Линейная алгебра для экономистов

1. Линейная алгебра для экономистов 2006 – 2007 учебный год Владимир Георгиевич Халин доцент, кандидат физ.-мат.н.

2. ПРОГРАММА КУРСА • Множества. Алгебраические структуры • Векторные пространства • Матрицы • Системы линейных уравнений • Определители матриц • Квадратичные формы • Экономические приложения

3. Рекомендуемая литература • Д.К.Фаддеев.Лекции по алгебре.Наука.М.1984 • Н.Ш.Кремер. Высшая математика для экономистов. Москва. 1997 • А.С.Солодовников.. Математика в экономике. М.“Финансы и статистика”. 1998 • В.И.Малыхин. Математика в экономике.М.2002 • З.И.Боревич. Определители и матрицы.М.2004 • Учебные и контрольные задания по математике (высшая алгебра). Изд. ЭСФ СПбГУ. 2005

4. Источники в сети Интернет 1. www.econ.pu.ru – экономический ф-т СПбГУ 2. www.economicus.ru 3. www.exponenta.ru • 4. МФПА – www.mifp.ru • 5. МЭСИ – www.mesi.ru

5. Контроль знаний и навыков 1. Выполнение персональных контрольных заданий и самостоятельных работ 2. Представление до экзамена выполненных персональных контрольных работ • 3. Экзамен • все определения и формулировки • демонстрация навыков решения примеров • не используются пособия, учебники и т.п.

6. Критерии оценки знаний и навыков 1. Выполнение персональных контрольных заданий и самостоятельных работ – 20% 2. Экзамен (в т.ч. письменный) – 80% 3. Коллоквиум – 20% + Экзамен – 60% 4. Коллоквиумы – 10% +10% + Экзамен – 60% Дополнительно. + 20% решение задач пакетом «Математика 5.0»

7. БИЛЕТ № 15 1. Модель Леонтьева межотраслевого баланса 2. Системы линейных однородных уравнений • 3. Практикум. • найти обратную матрицу • найти координаты вектора в данном базисе • найти соотношения бюджетов стран при • условии бездефицитности торговли

8. Полезная информация • 1. Вычисления без проблем: • Компьютерный пакет «MATHEMATICA 5.0» • 2. Н.А.Вавилов, В.Г.Халин • «MATHEMATICA 5.* для нематематика.» Выпуски 1 и 2. СПб.: ОЦЭиМ, 2005 3. Интернет-класс с электронным пособием «Линейная алгебра» на сайте www.exponenta.ru/educat/class/courses/la

9. ЖЕЛАЮ УДАЧИ! Владимир Георгиевич Халин зав.кафедрой информационных систем в экономике • Контакты • кафедра 411, т.2730276 (Ольга Михайловна) • halin2005@yandex.ru

10. Nobel Prize winners1975 Леонид Витальевич Канторович 1912-1986

11. Nobel Prize winners1973 Василий Васильевич Леонтьев 1906-1999

12. НАИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. «Под множеством мы понимаем любое соединение М определенных различных (различимых) объектов нашего умозрения или нашей мысли (которые будут называться элементами М) в единое целое»,- Георг Кантор. Множество – это то, что имеет элементы, или, если угодно, состоит из элементов, но при этом само мыслится как некое новое единство, некий новый объект более высокого уровня.

13. Способы задания множеств • 1. Множество А определяется непосредственно перечислением всех своих элементов а,b, …c, т.е. записывается в виде: А =  а, b, …c; • 2. Множество А определяется как совокупность элементов из множества Т, которые обладают свойством . В этом случае используется обозначение: А = х Т(х), где запись (х) означает, что элемент х обладает свойством .

14. Операции над множествами 2.Пересечение Х и Y (множество, состоящее из элементов принадлежащих множеству Х и множеству Y) C = ХY = {x :xХ и xY} • Объединение Х и Y (множество состоящее из элементов, принадлежащих множеству Х или Y),т.е. С = ХУ= {x: xХ или xY} 3.Разность Х и У (множество, состоящее из элементов принадлежащих Х и не принадлежащих У) C = Х \ У= {x : xХ и xY} 4.Прямое произведение Х и У (множество состоящее из упорядоченных пар двух элементовC = Х*У = {(х,у): хХ, уУ}

15. Алгебраические структуры • Алгебраическая операция ( “+” , “ * “ ) • Кольцо(ассоциативное, с единицей) Примеры:Z, Z[i], R[x] • Поле Примеры: Q, R, C, Q(x)

16. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ - Матрицаmxn

17. Операции над матрицами • А+В = В+А 4) A(B+C) = AB + AC 2)(A+B)+C = A+(B+C) 5) (A+B)C = AC + BC 3) λ(A+B) = λA+λB 6)λ(AB)=(λA)B=A(λB) 7) А(ВС)=(АВ)С - ассоциативность

