Презентацията, която ще видите е изработена

1. Презентацията, която ще видите е изработена

2. Click here!.. Графика на функции и уравнения

3. СЪДЪРЖАНИЕ Функция (определение) Линейна функция Квадратна функция Функция y=k/x Графично решаване на уравнения

4. Функция Под функция се разбира съпоставяне на елементи от дадено множество на елементи от друго множество (не непременно различно от първото) така, че на всеки елемент от първото множество да е съпоставен точно един елемент от второто множество. Функциите са обект на изследване в много дялове на математиката и служат при дефинирането на други математически обекти. В зависимост от важните за конкретното приложение свойства и необходимата точност дадена функция може да бъде посочена чрез формула, чрез графика, чрез алгоритъм, чрез описание на свойствата ѝ или чрез описание на връзката ѝ с други функции.

5. Линейна функция Линейна функция се задава с формулата y = kx+b, където k - е тангенс на ъгъла, под който правата пресича абсцисната ос  и се нарича ъглов коефициент.

6. b - ордината на точката на пресичане на правата с ординатната ос.

7. Да построим  графиката на функцията  y = 2x+1.Както е известно, за построение на права са ни достатъчни две точки:

8. Ще  разгледаме три особени случая на линейна функция от вида y = kx+b При k = 0 - графиката на функцията е успоредна на абцисната ос При  b = 0 - графиката преминава през началото на координатната система При y = 0 , то kx + b = 0  откъдето  x =  - (b/k) - графиката на функцията е успоредна на ординатната ос

9. Квадратна функция Квадратна функция в математиката е функция от вида f(x) = ax2 + bx + c, където a ≠ 0, b, c са произволни реални числа.

10. Графиката на такава функция с реални коефициенти е парабола, която пресича абцисната ос в точки с координати A(x1,0) и B(x2,0), когато дискриминантата D = b2 − 4ac наквадратното уравнение f(x) = 0 е положителна. Числата x1 и x2 са корени на това уравнение и могат да се намерят по формулата:

11. При построяването на графиката на квадратната функция у = ах2 + bх + с първо намираме върха на параболата ,а после намираме и пресечните точки на функцията с оста Ох като намерим корените на уравнението ах2 + bх + с=0

12. D > 0 ( 2 различни корена ) у < 0 при х є ( х1; х2) у > 0 при х є ( -∞; х1) υ ( х2; +∞) у < 0 при х є ( -∞; х1 ) υ ( х2; +∞ ) у > 0 при х є ( х1; х2 )

13. 10 0 9 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 8 -2 7 -3 6 -4 5 -5 4 -6 3 -7 2 -8 1 -9 0 -10 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 D = 0 ( един корен Х0) у < 0 няма корени у > 0 при х є ( ­∞; х0 ) υ ( х0; +∞) у < 0 при х є ( -∞; х0) υ ( х0; +∞ ) у > 0 няма решение

14. D < 0 ( няма корени ) у < 0 при всяко х є R у > 0 няма решение у < 0 няма решение у > 0 при всяко х є R

15. Функция у = k / х Функция от вида у = k/х, където k ≠ 0се нарича обратно пропорционална. Графиката на тази функция представлявахипербола.

16. Графично решаване на уравнения Графичният метод е полезен при решаване на задачи, в които се изисква да се определи броят на корените на даденото уравнение и приблизителната им стойност.

17. Метод за решение Примери на задачи с теоретичен характер...

18. Нека у = f(х) = ах2 + bх + с, където а, b, с са числа, а ≠ 0. Да означим корените на квадратния тричлен с х1 и х2, а дискриминантата – с D, D = b2 – 4ас и х1,2 = - b/2а ± D/ 2а. Всички разсъждения ще правим, предполагайки, че а > 0. Ако а < 0, то тези разсъждения се правят аналогично.

19. При какви условия двата корена на квадратното уравнение ах2 + bх + с = 0са по-големи от някакво дадено числоm? За да формулираме необходимите условия, ще начертаем графикатана функцията у = f(х), удовлетворяващитова условие. Първо, тя пресича абцисната ос или се допира до нея D ≥ 0 – уравнението има корени; Второ,f(m) > 0, Трето, тъй като квадратния тричлен, графиката на който е изобразена на чертежа с пунктир, също притежава тези свойства, то трябва да покажем, че условието на задачата се удовлетворява от парабола, абцисата на която лежи по-надясно от точка m, т.е. b/2а > m. По този начин намираме необходимото условие: двата корена са по-големи от m в само в случай, че: D ≥ 0, f(m) > 0, – b/2а > m.

20. При какви условия корените на квадратното уравнениеах2 + bх + с = 0лежат от различни страни на числотоm? Графиката на функцията у = ах2 + bх + с , приа > 0е изобразена на чертежа: Получаваме неравенството f(m) < 0,необходимото условие е тъждествено на системата:D > 0 f(m) < 0

21. Задачи

22. а2 + а + а > 0 а(а + 2)>0 -1/2 > а < = > а <-1/2 -2 -1/2 0 1/4 1-4а > 0 а<1/4 За кои стойности на параметъра а, корените на уравнението х2+х+а=0 са реални, различни, по-големи от а? Акоf(а) > 0, х0 > а и D > 0, къдетоf(х) = х2 + х + а, то двата корена са реални, различни и двата по-големи от а. Ще запишем тези условия със система неравенства: Всяко а є (-∞; -2) е решение на задачата.

23. Намерете при какви стойности на параметъра m единият корен на квадратното уравнение x2+mx+6=0 се намира в интервала (1;2), а другият е по-голям от 2. Графиката на квадратната функция у=x2+mx+6 е парабола, насочена нагоре, тъй като коефициентът пред x2е положителен. Тя трябва да пресича оста Ох в точките от интервалите (1;2) и (2;), т.е. да изглежда така: Това ще бъде изпълнено, ако у(1)>0, у(2)<0, т.е. ако 1+m+6>0, 4+2m+6<0. От тези неравенства намираме -7<m<-5, т.е. m(-7,-5)

24. Графично решение на уравнението x2= -x+2 Корени на уравнението са такива x, за които двете страни имат равни стойности. Абцисите на общите точки на графиките на функциите y=x2 и g= -x+2 изпълняват това условие. Чертаем двете графики в една и съща координатна система и намираме общите точки. Техните абциси са решения на уравнението.

25. Да се начертае графиката на функцията Записваме дадената функция във вида Тогава построяването на нейната графика може да се извърши на следните етапи:

26. Построяваме графиката на обратната пропорционалност y=1/x

27. Преместваме тази графика на разстояние 3 единици надясно, успоредно на оста Ох. Получаваме графиката на функцията y=1/(x-3)

28. Така получената графика преместваме на 2 единици нагоре успоредно на оста Oy Получаваме графиката на функцията