1. מפות קרנו ולוגיקה צירופיתיהודה אפק, נתן אינטרטור אוניברסיטת תל אביב מבוסס על הרצאות שליורם זינגר, האוניברסיטה העברית י"ם

2. פישוט פונקציות ע"י מפות קרנו: y • E. Veitch, 1952 ; M. Karnaugh 1953 • טבלה של שני משתנים: y x x y ייצוג ערכים: y x f = m1+m2+m3 y f = x+y x x z • טבלה של שלושה משתנים: yz x x y ** כל שני ריבועים סמוכים במפה נבדלים במשתנה אחד בלבד. m2 + m6 x’yz’ + xyz’  yz’

3. y 1. z’ f=z’ + xy 2. xy x z f = x’y’z’ + xy’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’ כדי לפשט את הפונקציה נחפש ריבועים "מוכללים" גדולים שיכסו את ה"1" פונקציה "פשוטה" ריבועים גדולים

4. דוגמא נוספת: f = x’y’ + xz + xy 0 1 3 2 x(y + z) לא ניתן לפישוט ע"י מפת קרנו. 4 5 7 6 f = x’y’ + y’z + xy y’(x’+z) לא ניתן לפישוט ע"י מפת קרנו. • הפישוט המינימלי לא תמיד יחיד f(x,y,z) = (0,1,5,6,7) y x z

5. מפה של ארבעה משתנים: y yz wx f=x’z’ + w’z’ x w z מפה של חמישה משתנים: C AB CDE B A E D E f = AC’ + AD’E’ + CDE’ + B’D’E’

6. מפה של חמישה משתנים:מושג השכנות f = A’BDE + ABD’E C AB CDE B D E

7. איברים / צירופים אדישים: y yz wx x w z “Don’t Care” ניתן להשים ל"1" או "0“ (לאו דווקא בעקביות) f = z’w + zx סכום מכפלות

8. דוגמאות:

9. דוגמאות:

10. כל פונקציה בוליאנית ניתנת לכתיבה כסכום מכפלות: צורות קנוניות: x’y’z’+x’yz’+x’yz+xy’z’+xyz’+xyz (x+y+z’) (x’+y+z’) ומכפלת סכומים: • מכפלות סכומים • בהינתן טבלת אמת של פונקציה f: • נרשום את f כמכפלת סכומים ע"י לקיחת Mi עבורם f=0. • או: • 2) נרשום את f כסכום מכפלות ע"י לקיחת mi עבורם f=1. minterm (x+y+z’) (x’+y+z’) x’y’z’+x’yz’+…

11. Product of sum design

12. Product of sum design

13. איברים / צירופים אדישים: y yz wx x w z “Don’t Care” ניתן להשים ל"1" או "0“ (לאו דווקא בעקביות) f = z’w + zx סכום מכפלות

14. לוגיקה צרופית Combinatorial Logic מעגל צירופי לוגי n משתני כניסה m משתני יציאה • נוהל תכנון:Design Principles • תאור הבעיה. • קביעת מספר משתני הכניסה הקיימים ומספר משתני היציאה הנדרשים. • התאמת סמלים למשתני הכניסה והיציאה. • בניית טבלת אמת המגדירה את היחסים הנדרשים בין הכניסות ליציאות. • פישוט הפונקציה הבוליאנית עבור כל יציאה. • "קיבוץ" ופישוט של הפונקציה הכוללת. • תיאור וכתיבת הדיאגרמה הלוגית.

15. BCD => Seven -Segment - Decoder a Seven Segment f b g c e d קלט:מספר בן 4 ביטים ב –BCD פלט:7 פונקציות בוליאניות כך שכל פונקציה הינה "1" אמ"מ ה- Segmentהמתאים צריך לדלוק. • נבנה את טבלת האמת. • נחשב את a…g ע"י מפות קרנו. • נצמצמם את המעגלים ע"י חיפוש שערים חוזרים.

16. a = B’D’ + C + A + BD a =(B’+D+C) (A+B+C+D’) טבלת אמת :BCD  7 Seg D a 00 f b g (A,B,C,D)=>a c 01 e d B 11 A 10 AB CD C

17. D 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 0 0 0 1 B 11     A 10 1 0   AB CD C e = D’B’ + CD’ = D’(B’+C) e = (B’+C)D’ a f b g c e d (A,B,C,D) =>e

18. חצי מחבר – Half Adder a0 b0 HA C S A S S B C חצי מחבר: מקבל 2 סיביות ומחזיר את סכומן (mod 2)ואת הנשא. S = X Y (a  b) C = X •Y (a • b) (a’b’ + c)’= =(a’b’)’•(a•b)’ =(a+b)•(a’+b’) =aa’ + ab’ + ba’ +bb’ (a+b)’=a’b’ a S b C (ab)’ ab

19. an bn FA Cn Cn-1 Sn מחבר מלא – Full Adder הפונקציות s,cסימטריות ב x,y,z "תפקידי" x,y,zהינם זהים S = x’y’z + x’yz’ + xy’z’ + xyz C = xy + yz + xz Y Y X X S C Z Z

20. Ripple Carry Adder

21. 4-Bit Adder

22. 0 1 מחבר / מחסר

23. בדיקת גלישה – מימוש: a3 b3 a2 b2 a1 b1 a0 b0 C3 C2 C1 C0 Adder Adder Adder Adder "0" נשא סופי נשא לתוך סיביות הסימן S3 S2 S1 S0 מספר בין n=4 ביטים Overflow:Cn-1 Cn-2 = 1 בדוגמא (5+7): 1 = C3 C2 • אם ו - חיוביים לא צריך להיות נשא לתוך המסכם האחרון ולא יכול להיות נשא סופי. • אם ו - שליליים חייב להיות נשא סופי וכדי שהמספר יהיה שלילי צריך נשא לתוך המסכם האחרון.

24. Full Adder with Overflow check 1

25. 1 משווה גודל - Comparator “1” A<0 B0 A>B : אין overflow A<0,B>=0 A-B>0 0=MSB ו A<>B יש overflowMSB=1A>=0,B<0 B>A : אין overflowA-B<0 MSB=1 יש overflowMSB=0 c4 XOR c3 :Overflow No Overflow “1” A0 B<0

26. Decoders • Multiplexor • Connects one of many inputs to one output. • n select lines for 2n inputs.

27. Decoders: Multiplexer

28. 4:1 Multiplexer

29. Multiplexer: Binary function