18. Единичная матрица • Для квадратных матриц определена единичная матрица – Е квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные – нули. • Для любой матрицы А выполнено: А*Е = Е* А = А

19. Единичная матрица • Пример:

20. Некоммутативность умножения • Для матриц вообще говоря А*В ≠ В*А

21. Некоммутативность умножения Пример:

22. Обратная матрица • Квадратная матрица А называется обратимой – если найдётсяквадратная матрица В, что выполняются равенства: А* В = В * А = Е • В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается -1 В = А

23. ТЕОРЕМА 1. • Множество Mnxn(R)- квадратных матриц размера nxn с вещественными коэффициентами образуют некоммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором не всякий ненулевой элемент обратим.

24. Многочлен от матрицы • Если А - квадратная матрица n-го порядка и - многочлен m –й степени, то выражение называется многочленом от матрицы А

25. Транспонирование матриц A - матрица размера mxn - матрица размера nxm и называется транспонированной для A

26. Некоторые свойства обратимых матриц • Если квадратные матрицы А и В обратимы, то справедливы следующие соотношения:

27. Некоторые свойства операции транспонирования матриц

28. Определители, их свойства Определителем матрицы А= n-го порядка называется сумма всех произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки и снабженных знаком «+» или «-» по определённому знаку.

29. Определители, их свойства Определитель матрицы А= n-го порядка это: где перестановка на множестве {1,2,…,n}

30. Свойства определителей 1.Умножение некоторой строки (столбца) матрицы определителя на некий коэффициент равносильно умножению самого определителя на этот коэффициент. 2.Если все элементы некоторой строки (столбца) матрицыравны нулю, то и определитель равен нулю. 3.Определитель не меняется при транспонировании (свойство равноправностистрок и столбцов матрицы).

31. Свойства определителей 4.При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. 5.Определитель с двумя одинаковыми строчками (столбцами) равен нулю. 6.Определитель с двумя пропорциональными строчками (столбцами) равен нулю.

32. Свойства определителей 7.Если в определителе некоторая строка есть сумма двух других строк, то определитель равен сумме двух определителей с этими строками, а все остальные строки этих определителей равны строкам исходного определителя. 8.Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то величина определителя не изменится. 9.Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. .

33. Свойства определителей Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются: 1)умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля, 2)прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на любое число, 3)перемена местами двух строк (столбцов).

34. Свойства определителей 10.Алгоритм вычисления определителя. Матрица определителя приводится элементарными преобразованиями над строками (или столбцами) к верхнетреугольному виду. Вычисляется определитель полученной матрицы с учетом сделанных преобразований.

35. Свойства определителей Алгебраическим дополнением элемента называется следующий определитель n-го порядка

36. Свойства определителей Минором соответствующим элементу определителя n-го порядка, называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. 11.Справедливо следующее равенство

37. Свойства определителей 12.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна этому определителю, т.е.

38. Свойства определителей 13.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю, т.е. при

39. Свойства определителей 14.Определитель клеточно-диагональной матрицы равен произведению определителей матриц, являющихся клетками исходной матрицы. 15.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е.

40. ТЕОРЕМА 2. Для того чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля, т.е. А -невырожденная матрица. При этом:

41. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ Пусть дана интерполяционная задача с nузлами. Найти полином степени не выше чем (n-1):

42. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВАНДЕРМОНДА Матричный вид данных равенств:

43. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВАНДЕРМОНДА

44. Ранг матрицы, его свойства Рангом rматрицы А= называется целое число r , такое, что среди миноров r–го порядка матрицы А имеется хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры (r+1)-го порядка равны нулю или миноров порядка (r+1 ) вообще нет.

45. Справедливы следующие свойства: • если к матрице приписать строку или столбец из нулей, то ранг исходной матрицы не изменится. • если в матрице все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры (k+1)-го порядка (если они существуют). • при элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

46. Справедливы следующие свойства: • Алгоритм вычисления ранга матрицы: приведение матрицы к трапециевидному виду

47. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Векторным или линейным пространством Vнад полем F=(R) называют множество объектов V, в котором определено действие «сложения» элементов и действие «умножения» на элементы поля F,причем выполняются аксиомы:

48. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА • Элементы векторного пространстваVназываются векторами или точками пространства V , а элементы поля F-скалярами. • Наибольшее применение имеют векторные пространства над полем вещественных чисел R или над полем комплексных чисел C. • В дальнейшем, если не оговорено специально, мы будем рассматривать только векторные пространства над полем вещественных чисел R.

49. ПРИМЕРЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 1.Пространствостолбцов высоты n.

50. ПРИМЕРЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 2.Пространствоматриц размера mxn.