Assicurazione Vita e Mercato del Risparmio Gestito

1. Assicurazione Vita e Mercato del Risparmio Gestito Modello APT

2. Ancora sull’arbitraggio:modello APT • Ipotesi statistiche • I rendimenti ottenuti acquistando e vendendo un’attività finanziaria da t a T sono generati da ri = ai + bi f , con E(f) = 0, Var(f) = 1 • Ipotesi finanziarie • Esiste un titolo risk-free che da t a T rende r • Non esistono frizioni e costi di transazione • Non devono esistere possibilità di arbitraggio

3. Rendimenti attesi, volatilità e correlazione • Ipotesi statistiche • I rendimenti ottenuti acquistando e vendendo le attività finanziarie i e j da t a T sono generati da ri = ai + bi f , rj = aj + bj f con E(f) = 0, Var(f) = 1 • Ipotesi finanziarie • Rendimenti attesi: E(ri) = ai, E(rj) = aj • Volatilità: i = bi, j = bj • Covarianza: cov(ri, rj) = bi bj ,correlazione = 1

4. Modello APT a un fattore • Costruisco un portafoglio con due titoli i e j in modo da eliminare la dipendenza da f (un portafoglio immunizzato da variazioni di f) • Operativamente: scelgo wi = bj /(bj - bi) • L’assunzione di non-arbitraggio implica wi ri + (1- wi ) rj = r…da cui …(ai - r)/ bi = (aj - r)/ bj =  per ogni i e j

5. Il premio per il rischio • Per ogni attività finanziaria i deve risultare E(ri ) = ai = r+ bi  = r+i  E(Rendimento) = risk-free + risk-premium • Risk premium = i  dove i : rischio del titolo i-esimo  : prezzo di mercato del rischio • N.B. Il prezzo di mercato del rischio deve essere lo stesso per tutti i prodotti finanziari

6. APT: esempi • Il rendimento atteso del MIB30 è 4%, il rendimento del titolo privo di rischio è 2.5% ed il prezzo di mercato del rischio è 6%. • Ricaviamo la volatilità del MIB30 come (0.04 – 0.025)/0.06 = 0.25 = 25% • Una posizione sul MIB30 con  = 0.5 avrà rendimento atteso pari a E(r) = 0.025 + 0.06*0.5*0.25 = 0.0325 = 3.25%

7. Modello APT a N fattori • L’estensione naturale del modello APT consiste nell’assumere che il rendimento di tutti i titoli sia funzione di un numero N di fattori di rischio. • Il modello che genera i rendimenti è

8. Il portafoglio immunizzato • Poiché con un solo fattore di rischio utilizziamo 2 titoli per calcolare il portafoglio immunizzato, è naturale ritenere che con N fattori di rischio siano necessari N + 1 titoli per ottenere portafogli immunizzati agli N fattori di rischio. • Questo portafoglio implica quindi che, per ogni fattore di rischio j,

9. Il principio di non arbitraggio • Per escludere possibilità di arbitraggio il portafoglio immunizzato deve rendere quanto il titolo privo di rischio

10. Il problema in forma di matrice

11. La soluzione • Sappiamo che un sistema lineare omogeneo come quello della precedente slide ha soluzione non banale, cioè non semplicemente wi = 0 per tutti gli i, se e solo se la matrice è a rango ridotto, cioè con determinante uguale a zero. Sappiamo anche che in questo caso ogni riga può essere scritta come combinazione lineare delle altre. In particolare possiamo scrivere

12. Premio per il rischio • L’estensione del modello a N fattori di rischio è quindi immediata. • Il rendimento atteso di ogni attività finanziaria deve essere uguale a • Il rendimento risk-free r • Il premio per il rischio • Il premio per il rischio è il prodotto interno di • Prezzi di mercato dei fattori di rischio • Sensitività di ciascuna attività finanziaria ai fattori di rischio (factor loading) • Si noti che l’esclusione di possibilità di arbitraggio richiede che i prezzi di mercato dei fattori di rischio siano gli stessi per tutte le attività finanziarie.

