КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ, КАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯ

1. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ, КАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯ А. С. Холево Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

2. Немного истории • Общее понятие канала • Квантовая теорема кодирования • Проблема аддитивности • Сцепленность квантовых состояний • Каналы, разрушающие сцепленность • Другие темы

3. Теория информации • Дата рождения:середина XX в, 1940-1950е. Цифровое представление и обработка данных, коды сжатия данных, исправления ошибок,… • Концепции:случайный источник, энтропия, канал, код, пропускная способность, … • Методы:теория вероятностей, дискретная математика, комбинаторная геометрия,…

4. К Т И • Дата рождения:вторая половина XX в. Математические основы – 1970е. Новая волна (квантовая криптография, коммуникационные протоколы, эффективные алгоритмы) – 1990е • Концепции:квантовое состояние, энтропия, канал, пропускные способности, сцепленность… • Методы:некоммутативная теория вероятностей, алгебры операторов, полилинейная алгебра, случайные матрицы,…

5. Передача информации состояние на входе Sw состояние на выходе Sw’ w =1101…01… w’ =1001…11… кодирование канал декодирование Вероятность ошибки P{w’≠w} Пропускная способностьканала

6. Процедура измерения состояние на входе Sx состояние на выходе Sx’ параметрыx результатy приготовление динамика измерение Точность измерения Оптимальная процедура ?

7. Статистические состояния систем (dim H<∞)

8. Ф-М словарь • Система (носитель информации) = С*-алгебра операторов A ⊆B(H) • Классическая система = коммутативная алгебраC(X) • Квантовая система = алгебра всех операторов B(H) • Составные системы A⊗B. Гибридные системы

9. Структура алгебры A11 0 a22 a33 … … … … 0 Akk

10. Состояния • Состояние = линейный положительный нормированный функционал E(X), X∈A(математическое ожидание) • Выпуклое множество состоянийΣ(A) ⊆A*. • Классическое состояние ← распределение вероятностей P на X • Квантовое состояние ← оператор плотностиρв H

11. Классические и квантовые состояния P = [p1, p2, …, pk], pj≥0, ∑ pj=1 0 p1 p2 … U* … ρ =U … .. … 0 … pk

12. Классический бит 1 0 Пример: элементарные системы Квантовый бит „q-бит“ e Пространство состояний Симплекс … …

13. Классические и квантовые каналы

14. Канал = линейное положительное нормированное отображение * ρ ρ’ X X’ вполне Φ*: B→A Φ: A*→B* ⊗

15. Произведение каналов ⊗ ⊗

16. Структура канала • Теорема Стайнспринга: Отображение Φ*:B →B (H)вполне положительно ⇔ Φ*расширяется до *-гомоморфизмаπ: • Следствие: [квантовый канал, ]

17. Открытая квантовая система окружение ρ0 Φ̃(ρ) U ⊗ система ρ Φ(ρ) Φ(ρ)=Tr0U(ρ⊗ρ0)U*

18. (Полу)классические каналы • AилиBкоммутативна: положительность Φ⇔ полная положительность • AиBкоммутативны: классический канал = марковский оператор • A=C(X): приготовление состояния (кодирование) • B=C(Y) : измерение (декодирование) разложение единицы:

19. Теорема кодирования Гипотеза аддитивности Сцепленность против аддитивности

20. Пропускная способность ⊗ ⋮n ⊗ w=1101…01 классическая информация: сообщений w’=1001…11 классическая информация вероятность ошибки P{w’≠w} кодирование E декодирование D Классическая пропускная способность:

21. Теорема кодирования (HSW) χ ансамбль условная выходная энтропия выходная энтропия

22. Гипотеза аддитивности ? ? Что мешает доказать это для квантовых каналов?

23. Сцепленность квантовых состояний Разделимые состояния в Не-разделимые = сцепленные состояния: Пример:

24. Сцепленность против аддитивности V? ⇒!(Hastings, 2008)

25. Разделимое кодирование . . n . классическая информация классическая информация разделимоесцепленноекодирование декодирование Пропускная способность:

26. Разделимые кодирование/декодирование . . n . классическая информация классическая информация разделимое разделимое кодирование декодирование Пропускная способность:

27. Аддитивность: кодированиесцепленными состояниями не увеличивает проп. способность • Классические каналы • q-битные бистохастические каналы (dim H=2) • Деполяризующие каналы и др. (dim H<∞) • Каналы, разрушающие сцепленность, и комплементарные к ним (dim H≤∞) • Бозонные гауссовские каналы (dim H=∞)???

