Übungen zur Vorlesung Stochastik und ihre Didaktik (BA)

1. Übungen zur VorlesungStochastik und ihre Didaktik (BA) • Referenten: Franziska Litschko Lisa Dembny Maria Müller • 07.12.2008

2. Thema: Wahrscheinlichkeit 4.1 Führen Sie in der Klassenstufe 7/8 die Begriffe Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis ein und konzipieren Sie vielfältige Übungen zum Verständnis und zur Festigung dieser Begriffe im Zusammenhang mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit und dem Schätzen von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe relativer Häufigkeiten. Schätzen Sie den Zeitbedarf für Ihre Vorschläge ab.

3. Rahmenlehrplan

4. 4.2 Doppeljahrgangsstufe 7/84.2.1 PflichtbereichP1 7/8 Daten erheben und verstehen • Zentrale Leitideen: Daten und Zufall, Zahl • Schülerinnen und Schüler verstehen Statistiken und gehen kritisch mit ihnen um. Dabei ist es wichtig, selbst Daten zu sammeln, diese zweckmäßig darzustellen und geeignet zu interpretieren. Die Grundbegriffe aus der Grundschule werden aufgegriffen und vertieft. • Kompetenzbezug • Die folgenden Kompetenzen zur Verwendung von Darstellungenund zu den Leitideen Daten und Zufallund Zahlbilden den Schwerpunkt dieses Moduls: • Planen und Durchführen statistischer Datenerhebungen • Erfassen, Darstellen und Bewerten von Daten • Interpretieren von Daten mittels geeigneter Mittelwerte • Darstellen von Daten durch geeignete positive rationale Zahlen

5. Die folgenden Schülertätigkeiten dienen dem Erwerb dieser Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler • stellen selbsterhobene Daten in Urlisten, Strichlisten und Häufigkeitstabellen zusammen und stellen sie mittels Kreis-, Linien- und Balkendiagrammen dar, • bestimmen das Maximum, das Minimum und berechnen das arithmetische Mittel eines Datensatzes, • bestimmen absolute und relative Häufigkeiten, • interpretieren Ergebnisse von Datenerhebungen, vergleichen diese mit ihren Erwartungen und beurteilen sie. • klassifizieren Daten in Messdaten, mit denen Rechnungen durchgeführt werden können, in Daten mit qualitativen Merkmalen und in Daten mit speziellen Rangmerkmalen, • bestimmen den Median einer Häufigkeitsverteilung, • ermitteln und beurteilen in Sachsituationen statistische Ergebnisse und begründen ihre Entscheidungen und Konsequenzen. 􀂳􀂳􀂳 • planen statistische Erhebungen und erfassen die Daten, • stellen Daten dar (Balken- und Kreisdiagramme) und bewerten Darstellungen kritisch.

6. Tätigkeiten • verwenden die Begriffe: Ergebnis, Ereignis und Ergebnismenge zur Beschreibung von Zufallsexperimenten, • schätzen Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer Häufigkeiten, • beschreiben einfache Zufallsexperimente durch die Angabe einer angemessenen Ergebnismenge, • begründen die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit von Ergebnissen aufgrund von Symmetrien. • beschreiben Zufallsexperimente durch die Angabe einer der • Problemstellung angemessenen Ergebnismenge, • begründen das verwendete Abzählverfahren.

7. 1. Lehreinheit • Klärung des Begriffes Zufallsversuch anhand von Beispielaufgaben (12 Minuten) • Einführung der Begriffe Ergebnismenge und Ergebnis anhand von Beispielaufgaben + Übungen (18 Minuten) • Definition des Begriffes Ereignis + Verständnisaufgaben (12 Minuten) • Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)

8. Zufallsversuch • Lehreraktivität (Kugelschreiber drehen, Licht an und aus schalten,…) > Schüler sollen entscheiden ob Zufallsversuch vorliegt • Schüler erklären den Begriff mit eigenen Worten • Lehrer gibt Definition • Schüler nennen Beispiele (Verständniskontrolle)

9. Definition-Zufallsversuch • Experimente oder Vorgänge, deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist, nennt man Zufallsversuche/ Zufallsexperiment. • Ein Vorgang mit zufälligem Ergebnis ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet: • Er besitzt mehrere mögliche Ergebnisse • Das Ergebnis kann vor Ablauf des Experiments nicht vorhergesagt werden.

