 或 将  投影到 zox 面上, 则

  15. z z=1 0 y x 例4.将积分 化为先对x, 后对y, 再对z的积分顺序. 解:　该积分的积分区域为

  16. 易知是由 与z = 1所围成的区域. 现将投影到 yz 平面上，投影区域为 此时， 故

  17. z x2+z2=y 1 y  x 例8.求由旋转抛物面x2+z2=y, 抛物柱面 及平面y =1所围成的立体体积V. 解:立体关于xy平面对称, 且所求体积部分位于 I 和 V 卦限中,记第 I 卦限中的部分为, 则

  18. 于是，所求体积

  19. z R 0 y R R x 例题9. 解:

  20. 二、换元法定理 定 理 设变换T : x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)将 uvw 空间中的有界闭区域uvw变成 xyz空间中的有界闭区域xyz , 且满足 1) x=x(u, v, w), y= y(u, v, w), z=z(u, v, w)C1(uvw)

  21. 2)  0, (u, v, w)uvw 若 f(u, v, w)R(), 则有

  22. 例5.计算 其中是由曲面 所围成的区域. 解:　作变换

  23. 而 由公式(5),

  24. z M(x, y, z) (r, , z) o y  (x, y, 0) x 三、柱面坐标下的三重积分的计算 M直角坐标 (x, y, z) 与柱面坐标 (r, , z)形成一一对应(原点除外) 其关系是 x = r cos  y = r sin  z = z

  25. z o y (x, y, 0) x 柱面坐标系中 z族坐标面分别是 r =常数, 以 z 为中心轴的园柱面 =常数, 过 z 轴的半平面 z=常数, 垂直于 z 轴的平面.

  26. 从而 = r

  27. 所以, 一般, r z 表为:      , r1( )   r2( ), z1(r, )   z2 (r , )).

  28. 例6. 解: 为上半球体, 它在 xy平面上的投影为区域 D : 运用柱面坐标计算, 令 z = z.

  29. 则  变成 * 从而

  30. 例7. 解: 在 xy平面上的投影为区域为 D : 而被积函数也包含了 x2 + y2项, 故可运用柱面坐标计算, 令 z = z.

  31. 则  变成 * 于是

  32. z y 0 x 例9.设锥面 被圆柱面x2+y2=2x所截, 求锥面下方, xy 平面上方,圆柱内的区域  的体积V 解:运用柱面坐标,令 x = rcos y = rsin z = z 则 锥面方程为 z = r 圆柱面方程为: r = 2cos

  33. 由对称性, 只需计算第一卦限中的体积V1, 则V=2V1.  在 xy平面上的投影为D: D={(x, y)|x2+y2≤2x}. 由图可知,在柱坐标系下1(在第一卦限中的部分)变成1*:

  34. 于是

  35. z y o D y D o a 2a x x 例11. 解:由对称性, 所求体积

  36. 式中 运用极坐标系, 则 D变成 D* : 故

  37. z z  =常数 r =常数 M(x, y) (r, , z)  y o y o y  x M'(x, y, 0)  =常数 x x 四、球面坐标系下的三重积分 点M的直角坐标 (x, y, z) 与球面坐标系 (r, ,  )也形成一一对应 (原点除外)

  38. 其关系是 x = r sin cos  y = r sin sin  z = r cos 对应坐标面为 r = 常数, 以 o为中心的球面 = 常数, 过 z 轴的半平面 = 常数, 以原点为顶点, z为轴的圆锥面.

  39. 由

  40. 所以

  41. 一般化为先对r , 次对 , 再对 的累次积分. 注意 x2 + y2 + z2 = r2

  42. z O y x 例8. 计算 其中, 是由锥面 与球面 所围成的区域. 解: 积分区域如图所示. 运用球面坐标计算, 令 则锥面 方程变为 球面方程变为r = a, 区域变为＊

  43. 故 (该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)

  44. 例9. 计算 其中，为两个半球面 及平面z = 0所围成的区域. 解:　令 则区域变成＊：

  45. 故

  46. 例10. 计算曲面 所围成的立体体积V. 解:该曲面关于yz平面和xz平面对称，且位于xy平面上方，故只需计算在第一卦限中1的体积V1，则 运用球系： 则曲面方程为

  47. 而在第一卦限中， 所以曲面方程可表示为

  48. 故

  49. 补充例. 解: (1)

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