1 / 3

Trysekcja Maclaurina 1/3

Colin Maclaurin (1698-1746) studia uniwersyteckie podjął w Glasgow mając 11 lat. W wieku 19 lat został profesorem Uniwersytetu w Aberdeen, a od r.1725 piastował na Uniwersytecie Edynburskim stanowisko szefa katedry, rekomendowany nań przez Izaaka Newtona (1642-1727).

royce
Télécharger la présentation

Trysekcja Maclaurina 1/3

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Colin Maclaurin (1698-1746) studia uniwersyteckie podjął w Glasgow mając 11 lat. W wieku 19 lat został profesorem Uniwersytetu w Aberdeen, a od r.1725 piastował na Uniwersytecie Edynburskim stanowisko szefa katedry, rekomendowany nań przez Izaaka Newtona (1642-1727). W roku 1740 uhonorowany został w Paryżu nagrodą tamtejszej Academie des Sciences, wraz z nim takie same wyróżnienie otrzymali Leonhard Euler (1707-83) i Daniel Bernoulli (1700-82, syn Johanna, autor Hydrodynamica). Trysekcja Maclaurina 1/3 Sylwetka Maclaurina Już w Glasgow jego nauczyciel, Robert Simson (1687-1768, redaktor wydania ksiąg 1-6, 11 i 12 Elementów Euklidesa), zaraził go entuzjazmem do problemów geometrycznych postawionych w starożytnej Grecji. W opublikowanej w r.1719 Geometria organica sive descriptio linearum curvarum universalis podejmuje Maclaurin ważne problemy dotyczące m.in. stożkowych i krzywych kubicznych. Próbując rozwiązać problemy starożytnych Greków zdefiniował, w roku 1742, krzywą, dziś zwana krzywą Maclaurina albo trysektrysą Maclaurina, i za jej pomocą przeprowadził trysekcję kąta. Szereg, zwany powszechnie szeregiem Maclaurina, nie był obiektem jego dociekliwości, choć pisał o nim np. w r.1742 w Treatise of Fluxions. Pierwsze wyrażenia, które obecnie nazywane są rozwinięciami Maclaurina i Taylora, podał w swej książce Methodus incrementorum directa et inversa James Gregory (1638-75), z którym Brook Taylor (1685-1731) współpracował.

  2. Krzywa Maclaurina zdefiniowana jest w układzie Oxy współrzędnych prostokątnych (x,y) wzorem x = 1–4cos2(t) y = {1–4cos2(t)}·tg(t), t (–/2,  /2). Na rysunku obok widzimy tę krzywą i jej łuk prowadzący przez III ćwiartkę układu współrzędnych od punktu A do punktu O (a więc gdy t biegnie od 0 do /3). Linią kropkowaną wkreślony jest okrąg o środku w (–3/2,0). Trysekcja Maclaurina 2/3 Równania krzywej Maclaurina Podstawiając u = tg(t) możemy równaniu krzywej Maclaurina nadać postać x = (u2–3)/(u2+1), y = u·(u2–3)/(u2+1). Otrzymamy równanie bezpośrednio wiążące odciętą x i rzędną y dowolnego punktu na krzywej Maclaurina. Ponieważ cos(t) = {1–x}1/2/2, więc sin(t) = {1–cos2(t)}1/2 = {3+x}1/2/2 i dlatego y = {1–4cos2(t)}·tg(t) = {1–4·(1–x)/4}·{1–x}1/2/{3+x}1/2 , czyli (1–x)·y2 = (3+x)·x2. Uzyskamy teraz równanie krzywej Maclaurina w układzie Orwspółrzędnych biegunowych. Promień r i kąt wiążą się z odciętą x i rzędną y równaniami x = r·cos, y = r·sin. Dlatego równanie (1–x)·y2 = (3+x)·x2 przyjmuje postać {1–r·cos}·r2sin2 = (3+r·cos}·r2cos2. Po podzieleniu przez r2cos2() i skorzystaniu ze wzoru jedynkowego mamy r = 1/cos– 4·cos,  (–/2, /2).

  3. k1. W III ćwiartce układu współrzędnych kreślimy łuk krzywej Maclaurina i zaznaczamy punkt B = (–2, 0). Trysekcja Maclaurina 3/3 k2. Przez punkt B prowadzimy prostą nachyloną do osi Ox pod danym kątem  (0, ). Konstrukcja 1/3 kąta k3. Prosta ta przecina łuk w punkcie C. k4. Łączymy punkt C z początkiem O. Kąt nachylenia tego odcinka do osi Ox oznaczamy przez . Jest  = /3. u1. Prosta BC przechodzi przez punkt B i jest nachylona do Osi Ox pod kątem , ma więc równanie y = tg()·(x+2). u2. Prosta BC przechodzi przez punkty B i C = (1–4cos2, {1–4cos2}·tg  ), ma więc równanie {y–0}/{(1–4cos2)·tg –0} ={x–(–2)}/{(1–4cos2)–(–2))}, tzn. y = k·(x+2), gdzie k = tg ·(1–4cos2)/(3–4cos2). Uzasadnienie konstrukcji u3. Ponieważ 4cos2–1 = cos(2)+2cos2 oraz 4cos2–3 = cos(2)–2sin2, więc u4. A że, na mocy u1, k = tg , więc tg  = tg(3), skąd (przy założonym zakresie zmienności kąta ) wynika, iż  = /3.

More Related