10. Definition: Ergebnis • Den Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet man als Ergebnis (Ausfall)

11. Ergebnis • Aufgaben zum Verständnis: Was ist ein Ergebnis? • Nenne mögliche Ergebnisse beim Münzwurf • Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten, zwei schwarzen und einer weißen Kugel, zwei hinaus. Wie könnte das Ergebnis aussehen? • Nenne weitere Ergebnisse von Zufallsversuchen!

12. Ergebnismenge • Aufgabe: Schreibt für folgende Vorgänge alle möglichen Ergebnisse auf: • Einmaliges Würfeln • Drei Mal hintereinander eine Münze werfen (Kopf, Zahl) > Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige Zufallsversuch?

13. Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung Quelle:http://www.google.de/search?q=stochastik+ergebnis+element&sourceid=navclient-ff&ie=UTF-8&rlz=1B3GGGL_deDE240DE250

14. Ergebnismenge: dreimaliger Münzwurf

15. Definition: Ergebnismenge • Alle möglichen Ergebnisse (Ausfälle) zusammen, bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Zufallsversuches.

16. Ergebnismenge • Übungsaufgaben: • Nenne die Ergebnismenge beim zweimaligen Würfeln. Zeichne dazu ein Baumdiagramm! • Eine Familie hat drei Kinder. Welche Möglichkeiten gibt es? (Junge/ Mädchen) Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm dar!

17. Ereignis • Bsp.: „Mensch-Ärger-Dich-Nicht“ Ergebnismenge: {1,2,3,4,5,6} Es interessiert aber nur ob eine 6 fällt oder nicht. D.h. man will wissen, ob die gewürfelte Zahl zur Menge E1= {1,2,3,4,5} oder zur Menge E2 = {6} gehört. Wobei E1 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge ist.

18. Definition: Ereignis • Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heißen Ereignisse

19. Ereignis • Übungsaufgabe: • Ein Würfel wird geworfen. Beschreibe folgende Ereignisse: • Eine ungerade Zahl fällt • Ein Primzahl wird gewürfelt • Es fällt eine Zahl, deren Quadrat kleiner 20 ist • Überlege dir weitere Ereignisse!

20. Ziel • Die Schüler kennen die Begriffe Zufallsversuch, Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis. • Die Schüler können diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeiten. • Die Schüler sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu finden.

21. Hausaufgaben • 1. Zwei Würfel werden geworfen und die Augenzahlen zusammengezählt. a)Wie lautet die Grundmenge dieses Zufallsversuches? b) Nenne zwei mögliche Ereignisse für diesen Zufallsversuch!

22. Hausaufgaben • 2. Tina und Paul knobeln: „Schere-Stein-Papier“ (Schere siegt über Papier, Stein über Schere und Papier über Stein) a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von Paaren auf! [(Stein/Papier) meint, Tina zeigt Stein, Paul zeigt Papier] b) Schreibe das Ergebnis „Tina gewinnt“ als Teilmenge der Grundmenge!

23. 2. Lehreinheit • Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min) • Einführen der Begriffe Laplace-Experiment/-Wahrscheinlichkeit (10 min) • Aufgaben zum Verständnis dieser Begriffe (25 min)

24. Wahrscheinlichkeiten • Für jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an, mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann: • Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100 %.

25. Laplace-Experiment/-Wahrscheinlichkeit • Es handelt sich dabei um ein Experiment, bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. • Beispiel: - Münzwurf - Würfeln - Glücksrad

26. Ihr seid auf einem Fest und entdeckt folgendes Glücksrad. • Was ist die Ergebnismenge? • Ist das ein Laplace-Experiment?

27. Ein weiteres Glücksrad: • Was ist hier die Ergebnismenge? • Kann ich hier auch die Laplace-Wahrscheinlichkeit anwenden?

28. Übungsaufgaben 1. Überlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne! Welche Ereignisse können eintreten? Gib die jeweiligen Ergebnismengen an! 2. Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment? Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmen?

