Number Theory (part 1)

1. Number Theory (part 1) ง30301 คณิตศาสตร์ดิสครีต

2. จำนวนเต็มกับการหารลงตัวจำนวนเต็มกับการหารลงตัว

3. Q: Which of the following is true? • 77 | 7 • 7 | 77 • 24 | 24 • 0 | 24 • 24 | 0

4. A: • 77 | 7: falsebecause bigger number can’t divide smaller positive number • 7 | 77: truebecause 77 = 7 · 11 • 24 | 24: truebecause 24 = 24 · 1 • 0 | 24: false, only 0 is divisible by 0 • 24 | 0: true, 0 is divisible by every number (0 = 24 · 0)

7. จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers) • 11 • 15 • 51 • 79 • 1001

8. Programming • จงเขียนโปรแกรมตรวจสอบว่าจำนวนเต็มบวก N เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ • ตัวอย่าง Input N: 13 It is a prime number. Input N: 12 It is NOT a prime number.

9. ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิตทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต

11. การพิจารณาจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากๆ ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ? • จะได้ว่า ถ้า nไม่มีตัวหารที่เป็นจำนวนเฉพาะ pซึ่ง แล้วจะได้ว่า nจะเป็นจำนวนเฉพาะ

12. ตัวอย่าง • 103 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ คือ 2, 3, 5 และ 7 เนื่องจาก 2, 3, 5 และ 7 หาร 103 ไม่ลงตัว ดังนั้น 103 เป็นจำนวนเฉพาะ • 693 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ คือ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 และ 23 เนื่องจาก 3 หาร 693 ลงตัว ดังนั้น 693 เป็นจำนวนประกอบ

13. ทำแบบฝึกหัดข้อ 3 และ 4 • สุ่มผู้โชคดีตอบแบบฝึกหัด 8 คน

14. จงหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของ 77077 มาทั้งหมด

15. จงหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของ 77077 มาทั้งหมด

16. จงหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของ 77077 มาทั้งหมด • ดังนั้นจะได้ 77077 = 77 11 11 13 = 72 112 13

17. ทำแบบฝึกหัดข้อ 7 • สุ่มผู้โชคดีตอบแบบฝึกหัด 4 คน

18. ขั้นตอนวิธีการหาร • เรียก aว่า ตัวตั้ง • เรียก bว่า ตัวหาร • เรียก qว่า ผลหาร • เรียก rว่า เศษที่เหลือจากการหาร aด้วย b

19. a = bq + r ตัวอย่าง จงหาเศษ r จากการหาร • หาร 400 ด้วย 120 • เนื่องจาก 400 = 120(3)+40ดังนั้น r = 40 • หาร 140 ด้วย -72 • เนื่องจาก 140 = -72(-1) + 68ดังนั้น r = 68 • หาร 5 ด้วย 7 • เนื่องจาก 5 = 7(0) + 5ดังนั้น r = 5 • ทำแบบฝึกหัดข้อ 5 • สุ่มผู้โชคดีตอบคำถาม 4 คน

20. ตัวหารร่วมมาก The greatest common divisor (GCD) • (3, 9) = • (10, 15) = • (-8, 16) = • (6, 15) = • (-6, 15) = • (-7, 0) = • (17, 13) = • (42, 56) = • 3 • 5 • 8 • 3 • 3 • 7 • 1 • 14

21. ข้อสังเกต

22. บทนิยาม 4.5 • ให้ aและ bเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จะกล่าวว่า aและ bเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1 • (28, 5) • (17, 28) • (8, 56) • (13, 65) • เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ • เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ • ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ • ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

23. บทนิยาม 4.6 • จะกล่าวว่าจำนวนเต็ม a1, a2, …, anเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์เป็นคู่ ก็ต่อเมื่อ (ai, aj) = 1 โดยที่ • จงพิจารณาว่าจำนวนที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นจำนวนสัมพัทธ์เป็นคู่หรือไม่ • 17, 35, 64 • 3, 5, 11 • 38, 43, 99 • 19, 29, 39, 49

24. วิธีหา ห.ร.ม. โดยใช้รูปแบบบัญญัติ • ให้ aและ bเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์และเขียนอยู่ในรูปแบบบัญญัติ จะได้ว่า

25. ตัวคูณร่วมน้อยThe least common multiple (LCM) • [3, 6] = • [15, 20] = • [8, 4] = • [6, 10] = • [12, 10] = • [11, 5] =

26. วิธีหา ค.ร.น. โดยใช้รูปแบบบัญญัติ • ให้ aและ bเป็นจำนวนบวกและเขียนอยู่ในรูปแบบบัญญัติ จะได้ว่า

27. พิจารณา (24, 36) = 12 และ [24, 36] = 72 จะสังเกตว่า 2436 = 864 1272 = 864 นั่นคือ (24, 36)[24, 36] = 2436 = 864 • ทฤษฎีบท 4.8 • ให้aและ bเป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า • ab = (a, b)[a, b]

28. ทำแบบฝึกหัดบทที่ 4 ข้อ 21 • สุ่มผู้โชคดีตอบแบบฝึกหัด 4 คน

29. Programming • (ch4_1.cpp)เขียนโปรแกรมแสดงตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของเลขจำนวนเต็มบวก N • (ch4_2.cpp) เขียนโปรแกรมรับเลขจำนวนเต็ม 3 ตัวแล้วตรวจสอบว่าเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเป็นคู่ (pairwise relatively prime)หรือไม่