Аритметична прогресия

1. Аритметична прогресия През ХIII–ХIV в. Велико Търново като столица на България се издига в най-значителен политически, административен, религиозен и книжовен център. Тук през втората половина на ХIV в. се развива Търновската книжовна школа, която оформя Втория златен век на българската литература и култура. Процъфтяването на школата се свързва с името и книжовната дейност на патриарх Евтимий Търновски (ок. 1320/1330 – ок. 1402). Освен цялостното книжовно дело на Евтимий, понятието Търновска книжовна школа обхваща и творчеството на неговите преки и непреки ученици – Киприан, Йоасаф Бдински, Григорий Цамблак, Константин Костенечки и др. Оскъдните сведения, които е оставил за себе си Константин Костенечки, дават основание на изследователите да стигнат до извода, че той е роден около 1380 г. в селището Костенец. От името на селото получава прозвището Костенечки. Вероятно първите си познания по четмо и писмо получава в манастира „Св. Спас“, който се намира на около час път югозападно по шосето за Самоков. Патриарх Евтимий Напред

2. Аритметична прогресия След падането на Търново под турско робство Евтимий Търновски е заточен в Бачковския манастир. Около него се събират ученици, които се учат на граматическо изкуство, християнско благочестие и може би на някои основни математически познания. Между тях е и тракиецът Андроник (Андрей). Славата на Евтимий се разнася бързо по близките градове, села, пазари, черкви и името му се произнася като име на учител и на голям светец. При него се стичат мъже и жени, стари и млади, бедни и богати, за да получат съвет и морална подкрепа. Костенец не е далече от Бачково и Костантин Костенечки лесно може да научи за пребиваването на Евтимий Търновски в Бачковския манастир и да пожелае да отиде там. Когато обаче пристига в манастира, вероятно в 1402 г., Евтимий Търновски вече е починал. Константин Костенечки остава да учи при ученика на Евтимий – Андроник. Тук именно, в Бачковския манастир, се запознава с правописната и езиковата реформа на Евтимий Търновски посредством своя учител Андроник. Колко време учи в манстира, не се знае точно. Бачковски манастир Назад Напред

3. Аритметична прогресия Турският султан Муса в периода 1409–1413 г. опожарява Родопите, Пловдив, по негова заповед е убит митрополит Дамян и пр. За да се спаси от разбойничеството на Муса, Константин Костенечки избягва в Сърбия, вероятно между 1410 и 1413 г. Тук той живее под закрилата на деспот Стефан Лазаревич, работи и при сръбския патриарх, отдава се на учителска и книжовна дейност и с граматическите си разработки играе важна роля в развитието на сръбската книжнина. След смъртта на деспота по поръчка на сръбския патриарх Никон Константин Костенечки написва „Житие на Стефан Лазаревич“, в което с помощта на Великия индиктион от 532 години определя годината, когато започва господаруването на Стефан Лазаревич, като казва, че 13-те кръга по 532 години (13.532 = 6916) свършили в 19-ата година от неговото владичество, следователно последното захванало в 6897 г. (6916–19), или в 1389 г. от Р. Хр. Патриарх Евтимий сред българите. Назад Напред

4. Аритметична прогресия Очевидно Константин Костенечки владее операциите събиране, изваждане и умножение на естествени числа, интересува се от календарни въпроси. От неговото съчинение „Пътуване до Палестина“ разбираме, че притежава знания по метрология. Така например той отбелязва, че гробът на Богородица се намира на 19 стъпки от Св. Трапеза, а църквата на гроба Господен е дълга 150 стъпки. Особен интерес за нас представлява съчинението „Разяснено изложение за буквите“, известно в научната литература като „Сказание за буквите“ и „За буквите“. Според автора това е книга, която учи читателя как да се употребяват буквите, та поради промяната им да не се развалят божествените писания; как и по какъв начин и сега загиват новоиздадените [книги], а благочестивите самодръжци винаги се грижат за [друго] издание, щом намерят, че са похабени; за облеклото им [надбуквените знаци] и за знаците, защото [книгите] се развалят не само чрез буквите, а и чрез ударенията; за обучението на децата и пр. В гл. 6 Константин Костенечки препоръчва при началното ограмотяване да се изучават най-напред 24-те букви, които са еднакви в гръцката и славянската азбука, като се прибавят към тях и 6-те числени букви, за да се запознаят децата с числата, а след това да се вземат и останалите букви.„Сказание за буквите“ завършва с криптограма от три реда (фиг. 1) Фигура 1 Назад Напред

5. Аритметична прогресия Тя е разчетена от сръбския учен Джуро Даничич. Разчитането започва от първата буква на втория ред след точката – това е буквата С, до нея се поставя първата буква от първия ред – А, после втората буква от втория ред след С – М, следва втората буква от първия ред – О и т. н. След като се изчерпят буквите или буквените съчетания от втория ред, се преминава на първата буква от третия ред – С, а след изчерпване на буквите от първия ред четенето продължава с първата буква от втория ред. Като резултат от тази подредба се получава текст, който е посвещение на Стефан Лазаревич, направено от Константин Костенечки: „самодржавномоу деспотоу Стефаноу, раб Константин“. Същото посвещение се чете и в акростиха, образуван от началните букви или буквени съчетания на думите в текста на всяка от четиридесетте глави на съчинението. Акростихът изразява уважение и признателност според модата по онова време. Граматическия труд на Костантин Костенечки, препис от XIV-XV век. Назад Напред

