「全等概念」的引進與性質說明

1. 「全等概念」的引進與性質說明 交大網路專班 李政憲

2. 從二歲女兒談起…… 三角形 一樣的三角形 紅色的 跑跑跑 轉圈圈 全等

3. 何謂「全等」？ • 事實上，在數學裏只要兩個多邊形透過適當的平移、旋轉及翻轉，都可以完全疊合在一起，無論其邊數或顏色，我們就稱之為「全等」。 • 以下兩個五邊形，透過適當的平移與旋轉可以完全疊合。 • 將紅色三角形翻轉後再平移，可與藍色三角形完全疊合。 • 故我們稱這兩個五邊形與這兩個三邊形分別全等。

4. E H F G 「全等」與「對應」 • 若兩多邊形全等時，可以疊合一起的邊我們稱為對應邊，可以疊合一起的角我們稱為對應角。 • 而我們要討論兩多邊形是否全等，也需檢驗所有的對應邊及對應角是否相等。 分離 A 還原 D B C

5. 60O 4 8 120O 3 35O 145O 5 兩個多邊形的全等 • 如底下兩個四邊形的四個邊等長，四個角也相等，則我們說這兩個四邊形全等。 • 亦即兩多邊形：　　 • 反之兩多邊形： • 以接下來的三角形全等為例： 3 145O 120O 5 4 35O 60O 8 全等對應邊等長，對應角相等 對應邊等長，對應角相等全等

6. B E D C A F 三角形全等的意義 • 把兩個三角形剪下疊合在一起，它們所有的頂點、邊和角都完全重合時，我們就說這兩個三角形「全等」。 • 當兩個三角形完全重合的時候，我們把疊合在一起的頂點稱為對應頂點，疊合在一起的邊稱為對應邊，疊合在一起的角稱為對應角。 • 兩個全等三角形的對應邊相等，對應角相等。

7. 三角形全等符號的介紹 • 通常我們用符號「　」代表兩個圖形全等，讀作「全等於」。當△ABC和△DEF全等時，可以寫成△ABC　 △DEF • 例：已知△ABC　△DEF，其中A與D，B與E，C與F為對應頂點。如果∠A=40o，∠F=110o，　　，試求∠D=？∠C=？∠B=？∠E=？ A D 40O 40O 5 5 30O 110O 30O 110O B C F E

8. 「全等三角形」的練習 • 判別右側哪些三角形會與左邊三角形全等？  6 8 65o 52o 65o 7 63o 8 52o 7 63o 63o 6 8 ╳ ○ 65o 52o 7 6 52o 8 7 6 63o ╳ ？

9. 三角形全等的條件 • 事實上，構成兩個三角形全等的條件不需要同時三個邊及三個角都相等，只需要部份的條件即可。我們從一個固定的三角形△ABC，討論如何做出與其全等的另一個△DEF。 • 由上得知至少需要邊角共三個條件才能產生一個全等△。 A D C F B E

10. 6 3 5 三角形全等性質的介紹 • 我們用英文字母Ｓ代表三角形的邊（Side），用英文字母Ａ代表三角形的角（Angle），介紹以下幾種全等性質： • ＳＳＳ全等性質：當兩個三角形的三邊分別對應相等時，這兩個三角形就會全等。 3 5 6

11. 7 60O 4 三角形全等性質的介紹 • 我們用英文字母Ｓ代表三角形的邊（Side），用英文字母Ａ代表三角形的角（Angle），介紹以下幾種全等性質： • ＳＳＳ全等性質：當兩個三角形的三邊分別對應相等時，這兩個三角形就會全等。 • ＳＡＳ全等性質：當兩個三角形的兩邊和它們的夾角分別對應相等時，這兩個三角形就會全等。 4 60O 7

12. 40O 30O 8 三角形全等性質的介紹 • 我們用英文字母Ｓ代表三角形的邊（Side），用英文字母Ａ代表三角形的角（Angle），介紹以下幾種全等性質： • ＳＳＳ全等性質：當兩個三角形的三邊分別對應相等時，這兩個三角形就會全等。 • ＳＡＳ全等性質：當兩個三角形的兩邊和它們的夾角分別對應相等時，這兩個三角形就會全等。 • ＡＳＡ全等性質：當兩個三角形的兩角和它們的夾邊分別對應相等時，這兩個三角形就會全等。 40O 30O 8 40O 30O 8

13. 53o 37o 三角形全等性質的介紹 • 我們用英文字母Ｓ代表三角形的邊（Side），用英文字母Ａ代表三角形的角（Angle），介紹以下幾種全等性質： • ＳＳＳ全等性質：當兩個三角形的三邊分別對應相等時，這兩個三角形就會全等。 • ＳＡＳ全等性質：當兩個三角形的兩邊和它們的夾角分別對應相等時，這兩個三角形就會全等。 • ＡＳＡ全等性質：當兩個三角形的兩角和它們的夾邊分別對應相等時，這兩個三角形就會全等。 • ＡＡＳ全等性質：當兩個三角形的兩角和其中一角的對邊分別對應相等時，這兩個三角形就會全等。 3 4 3 4 53o 37o