28. Каналы, разрушающие сцепленность

29. Каналы, разрушающие сцепленность Для РС-каналов гипотеза аддитивности выполняется в наиболее сильной форме (Shor; Широков)

30. Структура РС-канала Т. Канал Φ разрушает сцепленность⇔ Φ(ρ) =∫ρxPρ(dx), Pρ(B)=Tr ρM(B) Xразложение единицы ρизмерениеxприготовлениеρ’ M ρx

31. Комплементарные каналы Т.

32. {РС-каналы}~={диагональные каналы}

33. Построение изометрии V Т. Φ РС-канал ⇔

34. Комплементарный канал Φ РС-канал ⇔

35. Бозонные системы Классическая система ⇐ симплектическое пространство (Z,Δ) Квантование⇐система Вейля в H, ККС: W(z1) W(z2) = exp (iz1TΔz2) W(z2) W(z1) Бозонный канал: (HA,WA)→(HB,WB)

36. Открытая бозонная система окружение квадратичный гамильтониан U ρ0 гауссовское состояние ⊗ система ρ Φ(ρ)=Tr0U(ρ⊗ρ0)U*

37. Критерий РС для бозонных гауссовских каналов Т. Бозонный гауссовский каналΦK,l,αразрушает сцепленность⇔

38. Пример: аттенюатор/усилитель a0:<a0*a0>=N a’ a k

39. Аттенюатор/усилитель a0:<a0*a0>=N a’ a k ?

40. Другие направления • Весь спектр пропускных способностей квантового канала • Квантовые коды, исправляющие ошибки • Алгоритмы сжатия квантовой информации • Некоммутативная теория статистических решений • Количественные характеристики сцепленности • Сложность квантовых вычислений • Квантовые криптографические протоколы

41. А. С. Холево КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ, КАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯ

42. Использование сцепленностивход↔выход ⊗ ⋮n ⊗ 01101000110… 1110100100… ρB ρA сцепленное состояние ψAB

43. Пропускная способность ВыигрышCea(Φ):C(Φ) =2 для идеального канала Φ=Id →∞ для шумного канала Φ Квантовая взаимная информация I(A;B) Аддитивность.

44. Квантовая информация ⊗ ⋮n ⊗ квантовая информация: ρ квантовая информация: ρ’ кодирование E декодирование D Квантовая пропускная способность:

45. Теорема кодирования когерентная информация выходная энтропия обменная энтропия • Супераддитивность • Коды, исправляющие ошибки • Вычисления, устойчивые к ошибкам

46. Квантовая информация Q(Φ) Q→(Φ) = Q(Φ) Q←(Φ) ≥ Q(Φ) 1001000111… 0110001010… Q=0 Q=0 ⊗ ⊗ Q=0 Q>0 Q=0 Q=0

47. Пропускные способностис дополнительными ресурсами C≨ C← ≨ C↔ ≨ Cea=2Qea Q≨ Q← ≨ Q↔ ≨ Qea ≨ ≨ ≨ ≨

48. Вместо A* -- предсопряженное пространство A* , • порожденное нормальными состояниями • Энтропия «почти всюду» бесконечна, всюду разрывна • Аналог теоремы кодирования имеет место • при ограничениях на входе канала • Возникают «непрерывные» ансамбли состояний • Важный класс – «системы с непрерывными переменными»

49. Глобальная эквивалентность Сχ(Φ) аддитивна для всех каналов ⇔ Ĥ(Φ1 ⊗Φ2)=Ĥ(Φ1)+Ĥ(Φ2), где Ĥ(Φ)=minρH(Φ(ρ)) (Shor) Подход через р-нормы (AH): ║Φ║1→p=maxρ TrΦ(ρ)p; p>1 мультипликативность p-норм?

50. Поиски контрпримера Мультипликативность p-норм нарушается: • p≥4,783, dim H =3 (Werner-AH) Φ(ρ)=(d-1)-1(I- ρT) -------------------------------------------------------------------- • p>2, dim H→∞ (Winter); • 1<p≤2, dim H→∞ (Hayden); Метод (неконструктивный): случайные унитарные каналы:‏ Φ(ρ)=Σj pjUj ρUj* • Контпример к аддитивности (?), dim H→∞ (Hastings, 2008)