29. Relative Häufigkeiten

30. Schülertätigkeiten • Beschreiben die wiederholte Durchführung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Häufigkeiten • Schätzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer Häufigkeiten

31. 3. Lehreinheit • Einführung des Begriffes (5 Minuten) • Üben mit Hilfe von Beispielaufgaben (15 Minuten) • Wichtige Merkmale herausarbeiten (5 Minuten) • Kleiner Ausblick: Was bringen uns relative Häufigkeiten? (10 Minuten) • Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

32. Einführung • Die relative Häufigkeit ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis eintritt. • Wie berechnet man diesen Schätzwert?

33. Betrachten wir folgendes Würfelergebnis: • Ein Würfel wurde 100 mal gewürfelt!

34. Hieraus sollen nun die relativen Häufigkeiten für die Ereignisse „1“ und „6“ errechnet werden. • Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Häufigkeit in der 2. Zeile, wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (z.B. die „1“ wurde 21 mal geworfen).

35. Die relative Häufigkeit lässt sich nun mit Hilfe der absoluten Häufigkeit und der Anzahl aller Versuche ausrechnen, indem man den folgenden Bruch bildet:

36. Dies bedeutet für unser Beispiel:

37. Neu eingeführter Begriff durch Üben verfestigen Im 7. Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schüler und Schülerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema „Lieblingssportarten“ durchgeführt. Die Ergebnisse findest du in der Tabelle. Vervollständige die Tabelle:

38. Was passiert, wenn man die relativen Häufigkeiten aller Ereignisse addiert? • Was lässt sich aus dieser Eigenschaft für uns gewinnen: →Dient der Kontrolle, ob wir die relativen Häufigkeiten richtig berechnet haben.

39. Merke • Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt 1.

40. Beispiel Münzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl: • Stichprobenumfang: n=5, 10, 20, 30, ….300 • Vergleich der relativen Häufigkeiten mit Zunahme der Stichprobe • Was fällt auf bzw. was sollte auffallen?

41. Gesetz der großen Zahlen: • Nach einer großen Anzahl von Versuchen ändert sich die relative Häufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenig. (Mit Grafiken und Simulationen den Schülern veranschaulichen!) →Die relative Häufigkeit ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

42. Erfahrungswelt • Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst, wird sich keiner wundern, wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hat. • Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spät in den Unterricht erscheint, dann ist nicht nur jeder überrascht, sondern wird Paul womöglich gleich nachdem „warum“ fragen.

43. Ziel • Die Schüler wissen und können mit dem Begriff relativer Häufigkeiten umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwenden • Die Schüler können mit Hilfe der relativen Häufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschätzen und somit Voraussagen treffen.

44. Hausaufgaben • An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse ein: • Fülle die Lücken in der Tabelle aus!

45. Für ein Projekt zum Thema „Verkehr“ führte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraße eine Verkehrszählung durch. An einem Montagvormittag zwischen 10.00 Uhr und 10.30Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezählt:

46. Hausaufgaben • A) Bestimme jeweils die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmer! • B) Zeichne zu den relativen Häufigkeiten ein Balkendiagramm • C)*Zusatz: Zeichne zu den absoluten Häufigkeiten ein Kreisdiagramm!

47. 4. Lehreinheit • Kontrolle der Hausaufgaben • Übungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des Gelernten

48. Übungsaufgaben • In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben „O“, „R“ und „T“ stehen. Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegt. • a) Notiere die Ergebnismenge dieses Zufallsversuchs, indem du alle möglichen Buchstabenfolgen notierst! • b) Notiere das Ereignis „Die Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergeben“ als Teilmenge der Ergebnismenge!

49. Aufgaben für die 4. Stunde • Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Nägeln. Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Nägel der nächsten Reihe. Schließlich fällt sie unten in eines der Fächer. Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett. 1. Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzählung der Fach-Nummern Ω = {0; 1; 2; 3; 4} eher ungünstig? Wie muss Ω gewählt werden, damit es ein Laplace-Raum ist?

50. Übungsaufgaben • Wirf einen Reißnagel 50 mal und notiere jedes Mal, wie er liegen bleibt! • Entscheide dann: Kann man diesen Reißnagel für ein faires Losverfahren benützen?