13. Un’estensione del modello APT • Un’estensione naturale del modello APT consiste nell’assumere che il rendimento di tutti i titoli sia funzione di un numero N di fattori di rischio e di elementi di rischio specifici di ciascuna attività finanziaria

14. Rischio sistematico e specifico • Il modello APT individua un numero finito di fattori di rischio che influenzano tutti i titoli presenti sul mercato ed i portafogli • Il rischio associato a questi fattori è rischio sistematico, o non diversificabile, e a ciascuna di queste fonti di rischio viene associato un premio per il rischio. • Il rischio non associato a questi fattori può essere ridotto diversificando il portafoglio, e non viene “prezzato” dal mercato (rischio idiosincratico)

15. Modello APT: riassunto • Il modello APT descrive le relazioni tra rischio e rendimento di ciascun titolo • Il rischio è ripartito in rischio specifico, o idiosincratico, che è diversificabile, e rischio sistematico, che invece è retribuito • L’esclusione di possibilità di arbitraggio richiede che il rendimento atteso di ogni titolo possa essere scomposto in rendimento privo di rischio (risk-free) e premio per il rischio, e che il premio per il rischio sia il prodotto interno (cioè la somma dei prodotti) dei prezzi di mercato dei fattori di rischio e delle sensitività al rischio. Inoltre, il prezzo di mercato dei fattori di rischio deve essere lo stesso per tutte le attività finanziarie, che invece differiscono tra loro per sensitività diverse ai diversi fattori di rischio

16. Probabilità oggettiva e EMM • Dal modello APT (e CAPM) sappiamo che E(Y(T)/Y(t) – 1) = r + Y • …mentre sotto la misura risk-adjusted EQ(Y(T)/Y(t) – 1) = 1/P(t,T) = r • In un modello binomiale… Y = …con p misura di probabilità oggettiva

17. La relazione tra le misure • Calcolando la differenza tra le misure E(Y(T)/Y(t)) - EQ(Y(T)/Y(t)) = Y E(Y(T)/Y(t)) - EQ(Y(T)/Y(t)) = (p-Q)(Y(H)-Y(L))/Y(t) e dalla volatilità sotto la misura oggettiva… p-Q =  • L’aggiustamento per il rischio è quindi ottenuto cambiando la probabilità oggettiva

18. Informazione storica Probabilità “oggettiva” Il rendimento dei titoli E[ri] = rf + ’i Valutazione del rischio Informazione implicita Probabilità risk-neutral Il rendimento dei titoli E[ri] = rf Valutazione derivati Informazione storica ed implicita

19. Teorema di Girsanov • Per il teorema di Girsanov, dato un processo di Wiener z(t) definito sotto la misura di probabilità P e definito un nuovo processo z*(t) = z(t) + dt è possibile, sotto opportune condizioni di regolarità su , individuare una nuova misura di probabilità, ad es. Q, sotto la quale z*(t) è un processo di Wiener. • Per il teorema di Girsanov, cambiare la misura di probabilità è equivalente a cambiare il drift del processo stocastico

20. Teorema di Girsanov: applicazione • Dal modello APT dY(t)) = (r + )Ydt +  Ydz(t) Se definiamo una misura Q tale che EQ(d(z(t) + dt) = 0 possiamo scrivere dY(t)) = rYdt +  Ydz*(t) con dz*(t) = dz(t) + dt e z*(t) un processo di Wiener sotto la misura di probabilità Q.

21. La probabilità risk-neutral • Sotto la misura di probabilità Q EQ(dY(t)) = rYdt • Inoltre dal lemma di Ito otteniamo EQ(dC(t)) = (C t+ rYCY + ½ 2Y2 CYY)dt • …e dalla fundamental PDE EQ(dC(t)) = rCdt

22. Valutazione risk-neutral C(Y,t) = exp(-r(T-t)) EQ(C(Y,T)) • Anche nel tempo continuo vige la stessa regola di valutazione basata sul principio di martingala. Nell’ipotesi di tasso d’interesse privo di rischio costante la valutazione del contratto derivato avviene calcolando il valore atteso alla scadenza scontato con il tasso risk-free.