6. Аритметична прогресия Възниква въпросът – защо е било необходимо Константин Костенечки да дублира посвещението чрез криптограма? Внимателното разглеждане на текста показва, че на втория ред след първата буква (А) и преди точката, от която започваме четенето, има един знак (z), който не е буква и някои изследователи считат за паерчик. (Паерчик е знак, подсказващ изчезваща ерова гласна.) Криптограмата завършва с троеточие. Нека сега да запишем под всяка буква или буквено съчетание по реда, по който получихме посвещението, по едно число. Така под първата буква (С) пишем 1, под втората (А) – 2, под третата (М) – 3 и т. н. Под точката в средата на третия ред пишем 25, а под точката в края на първия ред – 26. Като следваме този алгоритъм, записваме под първата буква на втория ред (А) 28. Следващата буква в текста е Б, на която съответства 29. Следва К, под която би следвало да пишем 30. Точно тук нарушаваме правилото и поставяме 30 под z. Аналогично под втория знак z на същия ред пишем 38. Накрая под троеточието записваме числото 39 (фиг. 2). Фигура 2 Назад Напред

7. Аритметична прогресия Даразгледаме фиг. 3, на която са изобразени само получените числа: Фигура 3. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 381 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 Числата от втория ред, започвайки от 1, заедно с числата от третия ред образуват аритметична прогресия* с първи член 1 и разлика 2. Числата от първия ред и първите шест числа от втория ред образуват аритметична прогресия с първи член 2 и разлика 2. Броят на числата във всеки от трите реда е един и същ – 13. Да съберем почленно (първите, вторите и т. н. числа) съответните числа от трите реда. Ще получим нова числова редица: 45, 51, 57, 63, 69, 75; 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78. Получаваме две аритметични прогресии. Първата – от 6 члена, имаща за първи член 45 и разлика 6, а втората – от 7 члена, с първи член 42 и разлика 6. Да съберем почленно първия и втория ред. Получаваме редицата: 30, 34, 38, 42, 46, 50; 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39. Това са две аритметични прогресии. Първата – от 6 члена, с първи член 30 и разлика 4, а втората – от 7 члена, с първи член 15 и разлика 4. Да съберем почленно първия и третия ред. Получаваме редицата: 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65. Това е аритметична прогресия с първи член 17 и разлика 4. Назад Напред

8. Аритметична прогресия Да съберем почленно втория и третия ред. Получаваме редицата: 43, 47, 51, 55, 59, 63; 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52. Това са две аритметични прогресии. Първата – от 6 члена, с първи член 43 и разлика 4, а втората – от 7 члена, с първи член 28 и разлика 4. Ако съберем числата по диагоналите (означени с щрих), ще получим редицата: 51, 57, 63, 69, 75; 42, 48, 54, 60, 66, 72. Това са две аритметични прогресии. Първата – от 5 члена, с първи член 51 и разлика 6, а втората – от 6 члена, с първи член 42 и разлика 6. Да съберем почленно числата от първия и втория ред и от получените суми да извадим съответните числа от третия ред. (Например (2 + 28) – 15 = 30 – 15 = 15 и т. н.). Получаваме редицата: 15, 17, 19, 21, 23, 25; –12, –10, –8, –6, –4, –2, 0. *Аритметична прогресия наричаме числова редица, на която е даден първият член, и всеки член след него се получава от предходния, като се прибавя едно и също число. Това число се нарича разлика на аритметичната прогресия. Назад Напред

9. Аритметична прогресия От анализа на криптограмата на Константин Костенечки се вижда, че чрез буквите са закодирани математически знания. Посвещението може да се прочете и без допълнителните знаци (z), излишни са точките на първия и третия ред, не е необходимо и троеточието в края. Чрез тях обаче броят на буквите и буквените съчетания стават точно по 13 във всеки ред. А след като запишем под тях съответните числа, виждаме аритметични прогресии, образувани по различен начин. Очевидно Константин Костенечки е познавал този вид числови редици. Владеел е операциите събиране и изваждане на естествени числа, почленно събиране и изваждане на естествени числа, може би е познавал свойствата на аритметичната прогресия. Следователно чрез текста, който е посветен на деспота Стефан Лазаревич, Константин Костенечки показва определени математически познания. Този похват за демонстриране на математическите знания чрез литературни текстове е известен от дълбока древност. Ще цитираме мнението на древногръцкия математик Питагор. Според него стиховете на един от най-великите поети на всички времена – Омир, са написани по начин, по който се показват редица математически знания. Като пример ще посочим 181-ви стих на глава трета от „Илиада“. В него всяка следваща дума има една сричка повече от предходната, в резултат на което се получава аритметична прогресия, а именно: Ωμα-καρλρ-τει-δημα-ρη-γε-νενολ-βι-о-δον 1 2 3 4 5 (Щастлив Артеиди, ти късметлия и блажен.) В други стихове на Омир (например стихове 264 и 265 от глава осма и стихове 304 и 306 от глава десета на „Илиада“), ако буквите се разглеждат като означения на числа, то сборовете на тези числа са равни Питагор ( 582 – 496 г. пр.н.е.) Авторски колектив: Минчо Бейков Илиян Йорданов Назад