第二节 常数项级数的审敛法

1. 第二节 常数项级数的审敛法 一.正项级数及其审敛法 一般的常数项级数,它的各项可以是正数,负数, 或者为零.现在我们先讨论各项都是正数或零的 级数,这种级数称为正项级数.正项级数特别重要, 许多级数的收敛性问题可归结为正项级数的收 敛性问题

2. 设级数 u1+u2+…+un+.. (1) 是一个正项级 数(ui≥0),它的部分和为sn.显然数列{Sn}是一个 单调增加数列:s1≤s2≤….≤Sn≤…. 如果数列{Sn}有界,即Sn总不大于某一常数M,根据 单调有界的数列必有极限的准则,级数(1)必收敛于 和S,且Sn<S<M,反之,如果正项级数收敛,则它一定 是有界数列.因此我们有定理1

3. 定理1 正项级数 收敛的充分必要条件 是其部分和数列{Sn}有界(即有上界) 证明: 必要性,设级数 收敛,于是数列{Sn} 存在极限, 根据收敛数列的有界性,知道{Sn}有界. 充分性. 因为un>0,所以对任意n∈N都有 可见数列{Sn}是单调增加,又根据充分性假设,数列 {Sn}有上界. 由单调有界数列必存在极限的定理,知极限 存在,从而级数 收敛

4. 例1 证明级数 证明:这是一个正项级数,其部分和为 故{Sn}有界,所以原级数收敛.

5. 求无穷级数的部分和Sn的表达式及和 往往是很困难的. 但是,如果知道数值级数收敛, 我们可用Sn近似代替S并可达到任意精确的程度,而 有限项数值之和Sn总是可以计算的.由此看来,首先 判别级数的敛散性是很重要的.本讲介绍一系列的 判别数值级数敛散性的方法.

6. 定理2 (比较审敛法) 设有两个正项级数

8. 注意:在比较审敛法中,我们用 需要判别的级 数通项 和已知收敛(或发散)的级数通项进行 比较.

9. 常用级数的前二个我们已经证明过,第三个级数常用级数的前二个我们已经证明过,第三个级数 是利用积分判别法证明的.现在我们把积分判别法作 一个说明: 积分判别法(定理):设f(x)在x≥1时非负且单调 下降,令un=f(n), n=1,2,3,…则正项级数 收敛等阶于 积分 收敛

10. 解:

13. 例3 判别下级数的敛散性 解: 比较法的特点是要找出一个已知收敛性的 级数来进行比较.这里我们选择P级数 由P-级数(p=2>1)的收敛性和比较法,知道题的 级数收敛.

14. 定理3(比较法的极限形式) 设有两个正项级数 和 且bn≠0, 如果

15. 例4 判别下级数的敛散性 解:

16. 例5 证明下级数是发散的 解: 所以上述级数发散.

17. 例6 判别级数的收敛性 解:

18. 例7 判别级数的收敛性 解:

19. 下面介绍由级数本身的通项表达式进行判别. 为正项级数,且 定理4(比值审敛法) 设

20. 证明:(1)因为ρ<1,可取一个适当的正数ξ,使得 ρ+ξ=r<1.由极限定义,存在自然数m,当n≥m时, 有

21. (2) 设ρ>1,可取一个适当的正数ξ,使得ρ-ξ>1. 根据极限定义,当n≥m时,有 即n≥m时,级数的项逐渐增大,从而 发散 由级数的收敛的必要条件,知

22. (3)当ρ=1时级数可能收敛可能发散. 例如p级数(2),不论p为何值都有 但我们知道,当p>1时级数收敛; p≤1时级数发散, 只有ρ=1时,不能判别级数的收敛性. 定理4又称为达朗贝尔判别法

23. 例8 证明下级数是收敛的,并估计以级数的部分 和Sn代替和S所产生的误差?(取n=6,7) 解:

25. 可见,项数越大,误差越小.

26. 例9 判别级数的收敛性 分析: 根据比值审敛法可知道所给的级数发散.

27. 请判断其敛散性 例9 设给定 先判断是否正项级数 是正项级数. 用比值判别法的极限形式判断 不能断定,用比值法

28. 由于 是单调递增函数.所以xn<e 级数发散 级数通项有阶乘形式的一般采用比值判别法,对于有 次数项的用下面的判别法

29. 定理5 (根值审敛法的极限形式) 设 为正项级数,且

30. 例10 证明级数收敛,并估计以部分和Sn近似代替和S所 产生的误差 分析: 级数收敛

31. 其误差为

32. 例11 判定级数 的收敛性 解:因为 根据根值审敛法知道它收敛 把所给正项级数与P-级数作比较,可得在 实用上比较方便的极限审敛法

33. 为正项级数 定理6(极限审敛法) 设

34. 例12 判定级数 的收敛性. 分析:因为 级数收敛

35. 例13 判定级数 的收敛性 分析: 由极限审敛法知道该级数收敛.

