1 / 22

Τομές Γραφήματος

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο). Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και. 12. 26. 20. 7. 10. 9. 17. 4. 14. Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο). Συνάρτηση βάρους ακμών.

ronli
Télécharger la présentation

Τομές Γραφήματος

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή :Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 7 10 9 17 4 14

  2. Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή :Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και Βάρος τομής : 12 26 20 7 10 9 17 4 14

  3. Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή :Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και Βάρος τομής : 12 26 20 7 10 9 17 4 14

  4. Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή :Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και Βάρος τομής : 12 26 20 7 10 9 17 4 14

  5. Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή :Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και Βάρος τομής : Ελάχιστη τομή : Θέλουμε μια τομή με ελάχιστο βάρος. Μπορεί να βρεθεί σε πολυωνυμικό χρόνο. (Προσεχώς!) • Μέγιστη τομή : Θέλουμε μια τομή με μέγιστο βάρος. • NP-πλήρες σε γενικά γραφήματα. • Λύνεται σε πολυωνυμικό χρόνο σε επίπεδα γραφήματα.

  6. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος • Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου : • [Hadlock 1975]: χρόνος εκτέλεσης = • [Shih, Wu and Kuo 1990]: χρόνος εκτέλεσης = Κεντρική ιδέα : Μετατροπή σε πρόβλημα υπολογισμού μέγιστου ταιριάσματος

  7. Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Μέγιστο ταίριασμα :Έχει μέγιστο αριθμό ακμών. Τέλειο ταίριασμα : Όλοι οι κόμβοι είναι ταιριασμένοι. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  8. Ταιριάσματα Ελάχιστου Κόστους Γράφημα Κόστος ακμών Κόστος ταιριάσματος Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα ελάχιστου κόστους 1 1 2 2 3 3 4 2 4 2 1 1 5 5 3 3 κόστος = 12 κόστος = 9 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  9. Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή :Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και Βάρος τομής : Ακμές της τομής : 12 26 20 7 10 9 17 4 14