14. 60O 60O 60O 60O 60O 60O D E F 未必全等性質討論 • ＡＡＡ不一定全等：兩個三角形的三個內角分別對應相等，則這兩個三角形未必會全等。如兩個正三角形三內角均為６０度，然而邊長不同則不全等。 • ＳＳＡ不一定全等：兩個三角形的兩邊及其中一邊的對角對應相等時，則這兩個三角形未必會全等。如圖，△ABC與△DEF是兩個全等三角形，且　 　，因此對應邊　　　，　　　且∠B=∠E，即兩三角形滿足SSA情況。 A B C

15. ＳＳＡ不一定全等 • 然而，若△ABC保持不變，在△DEF中，以D點為圓心，　長為半徑畫弧，交　　於G點，連接　，則　　　。 • 在△ABC和△DEG中，　　　，　　　，∠B=∠E，故兩三角形滿足SSA情況，但是很明顯可以確定△ABC和△DEG不會全等。 • 又∠C=∠F，且　　　∠DGF=∠F，故∠DGF=∠C • 因∠DGF+∠DGE=180O（平角），故∠C+∠DGE=180O，即∠C與∠DGE兩角互補。 D A B C E F G

16. ＳＳＡ全等特例 斜邊:Hypotenuse Ｈ Ｒ Ｓ 直角:Right Angle 邊(股):Side • 在一般的情況下，兩三角形滿足SSA的情形時，並不一定會全等。然而若該組對應相等的角是直角，則這兩個三角形必定全等。 • 如下圖，在△ABC和△DEF中，　　，　　，∠B=∠E=90O，符合SSA的條件，但因為∠B=∠E=90O，所以根據商高定理可得知： •  • 同理 • 因為　　　， • 所以　　　 • 再根據SSS全等性質，我們可得 • △ABC　△DEF • 我們稱這種特例為ＲＨＳ全等性質。 D A Ｈ Ｓ Ｒ Ｓ C E F B

17. 應用一：說明右邊的三角形，哪些與△ABC全等？分別根據什麼全等性質？應用一：說明右邊的三角形，哪些與△ABC全等？分別根據什麼全等性質？ D G 3 A 53o 4 I Ｓ Ｓ Ｓ Ａ Ａ Ａ 37o E 37o 5 5 F H 全等 不全等 4 53o C 3 B J N M 53o Ｓ Ｒ Ｓ Ｈ Ａ Ｓ Ａ Ａ Ｓ 5 K 5 4 全等 全等 L O

18. 應用二：說明下列三角形中，全等的三角形有哪些？並分別說明是根據什麼全等性質？應用二：說明下列三角形中，全等的三角形有哪些？並分別說明是根據什麼全等性質？ 重來再做 D G J A 80O 7 7 3 4 4 Ａ Ｓ Ａ Ｓ Ｓ Ａ Ｓ Ａ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 70O 30O 60O 40O B C 6 5 4 H I E F K L M P S 7 X 80O 4 V 3 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ａ Ｓ Ａ Ａ Ｓ Ｓ Ａ Ｓ 4 30O 40O 4 70O 60O 5 Q 7 N O R T U 6 W △ABC △SUT △DEF △VXW △GHI △MNO （ASA或AAS） （SAS） （SSS） △JKL △QRP

19. 應用三：如下圖，△ABC與△DEF中，已知　　　，　　　，∠A＝∠D＝90°，若 　　， 　　，　　　 ，　　　，則： • (1) △ABC與△DEF是否全等？根據什麼全等性質？ • (2) x＝？　y＝？ • (3) △DEF的面積？ 解： • (1)根據ＳＡＳ全等性質，△ABC　△DEF • (2)又3x+4=13，故x=3 • 且2y=12，故y=6 • (3)由畢氏定理得知 • 故△DEF的面積=5×12÷2=30 C F 3x+4 13 2y 13 12 5 5 B A E D

20. 應用四：△ABC與△DEF中，若∠A＝∠D＝90°，　　　，　　　，則可利用哪些全等性質說明△ABC△DEF？ ＳＳＳ ＳＳＳ ＳＡＳ ＳＡＳ ＡＳＡ ＡＡＳ ＲＨＳ ＲＨＳ C F B A D E

21. 應用五：在△ABC與△DEF中，已知　　　，　　　，則下列敘述何者正確？ • (A) 若∠B＝∠E，則△ABC△DEF (B) 若　　　　，則∠D＞∠A(C) 若∠A＞∠D，則　 (D) 若∠A＝∠D，則 D A F E C B ＳＳＳ ＳＳＳ ＳＡＳ ＳＡＳ ＡＳＡ ＡＳＡ ＡＡＳ ＡＡＳ ＲＨＳ ＲＨＳ