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第二章 假设和利率计算方法

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第二章 假设和利率计算方法

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  1. 第二章假设和利率计算方法 主讲人:刘箐,亓彬,崔龙

  2. 本章结构 2.1 定价模型的一系列假设 2.2 影响现金流随时间变动的利率计算方法 2.3 &2.4 贴现债券和息票债券的定价问题 2.5 利率和到期期限的关系 2.6 普通股定价 总结

  3. 2.1 基本假设 2.1.1 不存在无成本的套利机会 IBM: NYSE:$120.75 PCE:$120.25 2.1.2 无摩擦市场 1) 无交易成本 2) 没有税收 3) 可以无限制地按 无风险利率借贷 4) 可以自由地利用 任何资金做空 5) 可以随时交易

  4. 2.2 利率计算方法:复合利率 限制利率的规则 第一条:以年利率的形式表达 第二条:大部分利率报的都是名义利率 er-1 F=PerT (1+r/m)m-1

  5. 2.3.1贴现债券的定价 2.3.2 风险管理 2.3 贴现债券 2.3.3 市场上交易的贴现债券

  6. 2.3.1 定价 贴现债券或零息债券是未来只有一个现金流F的证券,F通常被称为债券的面值。如果贴现债券的年回报率为r%,到期日为T年,那么 其价格为: 其回报率 B=Fe-rT

  7. 2.3.1 定价 计算贴现债券的隐含收益 20世纪80年代早期,一些银行为其零售客户提供的贴现债券主要是作为其为子女未来大学教育的花费而进行的长期储蓄。当时的市场利率相当高,因此经常可以看银行在广告中宣传今天投资4美分,25年后就能获得1美元。该投资隐含的年回报率是多少?

  8. dB/B 2.3.2 风险管理 DUR DV01 dB/dr dB/dr=-TFe-rT 泰勒级数 定价 B=Fe-rT

  9. 2.3.2 风险管理 假设你在25年前买了价值4000美元的贴现债券,当时的收益率为12.876%,如果利率上升100个基点,债券价格会怎样变化?

  10. 2.3.2 风险管理——凸性 在泰勒级数式中加入二阶项: 债券定价函数的二阶导数: Text Text 贴现债券的凸性:

  11. 国库券 财政拆分债券 2.3.3 市场上交易的贴现债券 贴现债券

  12. 定义 2.3.3 市场上交易的贴现债券---财政拆分证券 美国财政部拆分债券也属于贴现债券,美国财政部并不直接发行这些证券,事实上他们只发行附息债券和到期日为30天的票据,这些原始发行的息票债券被拆分,即将每个息票和本金作为独立单位予以出售。在不存在无成本套利机会的情况下,从原始息票债券拆分出来的贴现债券的价格总和必须等于息票债券的价格。

  13. Thank You !

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  15. Text • Add Your • Title Text • Text 1 • Text 2 • Text 3 • Text 4 • Text 5 • Add Your • Title Text • Text 1 • Text 2 • Text 3 • Text 4 • Text 5 Text Text Text Text Diagram

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  18. Diagram Text Text Text ThemeGallery is a Design Digital Content & Contents mall developed by Guild Design Inc. ThemeGallery is a Design Digital Content & Contents mall developed by Guild Design Inc. ThemeGallery is a Design Digital Content & Contents mall developed by Guild Design Inc.

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  21. 1 2 3 ThemeGallery is a Design Digital Content & Contents mall developed by Guild Design Inc. ThemeGallery is a Design Digital Content & Contents mall developed by Guild Design Inc. ThemeGallery is a Design Digital Content & Contents mall developed by Guild Design Inc. Diagram

  22. 2004 2001 2002 2003 Diagram Your Text Your Text Your Text Your Text Your Text Your Text Your Text Your Text

  23. Phase 1 Phase 2 Phase 3 Progress Diagram

  24. Block Diagram TEXT TEXT TEXT TEXT TEXT TEXT TEXT TEXT

  25. Table

  26. Text Text Text Title Text Text Text Diagram Add Your Text

  27. Add Your Text Add Your Text Concept concept Concept Concept Block Diagram

  28. 付息债券 • 1.付息债券的定价 • 2.付息债券的久期和凸性(利用收益率曲线) • 3.付息债券的久期和凸性(到期收益率) • 4.风险管理 • 5.市场上交易的息票债券