36. 二 交 错 级 数 审 敛 法 定义1 正负项相间的数值级数,称为交错级数,可写成 其中un>0(n=1,2,....) 定义2 如果交错级数(1)通项的un单调递减趋于零, 即un≥un+1(n∈N) 则称 (1)为莱布尼兹型级数

37. 定理7 莱布尼兹型级数必收敛 证明: 先证部分和数列的偶数子列{S2n}收敛,由条件知 u1 - u2≥0, u3 - u4≥0,...... u2n-1 - u2n≥0 故S2n - S2(n-1)=u2n-1 - u2n≥0 从而{S2n}单调增加,又S2n+1=u1 - (u2 - u3) - .... - (u2n - u2n+1)≤u1 所以{S2n}有上界,根据定理,它收敛. 同时

38. 推论1 莱布尼兹型级数之和S非负且不大于第一项, 即有0≤S≤a1 推论2 莱布尼兹型级数余项 的绝对值不大于原级数以n+1项的绝对值,即 这两个推论给出了莱布尼兹型级数之和和余项的近似估计 要un→0,(n→∞)这一条件,我们可用求极限的方法来处理.

39. 对于另一条件un≥un+1通常有三种方法: (1)比值法,看un+1/un是否小于1. (2)un - un+1是否大于0. (3)由un找出一个连续可导函数f(x),使un=f(x), n=1,2,…) 考察 f ‘(x)是否小于0.

40. 收敛 例8 试证莱布尼兹型级数 证明: 是莱布尼兹型级数,它收敛

41. 例9 判别级数 的收敛性;余项误差小于10-5 应该取多少项 分析: 所以它是莱布尼兹型级数

42. 三 绝 对 收 敛 审 敛 法 定义3 如果数值级数各项可任取正负号,则称该级数为任 意项级数(或变号级数).任意项级数各项的绝对值构成的级 数称为绝对值级数． 定理8(绝对收敛审敛法) 设绝对值级数 收敛, 则原级数 必收敛

43. 证明

44. 定义4 如果对于变号级数 当 收敛时,则称原变号级数绝对收敛; 收敛而 发散,则称 若 条件收敛. 定理8告诉我们 (1)判别变号级数 的收敛性,可先用正 项级数审敛法,去判别其绝对值级数的收敛性.当绝对值 级数收敛时,由定理8可知,原级数必收敛且绝对收敛;如 果绝对值级数发散时,原级数可能是条件收敛.

45. 但其绝对值级数 莱布尼兹型级数 是收敛的, 是发散的所以莱布尼兹型级数是条件收敛的.由此绝对 值级数发散得不到原级数发散的结论. (2)如果使用的比值(或根值)审敛法,判断绝对值级数是 发散的那么,和它对应的原级数一定发散,因为用这两种 方法推断绝对值级数发散的理由是un≠0.

46. (3).判别任意项级数的收敛性,要进一步讨论绝对收敛和 (3).判别任意项级数的收敛性,要进一步讨论绝对收敛和 条件收敛 定理9 绝对收敛级数经过改变项的位置后构成的级数也 收敛,且与原级数有相同的和(即绝对收敛级数具有可交 换性) 在给出绝对收敛级数的另一性质以前,我们先讨论级数 的乘法运算

47. 设级数Σun和Σvn都收敛,仿照有限项之和相乘的规则,设级数Σun和Σvn都收敛,仿照有限项之和相乘的规则, 作出这两个级数的项所有可能的乘积ui vk (I,k=1,2…),这 些乘积就是

48. 这些乘积可以有很多的方式把它们排列成一 个级数.例如可按:“对角线法’’或按“正方形法” 排列

50. 对角线法: u1v1; u1v2 u2v1; u1v3,u2v2,u3v1;….. 正方形法: u1v1; u1v2,u2v2,u2v1; u1v3,u2v3,u3v3, u3v1,u3v2; …. 把上面排列好的数列用加号相连,就组成无穷级数, 我们称按“对角线法“排列所组成的级数 (u1v1)+ ( u1v2 u2v1)+( u1v3,u2v2,u3v1)+….为两级数Σun和Σvn 的柯西乘积