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第 1.4 节 几何 概率

第 1.4 节 几何 概率. 一、例子与计算公式. 二、蒲丰问题. 三、贝特朗奇论. 四、几何概率基本性质. 早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的. 借助于古典概率的定义，设想仍用 “ 事件的概率 ” 等于 “ 部分 ” 比 “ 全体 ” 的方法，来规定事件的概率 . 不过现在的 “ 部分 ” 和 “ 全体 ” 所包含的样本点是无限的 . 用什么数学方法才能构造出这样的数学模型？. 显然用 几何的方法 是容易达到的.

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第 1.4 节 几何 概率

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  1. 第1.4节 几何概率 一、例子与计算公式 二、蒲丰问题 三、贝特朗奇论 四、几何概率基本性质

  2. 早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的. 借助于古典概率的定义，设想仍用“事件的概率”等于“部分”比“全体”的方法，来规定事件的概率. 不过现在的“部分”和“全体”所包含的样本点是无限的. 用什么数学方法才能构造出这样的数学模型？ 显然用几何的方法是容易达到的.

  3. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法——几何方法.

  4. 一、例子与计算公式 例 (p32例1）某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间短于10钟的概率。 解 每两次正点报时相差60分钟，而此人打开收音机应该介于两次报时之间的任何时间，等待不超过10分钟占据了两次报时之间60分钟的六分之一，因此等待时间短于10钟的概率应该等于10钟的长度比两次报时时间间距的长度，即

  5. 例(p32例2）如果在一个5万平方公理的海域里有表面积达40平方公里的大陆架储藏着石油，假设在这海域里随机选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？例(p32例2）如果在一个5万平方公理的海域里有表面积达40平方公里的大陆架储藏着石油，假设在这海域里随机选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？ 解 由于随机选取一点钻探，因而每一点别选到的可能性是相等的，而储藏着石油的海域占整个海域的 因此钻到石油的概率应该为储藏着石油的海域面积比整个海域的面积，即

  6. 通过上述两个例子可以看出，其概率等于部分度通过上述两个例子可以看出，其概率等于部分度 量比上整体度量，由此我们给出其一般定义

  7. 定义（特例）当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.

  8. 会面问题 例1甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 解 那末 两人会面的充要条件为

  9. 若以 x, y表示平面 上点的坐标 , 则有 故所求的概率为

  10. 例2甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到某 站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车它 们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如 果它们约定 (1) 见车就乘; (2) 最多等一辆 车,求甲、乙同乘一车的概率. 假定甲、乙两人到达车站的时 刻是互相不牵连的,且每人在1 时到2 时的任何时刻到达车站 是等可能的.

  11. 解 设 x, y 分别为 甲、乙两人到达的时刻, 则有 见车就乘 的概率为

  12. 最多等一辆车,甲、乙 同乘一车的概率为

  13. 二、蒲丰问题 蒲丰资料 例31777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( <a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率. 解

  14. 　　由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题.

  15. 蒲丰投针试验的应用及意义

  16. 试验者 时间 针长 投掷次数 相交次数 Wolf 1850 0.8 5000 2532 3.1596 Smith 1855 0.6 3204 1218 3.1554 De Morgan 1860 1.0 600 382 3.137 Fox 1884 0.75 1030 489 3.1595 Lazzerini 1901 0.83 3408 1808 3.1415929 Reina 1925 0.5419 2520 859 3.1795 历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)

  17. 利用蒙特卡罗(Monte-Carlo)法进行计算机模拟

  18. 三、贝特朗奇论 贝特朗奇论 在半径为1的圆内随机的取一条弦， 问其长超过该圆内接等边三角形的边长 的概率 等于多少？ 结论一 固定一点A，以此为顶点在圆周上做一等边三角形，显然只有弦落入等边三角形内才满足要求，而这种弦的另一端点B所走过的弧长只占整个圆周的三分之一，因而概率为 此过程假设端点在圆周上是等可能分布的

  19. 结论二 因为弦长与它与圆心的距离有关，而与方向无关，因此可以假定它垂直与某一直径MN，当且仅当它与圆心的距离小于二分之一时，其边长才满足要求，而这样的弦AB与MN 的交点组成的线段只占直径MN的二分之一，因此其概率为二分之一。 此过程假设弦的中点在直径上是均匀分布的

  20. 结论三 因为弦长被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为二分之一的同心圆内时，其弦长才满足条件，而此小圆面积为大圆面积的四分之一，因而概率为四分之一。 此过程假设弦的中点在圆内等可能的分布 上述三种结论对于题中的随机性给出了不同的解释，因而其样本空间就完全不一样。对于各自的样本空间它们的结论是正确的。贝特朗在1899年巴黎出版的《概率论》中以此题为例批评几何概率的定义.

  21. 四、几何概率基本性质 (1)(非负性） 对任一事件A ,有 (2)(规范性）必然事件的概率满足

  22. 作业 习题一27 、29 、30

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