  29. 2.4 附息债券 • 1.定价 • 下标i表示第i个贴现债券,第i个贴现债券的价格用表示,代表第i个债券的到期日收到的现金流,代表将现金流贴现到现在的零息债券贴现率,代表现金流i的发生时间。在债券到期前,现金流等于息票利息,,如图2-3所示,利息的数量COUP等于息票债券的约定利率乘以债券的面值。到期时,现金流等于息票利息加债券面值,

  30. 例2-4: 给定零息债券的回报曲线,计算附息债券价格 • 假设当前零息债券收益率曲线由以下函数给出 • 其中,Ti以年来计量。对于息票利率为7%,每半年付一次息,期限为5年的附息债券,其价格的计算如下。 • 要计算债券价格,我们需要知道对应每次现金流的零息债券利率,这就需要运用期限结构公式。例如,第一个贴现债券是半年到期的,其对应的零息债券回报率是, • 半年后的现金流是0.07 / 2×100 = 3.50,因此第一个贴现债券的价格为 。重复这一步骤(即息票债券定价公式(2-20)),5年期、息票利率为7%的债券价格为105.0902,单个贴现债券的情况汇总于下表

  31. 2.风险管理——久期和凸性,它们是组合中贴现债券久期和凸性的加权平均,权重则是第i个贴现债券在息票债券价格中的比重。令代表第i个贴现债券所占的权重 • 息票债券的久期为 • 首先,债券的期限越长,远期现金流在息票债券价格中所占的比重越大,从而久期和利率风险也越高;其次,债券的息票利率越高,较早收到的现金流在债券价格中所占的比重越大,久期和利率风险也就越小;再次收益越高,远期现金流在债券价格决定中的重要性越低,久期也就越短,利率风险越低。

  32. 息票债券的凸性为 • 与久期的情况一样,息票债券的凸性(2-23)是组合中贴现债券凸性的加权平均,权重是第i个贴现债券在息票债券价格中的比重

  33. 例2-5: 计算息票债券的久期及久期/凸性的近似值 • 息票债券的期限为5年,息票利率为7%,每半年付息一次,假设零息债券收益率曲线从 • 变为 ,计算该债券价格的实际变化率,并将其与久期和凸性所近似反映的债券价格变化率相对比。 • 第一步先计算该附息债券的久期和凸性。下表详细列明了计算方法,第一行所代表的现金流现值,在息票债券价格中所占的比重为3.258%,即 • 该贴现债券的久期是0.5,因此其对息票债券久期的贡献是0.03258×0.5= 0.01629。该贴现债券的凸性是,因此其对息票债券凸性的贡献是0.03258×0.25=0.00814。每行都重复此运算,然后加总可得息票债券的久期是4.3714,凸性则为20.3825。

  34. 该贴现债券的久期是0.5,因此其对息票债券久期的贡献是0.03258×0.5= 0.01629。该贴现债券的凸性是,因此其对息票债券凸性的贡献是0.03258×0.25=0.00814。每行都重复此运算,然后加总可得息票债券的久期是4.3714,凸性则为20.3825

  35. 接下来分别基于久期以及久期/凸性,计算债券价格的预期变化率。仅基于久期,预期的债券价格变化是接下来分别基于久期以及久期/凸性,计算债券价格的预期变化率。仅基于久期,预期的债券价格变化是 • 而根据久期和凸性计算的预期债券价格变化为 • 如果零息债券的收益率曲线上移 100个基点,债券的价格将由105.0902变为100.6585,或者变化率为-4.2174%。这样我们了解了每种方法的近似误差,仅根据久期计算的近似值高估了价格变化率0.1003%,而根据久期和凸性计算的近似值则低估了价格变化率0.0016%。

  36. 3 息票债券规则——到期收益率:其计算方法是,令债券当前价格与其未来现金流的现值恰好相等,求解等式中的y,即可得到期收益率 • 单一贴现率的假设下,息票债券的久期由下式给出 • 凸性

  37. 注意利用(2-25)和(2-26)式计算的久期和凸性只是(2-22)和(2-23)实际值的近似。第i个现金流的现值并不等于第i个贴现债券的价格,即

  38. 例2-6: 给定收益率曲线计算附息债券的到期收益率 • 假设零息债券当前的即期利率的期限结构由下面的曲线给出: • 其中,以年为单位。息票债券的到期期限为5年,息票利率为7%,半年付息一次,计算其价格和到期收益率。如果该附息债券的购买价格为104美元,能否进行无成本套利?如果可以,怎样进行? • 从例2-4我们知道,5年期、息票利率7%的债券价格是105.0902,令该债券的价格等于其现金流的现值,可以求出该债券的到期收益率 • 满足上式的贴现率为5.729%

