MATHÉMATIQUES SERIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LA GESTION

1. MATHÉMATIQUESSERIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LA GESTION Statistique et Probabilités

2. Des programmes identiques en 1ère et en Terminale pour toutes les spécialités. Introduction des probabilités en s’appuyant sur des simulations « Il s’agit d’éviter tout développement théorique et d’introduire la notion de probabilité, en s’appuyant sur les notions de fluctuation d’échantillonnage et de simulation abordées dans la partie statistique du programme de la classe de seconde pour souligner les propriétés des fréquences et la relative stabilité de la fréquence d’un événement donné lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois. » La calculatrice et le tableur : des outils à privilégier « L’usage de la calculatrice ou d’un tableur permet d’enrichir le champ des épreuves aléatoires simulées. » Statistique et probabilités

3. Étude de séries de données à une variable Histogrammes, diagrammes en boîte, diagrammes en secteurs ou en bâtons. Tendance centrale - moyenne ( notamment à partir de sous population) - médiane Dispersion : - quartiles, déciles - intervalle interquartile,intervalle interdécile. - écart type Rédiger l’interprétation d’un résultat ou d’un graphique Tableaux croisés d’effectifs Étude fréquentielle,notion de fréquence de A sachant B STATISTIQUENiveau première

4. Moyenne + écart type (Sensibles aux valeurs extrêmes) ou Médiane + écart interquartile Caractéristiques de positionet de dispersion

5. Dans un lycée, on a relevé les pointures de trois groupes d’élèves : Pour le groupe 1 : (15 élèves) 36_ 38_38_38_39_39_39_39_40_40_41_43_ 43_45_46 Pour le groupe 2 : (16 élèves) 35,5_36_36_36_37_37_37.5_38_38_38_38_39_41_41_42_42 Calcul de la médiane et des quartiles. • Pour le groupe 3 : (16 élèves) • 35,5_36_36_36_37_37_37.5_37,5_38_38_38_39_41_41_42_42 Médiane = 37,75 La médiane n’est pas toujours une valeur de la série. Les quartiles sont des valeurs de la série.

6. Exemple de calcul de Q3: Q3 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 75% des données y soient inférieures ou égales 363838383939393940404143434546 0,75×15 = 11,25 Le troisième quartile est la 12ème valeur Q3 = 43

7. Comparons ces valeurs à celles données par la calculatrice et celles trouvées sur tableur: 35,5 36 36 36 37 37 37.5 38 38 38 38 39 41 41 42 42

8. Diagrammes en boîtescalculatrice site académique Euler (n°63) tableur Série 2 Série 1 35,5363839424346 min Q1meQ3 max

9. Moyenne et écart type sont sensibles aux valeurs extrêmes Tableau des salaires en euro des employés d’une entreprise au 31 -12- 02 Le salaire médian :1 200,51€écart interquartile :574,9 € le salaire moyen :1 360,18 € s = 678,96 € si on ne tient pas compte des salaires extrêmes : Le salaire médian :1200,51€écart interquartile :574.9€ le salaire moyen = 1263,92 € s = 389,39€ la moyenne et l’écart type sont sensibles aux valeurs extrêmes

10. Tableaux croisés d’effectifs - Etude fréquentielle Répartition des familles (en milliers) selon l’âge de la femme En bleu les marges.

11. Fréquence conjointe : Fréquence des familles monoparentales où la femme a un âge compris entre 40 et 49 ans / 8 822 soit 8% Les famillesmonoparentales oùlafemme a un âge compris entre 40 et 49 ans représentent 8% des familles.

12. Tableau des fréquences conjointes

13. Fréquences marginales Exemple : fréquence des familles monoparentales 1 640 / 8 822 = 0,186 soit 18,6% Les familles monoparentalesreprésentent 18,6% des familles

14. Fréquences conditionnelles La fréquence des femmes de moins de 30 ans parmi les familles traditionnelles : Dans les familles traditionnelles 11 % des femmes ont moins de 30 ans fT (A) = 712 / 6 474 soit 11%

15. Tableau des fréquences conditionnelles par colonnes l’ordre des fréquences conjointes n’est pas le même que celui des fréquences conditionnelles Les familles où la femme a moins de 30 ans sont plus nombreuses chez les familles traditionnelles que chez les familles monoparentales pourtant la proportion des familles où la femme a moins de 30 ansest plus petite chez les traditionnelles . :

16. Niveau terminale Nuage de points, point moyen. Ajustement affine réalisé : - soit par une méthode graphique - soit par la méthode des moindrescarrés à l’aide de la calculatrice ou du tableur Séries chronologiques

