The Primes 解题报告

1. The Primes解题报告 00108108 刘国栋 2003.7.6

2. 题目说明 • 用数字填充5×5矩阵，使得： • 每行(左->右)、每列(上->下)、两对角线(左->右)的五个数字连成五位数的质数 • 每个质数的数字和为sum • 左上角数字为digit • 质数允许重复 • 质数不能以0开头

3. 题目说明——例子 digit • sum=11，digit=1的一个解如右 • 左上角为1 • 行、列、对角线均为质数 • 行、列、对角线数字和为11 • 最左一列、最上一行不能有0 • 质数允许重复：13331

4. 题目说明——输入输出 • 输入：两行 第一行数字和sum 第二行左上角数字digit • 输出： 输出所有可能的解，两个解用空行隔开

5. 解法1：枚举法 • 24重循环，逐个确定矩阵中的每个元素 • 必须是五位数，最左一列、最上一行元素不为0 • 根据素数的限制，最右一列、最下一行不能是偶数(只能取 1 3 7 9，但是这样不太好实现) • 则每个位置的可能取值情况如图

6. 枚举顺序 • 考虑到元素和为sum的限制，某些元素可以由已知元素直接确定 • 适当选择每个元素确定的顺序会减少需要枚举的元素数 • 顺序确定原则：尽可能多的由已知元素确定未知元素 • 右图是一种顺序：

7. 枚举顺序 • 按照上面的顺序，复杂度： 96*108/29 • 右图是另一种顺序：枚举尽可能少的元素 • 按此顺序，复杂度： 96*107/29

8. 素数判断 • 每确定好一个五位数后，都要进行素数判断，需要选择好的算法 • 用通用的素数判断法效率会很低 • 题目限定是五位数，sqrt(100000)＝316，小于316的素数有65个，可以记录在数组中，每个素数判断最多需要65步 • 用优化的素数判断法：900MS

9. 解法2：回溯法 • 枚举法是先填表格，在填表的过程中进行质数判断 • 考虑先进行质数判断，然后再填表 • 找到符合条件的五位数： 质数 数字和为sum • 用符合条件的五位数按照适当的顺序填充表格

10. 质数计数 • Pi(n)：小于等于n的质数的个数 • Pi(n) ~ n/ln(n) n pi(n) n/ln(n) 10 4 4.3 100 25 21.7 316 65 54.9 1,000 168 144.8 10,000 1229 1085.7 100,000 9592 8685.9 1,000,000 78498 72382.4

11. 质数计数2 • 五位数的质数的个数是 N≈ pi(100,000)-pi(10,000) = 7600 • 实际的数目是8363：N=8363 • 符合数字和为sum的质数的个数： sum=23时最多，有757个

12. 找五位数的算法：顺序扫描，找到的数是有序的找五位数的算法：顺序扫描，找到的数是有序的 • for(int i=10001;i<100000;i++) { if(数字和为sum) if(i为质数) { prime[num++]=i; head[i/10000]++; } } • head[i]记录i开头的数的个数 • 可以用head[i]建立搜索的索引

13. 填充顺序的选择 • 填充第i行记做Hi，填充第j列记做Vj，填充对角线记做D1(左下->右上)D2(左上->右下) • 选择原则： • 尽可能多的前面的数字已经确定(已经排序，搜索快) • 每一步填充不要先确定后面的数字(判断冲突麻烦) • 则可以按照下面的顺序填充： • H1, V1, H2, V2, H3, V3, H4, V4, H5, V5,D1, D2

14. 填充顺序

15. 回溯法实现 • 每一步填充对应一个函数，编程实现非常麻烦 • 填充时不能和已经填上的数字矛盾 • 可以利用已经填好的数字进行剪枝、优化，否则时间开销太大 • 比如当某一行(列)中已经确定了三个元素时，可以先检查其元素和是不是超过sum • 需要判断素数时，可以用后面的优化 • 效果： 530MS

16. 枚举法中素数判断的优化 • 从回溯法得到启发： • 可以预先扫描所有五位数，记录数字和为sum且是素数的所有五位数 • 数组中记录的素数是有序的，素数判断时可以用二分法检索：log2757≈10 • 更进一步：记录符合条件的素数的同时记录第一个数字是i的素数的个数，建立索引，减小搜索范围 • 效果： 370MS

17. 结论 • 一定范围内的数的素数判断，可以用查找代替，以提高效率： • 遍历范围内的数，记录素数， • 记录是有序的，二分法查找 • 填充时选择好的填充顺序非常重要 • 两种方法选择不同的填充方式 • 好的剪枝可以提高效率

18. Thank You !