  39. 需要注意的是,息票债券的到期收益率小于例2-5中5年期零息债券的零息利率5.792%。之所以如此,是因为从经济学角度看,5年期附息债券的期限并不是5年,该债券在存续期间的付款有效缩短了其总期限。需要注意的是,息票债券的到期收益率小于例2-5中5年期零息债券的零息利率5.792%。之所以如此,是因为从经济学角度看,5年期附息债券的期限并不是5年,该债券在存续期间的付款有效缩短了其总期限。 • 如果附息债券的购买价格为104美元,那么进行无成本套利。具体方法是,买入息票债券,然后按照每笔现金流的数量和期限卖出零息债券,即卖出6个月到期、面值3.50的零息债券,1年到期、面值3.50的零息债券,等等。这样,从附息债券上收到的利息将恰好等于在空头债券上的支付额。由于附息债券的购买价格为104美元,而零息债券组合(使用零息债券收益率曲线)的卖出价格为105.0902美元,因此该无成本套利的利润是1.0902美元。

  40. 例2-7: 利用到期收益率计算息票债券的久期和凸性 • 假设当前零息债券收益率曲线有下面的函数给出 • 其中,以年为单位。息票债券的到期期限为5年,息票利率为7%,半年付息一次,利用例2-6中的单一到期收益率5.729%计算债券的久期和凸性。 • 首先,利用一个固定的到期收益率计算现金流的现值。自然地,利用到期收益率计算的贴现债券价格总和为105.0902,回顾例2-6,这实际上是到期收益率的计算办法。接下来,计算每个贴现债券在息票债券价格总额中所占的比例

  41. 最后,计算每个贴现债券对息票债券久期和凸性的贡献,并予以加总。根据收益率计算的久期是4.3240,而利用零息债券收益率曲线计算的久期则为4.3174;根据收益率计算的凸性是20.4273,根据零息债券收益率曲线计算的凸性则是20.3825。尽管我们本例中这些差异很小,但它们会随债券的息票利率、到期期限以及收益率曲线的斜率等因素而变化

  42. 4 风险管理 • 损失的可能性 • 风险 • 不确定性 • 套期保值就是通过买入或卖出与我们所持资产价格变化幅度相同的其它资产,来降低头寸风险。就债券和利率风险管理来说,完全的套期保值就是资产价格的变动幅度相同,但方向相反,即

  43. 如果利率变化,久期和凸性可以度量资产组合和保值证券的价格变化。要对利率风险暴露进行完全保值,必须确定买入或卖出的保值证券的单位数量,以便当利率变化时保值资产组合的总价格维持不变,即如果利率变化,久期和凸性可以度量资产组合和保值证券的价格变化。要对利率风险暴露进行完全保值,必须确定买入或卖出的保值证券的单位数量,以便当利率变化时保值资产组合的总价格维持不变,即 • 其中,是所持债券头寸的价格,是一单位套期保值证券的价格,因为等式两边都有dr,所以省略了。以久期为基础进行套期保值,指的是以久期和债券价格的乘积作为债券价格变化的近似值,因此,买入或卖出的保值债券数量单位由求解下式得出

  44. 例2-8: 利用久期为债券组合的利率风险套期保值 • 假设你拥有一份面值为3000万美元、息票利率10%、到期期限为10年的附息债券,当前的到期收益率为8%。假设你预期未来几天利率可能上升,打算对利率风险暴露进行套期保值。但不幸的是,你持有的债券缺乏一个富有流动性的市场,从而无法迅速地出售。但是,你可以卖出一个更富流动性的债券,其息票利率为9%,期限为12年,面值10万美元,到期收益率为7%。你需要卖出多少债券呢?假设两种债券都是每半年付一次息,第一次利息支付是在六个月后。列图说明当收益率在-5%到+10%的区间变动时,保值证券组合的价格变化以及保值的有效性。 • 第一步就是计算债券的价格和久期。由于不知道零息债券的收益率曲线,所以可利用基于收益的计算公式