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正弦函数图像与性质

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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  1. 正弦函数图像与性质

  2. 正弦函数图像的作出

  3. 以上我们作出了y=sinx,x∈[0,2π]的图象,因为sin(2kπ+x)=sinx (k∈Z),所以正弦函数y=sinx在x∈[-2π,0],x∈[2π,4π],x∈[4π,6π]时的图象与x∈[0,2π]时的形状完全一样,只是位置不同。 现在把上述图象沿着x轴平移±2π,±4π,……就得到y=sinx,x∈R的图象。 叫做正弦曲线.

  4. 正弦函数y=sinx,x∈R,的图象叫做正弦曲线.

  5. 例1 用五点法作下列函数的简图 (1) y=sinx,x∈[0,2π],    (2) y=1+sinx,x∈[0,2π], (1)

  6. (2) y=1+sinx (x∈[0, 2 π])

  7. 例2 利用正弦函数的图象,求满足下列条件的x的集合:例2 利用正弦函数的图象,求满足下列条件的x的集合: 解:在y轴上取点(0, 0.5),过该点作x轴的平行线,与正弦函数图象相交于点 等,所以不等式的解集是

  8. ①当且仅当x= +2kπ,k∈Z时,正弦函数取得最大值1; ②当且仅当x=- +2kπ,k∈Z时,正弦函数取得最小值-1 正弦函数y=sinx性质 y=sinx的定义域是实数集R (1)定义域: (2)值域:正弦函数的值域是[-1,1].

  9. 正弦函数y=sinx性质 (3) 周期性: 由sin(x+2kπ)=sinx (k∈Z)知: 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的这种性质称为三角函数的周期性。

  10. 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内任意x,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内任意x,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。(有些周期函数没有最小正周期).

  11. 注意: (1) 周期函数中,x定义域M,则必有x+TM, 且若T>0,则定义域无上界;T<0则定义域无下界; (2) “每一个值”,只要有一个反例,则f (x)就不为周期函数(如f (x0+T)f (x0)); (3) T往往是多值的(如y=sinx, T=2k都是周期,最小正周期是2π.)

  12. 闭区间[- +2kπ, +2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1; 闭区间[ +2kπ, +2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1 (4) 奇偶性: 由sin(-x)=-sinx,可知:y=sinx为奇函数, 因此正弦曲线关于原点O对称. (5)单调性

  13. 例3:设sinx=t-3,x∈R,求t的取值范围。 解:因为-1≤sinx≤1, 所以-1≤t-3≤1, 由此解得2≤t≤4.

  14. 例4: 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合,并说出最大值是什么. (1) y=sin2x,x∈R; (2) y=sin(3x+ ) -1 (1) 令w=2x,那么x∈R得Z∈R,且使函数y=sinw,w∈R,取得最大值的集合是{w|w= +2kπ,k∈Z} 由2x=w= +2kπ, 得x= +kπ. 解:

  15. 使函数y=sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是{x|x= +kπ,k∈Z} (2) 当3x+ =2k+ 即 x= (kZ)时, y的最大值为0. 函数y=sin2x,x∈R的最大值是1.

  16. 例5:求下列三角函数的周期: • y=sin(x+ ); (2) y=3sin( + ) • (3) y=|sinx| 解: (1) 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz f [(x+2)+ ]=f (x+ ) 即:f (2+z)=f (z) , ∴函数的周期T=2 .

  17. (2) y=3sin( ) 解:令z= , 则 =3sin( +2) =3sin( ) f (x)=3sinz=3sin(z+2) =f (x+4) ∴函数的周期T=4 .

  18. 一般地,函数y=Asin(ωx+φ) (其中 )的周期是 (3) y=|sinx| 解:f(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|, 所以函数的周期是T=π.

  19. 例6:不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0,例6:不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0, (1)sin(- )-sin(- ); (2)sin(- )-sin(- ). 解:(1) ∵ 且函数y=sinx,x∈[- , ]是增函数 即sin(- )-sin(- )>0

  20. (2)sin(- )=-sin sin(- )=-sin 函数y=sinx在区间( )内为增函数, ∴sin(- )-sin(- )<0.