17. Comparaison des droites obtenues par laméthode des moindres carréset par laméthode de Mayer. Utilisation d’un tableur (voir fichier dte_mayer.xls)

18. M5 P6 M4 P5 M6 M1 P3 P4 P2 M3 M2 P1 Droite d’ajustement : méthode des moindres carrés un nuage de points Mi (xi ; yi) et une droite D d’équation y = ax +b Pi (xi ; axi + b) le point de D de même abscisse xique le point Mi La droite d’ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés est celle qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées yiet celles du modèle : axi + b , soit la quantité: Σ MiPi²

19. MATHÉMATIQUESSERIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LA GESTION Probabilités

20. Connaître les symboles ,  et la notation pour l’événement contraire. Probabilités En Première : • Épreuves, événements élémentaires ou issues, univers, répartition de probabilité. • Calculer la probabilité d’événements : Faire le lien avec les propriétés des fréquences. • Expérimentation et simulation : Comparer une fréquence observée à une probabilité théorique. Dans des situations élémentaires, reconnaître et réinvestir des situations de probabilités issues de différents types de tirages aléatoires.

21. « Pour étudier une épreuve aléatoire, on a besoin d'un modèle, qui précise d'une part les issues (on les suppose ici en nombre fini), d'autre part la distribution de probabilité entre ces issues. » Daniel Schwartz, « Le Jeu de la science et du hasard, La statistique et le vivant » chez Flammarion En 1ère STG, il s’agit d’un premier contact avec les probabilités. Cette partie du programme doit constituer un moment important de la formation en classe de première et il est nécessaire que les élèves disposent d’un temps suffisant pour se familiariser avec cette introduction aux probabilités. Introduire la notion de probabilité en 1ère STG

22. Introduction de la notion de probabilité par une approche statistique simulée. Validation d’un modèle par la confrontation avec une simulation. Dans la continuité du travail effectué en 2nde, intervient alors : - la notion de fluctuation d’échantillonnage, - l’analyse des trois approches d’un problème : « Réaliser l’expérience », « Utiliser un modèle mathématique », « Simuler l’expérience », - la relative stabilité des fréquences lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois. Introduire la notion de probabilité en 1ère STG

23. A propos de « pile ou face » 1. Approche théorique On peut considérer qu'une pièce est parfaite si les deux résultats « pile » et « face » sont équiprobables. On a alors une chance sur deux d'obtenir « pile » et une chance sur deux d'obtenir « face ». 2. Contrôle statistique Simulation : « à la main », avec la calculatrice, avec un tableur. Pile – Face (voir fichier pf.xls) Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples

24. A propos de dés L’expérience consiste à lancer deux dés « équilibrés » et à considérer la somme des deux faces supérieures. Estimer le nombre de chances de gagner suivant des règles fixées. 1. Approche théorique  Introduction d’arbres ou de tableaux  Définition d’une loi de probabilité Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples

25. Somme obtenue Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples D’après le tableau ci-dessus ou l’arbre, il se conçoit que « la somme 7 » ait « 6 chances sur 36 » d’être obtenue.

26. 2. Contrôle statistique Simulation : « à la main », avec la calculatrice, avec un tableur. 3. Probabilité d’évènements Règle du jeu : « Le joueur gagne si la somme obtenue est un multiple de 3 » Quelle est la probabilité que le joueur gagne ? La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de ses issues.  Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples Somme de deux dés (voir fichier somme.xls)

27. Indépendance de deux événements : Caractériser l’indépendance par chacune des égalités : Démontrer ou utiliser l’indépendance de deux événements. Probabilités En Terminale : • Conditionnement, probabilité, sachant B, de A : Déterminer P(AB) connaissant PB(A) et P(B). Déterminer PB(A) dans des cas simples : expériences aléatoires définies à partir de tableaux croisés d’effectifs, cas de deux tirages successifs. Utiliser les tableaux et les arbres de probabilité pour calculer des probabilités et résoudre des problèmes.

28. Approche de la notion de probabilité conditionnelle Le personnel d’une entreprise est composé d’hommes et de femmes qui sont cadres ou ouvriers. Peut-on calculer les fréquences conditionnelles ?

29. 25% des femmes et 33% des hommes sont cadres 33% des cadres et 43% des ouvriers sont des femmes

30. On dispose d’un tableau de fréquences conditionnelles. Peut-on calculer les fréquences conjointes ? 0,15 =0,25.x + 0,125.(1x) x = 0,2 0,125x = 0,025

31. x = 0,2

32. fC(F)=f(F)  f(F et C) = f(F)f(C)

33. Effet de structure Dans un même lycée : 1,70 1,72 Taille moyenne

34. Effet de structure Dans un même lycée : 1,70 Taille moyenne