  10. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος Παρατήρηση Αν αφαιρέσουμε τις ακμές το γράφημα που απομένει είναι διμερές. 20 7 10 9 17 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  11. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος Παρατήρηση Αν αφαιρέσουμε τις ακμές το γράφημα που απομένει είναι διμερές. Αρκεί, επομένως, να βρούμε ένα σύνολο ακμών ελάχιστου βάρους, τέτοιο ώστε το γράφημα να είναι διμερές. Κάθε ακμή του ανήκει σε κύκλο περιττού μήκους. 12 26 20 7 10 9 17 4 14 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  12. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος Πρόταση Ένα επίπεδο γράφημα είναι διμερές εάν και μόνο εάν στο δυϊκό του γράφημα κάθε κόμβος έχει άρτιο βαθμό. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  13. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος Πρόταση Ένα επίπεδο γράφημα είναι διμερές εάν και μόνο εάν στο δυϊκό του γράφημα κάθε κόμβος έχει άρτιο βαθμό. Απόδειξη Αν το G είναι διμερές τότε δεν έχει κύκλους περιττού μήκους, επομένως κάθε όψη f έχει άρτιο αριθμό ακμών. Άρα σε κάθε κόμβο του προσπίπτει άρτιος αριθμός ακμών. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  14. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος Πρόταση Ένα επίπεδο γράφημα είναι διμερές εάν και μόνο εάν στο δυϊκό του γράφημα κάθε κόμβος έχει άρτιο βαθμό. Απόδειξη Αντίστροφα, έστω ότι κάθε κόμβος του έχει άρτιο βαθμό. Θα δείξουμε ότι κάθε κύκλος του G έχει άρτιο μήκος. Έστω κύκλος Κ του G. Έστω οι όψεις που βρίσκονται στο εσωτερικό του Κ. Έστω οι ακμές στο εσωτερικό του Κ (όχι πάνω στον Κ). Έστω ο βαθμός του κόμβου στο (που αντιστοιχεί στην όψη του G). TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  15. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος Πρόταση Ένα επίπεδο γράφημα είναι διμερές εάν και μόνο εάν στο δυϊκό του γράφημα κάθε κόμβος έχει άρτιο βαθμό. Απόδειξη Ισχύει Το άθροισμα είναι άρτιος, άρα και το μήκος του κύκλου K είναι άρτιο. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  16. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος Πρόταση Η διαγραφή μια ακμής που δεν είναι γέφυρα σε ένα επίπεδο γράφημα αντιστοιχεί στη συρρίκνωση της αντίστοιχης ακμής στο δυϊκό γράφημα . TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  17. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος Πρόταση Η διαγραφή μια ακμής που δεν είναι γέφυρα σε ένα επίπεδο γράφημα αντιστοιχεί στη συρρίκνωση της αντίστοιχης ακμής στο δυϊκό γράφημα . Άρα θέλουμε να βρούμε στο ένα σύνολο ακμών ελάχιστου βάρους που αν συρρικνωθούν τότε όλοι οι κόμβοι του έχουν άρτιο βαθμό. κάλυμμα κορυφών περιττού βαθμού. Ιδιοτήτα Έστω ένα γράφημα και έστω ένα κάλυμμα κορυφών περιττού βαθμού του . Το αποτελείται από μονοπάτια τα οποία είναι μη τεμνόμενα ως προς τις ακμές τους και όλοι οι αφετηριακοί και τερματικοί κόμβοι που συνδέουν είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  18. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος Ιδιοτήτα Έστω ένα γράφημα και έστω ένα κάλυμμα κορυφών περιττού βαθμού του . Το αποτελείται από μονοπάτια τα οποία είναι μη τεμνόμενα ως προς τις ακμές τους και όλοι οι αφετηριακοί και τερματικοί κόμβοι που συνδέουν είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. 3 4 3 5 6 2 2 2 3 2 2 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  19. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος Ιδιοτήτα Έστω ένα γράφημα και έστω ένα κάλυμμα κορυφών περιττού βαθμού του . Το αποτελείται από μονοπάτια τα οποία είναι μη τεμνόμενα ως προς τις ακμές τους και όλοι οι αφετηριακοί και τερματικοί κόμβοι που συνδέουν είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Πρέπει να βρούμε ζεύγη κόμβων όπου κάθε και έχει περιττό βαθμό και υπάρχουν μονοπάτια που είναι μη τεμνόμενα ως προς τις ακμές και το συνδέει τον με τον . Επιπλέον τα είναι μονοπάτια ελάχιστου βάρους που έχουν την παραπάνω ιδιότητα. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  20. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος Ιδιοτήτα Έστω ένα γράφημα και έστω ένα κάλυμμα κορυφών περιττού βαθμού του . Το αποτελείται από μονοπάτια τα οποία είναι μη τεμνόμενα ως προς τις ακμές τους και όλοι οι αφετηριακοί και τερματικοί κόμβοι που συνδέουν είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Πρέπει να βρούμε ζεύγη κόμβων όπου κάθε και έχει περιττό βαθμό και υπάρχουν μονοπάτια που είναι μη τεμνόμενα ως προς τις ακμές και το συνδέει τον με τον . Επιπλέον τα είναι μονοπάτια ελάχιστου βάρους που έχουν την παραπάνω ιδιότητα. Ένα τέτοιο σύνολο από ζεύγη κόμβων ονομάζεται ελάχιστο ζευγάρωμα περιττών κόμβων. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  21. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος Ιδιοτήτα Έστω ένα ελάχιστο ζευγάρωμα περιττών κόμβων. Έστω ένα ελαφρύτατο μονοπάτι από τον στον . Τότε τα μονοπάτια δεν έχουν κοινές ακμές. Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι τα μονοπάτια και έχουν μια κοινή ακμή . Τότε υπάρχουν μονοπάτια και που συνδέουν τα ζεύγη και ή τα ζεύγη και , τα οποία έχουν συνολικό βάρος μικρότερο από το βάρος των και .Αυτό όμως είναι άτοπο από την επιλογή του ελάχιστου ζευγαρώματος περιττών κόμβων. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

  22. Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος • Η εύρεση ενός ελάχιστου ζευγαρώματος περιττών κόμβων ενός γραφήματος μπορεί να γίνει μέσω υπολογισμού ενός τέλειου ταιριάσματος ελάχιστου κόστους: • Πρώτα υπολογίζουμε τις ελαφρύτατες διαδρομές μεταξύκάθε ζεύγους περιττών • κόμβων. Έστω το βάρος της ελαφρύτατης διαδρομής από τον στον . • Δημιουργούμε το πλήρες γράφημα με κόμβους που αντιστοιχούν στους • περιττούς κόμβους του . Σε κάθε ακμή του αναθέτουμε κόστος • . • Υπολογίζουμε ένα τέλειο ταίριασμα ελάχιστου κόστους στο . TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

More Related