M etóda K onečných P rvkov vo výrobných technológiach

1. Metóda Konečných Prvkovvo výrobných technológiach prednáška č. 4

2. Obsah prednášky • Rozšírené matice elementu Vektor kódových čísiel • Zostavenie matice konštrukcie • Výpočet primárnych neznámych a reakcií vo väzbách • Jednorozmerná sústava prútov – príklad riešenia • Dvojrozmerná sústava prútov – príklad riešenia • Izoparametrické prvky Odvodenie matíc izoparametrického prútového prvku • Numerická integrácia

3. Zostavenie sústavy rovníc celej konštrukcie Pri zostavení výslednej sústavy rovníc celej úlohy platí pre celkovú potenciálnu energiu sústavy Minimalizáciou potenciálnej energie vzhľadom na posunutia dostaneme výslednú sústavu algebraických rovníc.

4. Rozšírené matice elementu • Sčítavanie potenciálnej energie prvkov a jej minimalizáciu nahradíme výpočtom matice K a vektora f pomocou rozšírených matíc prvku K* a f*. • Rozmer rozšírenej matice prvku je zhodný s rozmerom celkovej matice sústavy • Ak počet globálnych posunutí uzlov prvkov označíme n, bude rozmer celkovej matice sústavy nxn • Členy rozšírenej matice, ktoré nezodpovedajú globálnym posunutiam vybraného prvku sú nulové

5. Rozšírené matice elementu Príklad pre dvojuzlový prvok Pre prvok s globálnymi číslami uzlov {d,m}(tzv. globálne prvkové číslo) výsledný vektor globálnych posunutí uzlov konštrukcie bude (ndof x nbn) x 1 = nbdof x 1 a = [u1 u2 ... ud ... um ... unbdof] T Potenciálna energia vybraného prvku

6. Rozšírené matice elementu kde rozšírené matice prvku sú

7. Rozšírené matice elementu • Pri tvorbe rozšírených matíc prvkov využívame tzv. vektor kódových čísiel • sú v ňom usporiadané čísla globálnych posunutí uzlových bodov telesa Príklad pre dvojuzlový prvok

8. Zostavenie matice konštrukcie • Matice konštrukcie dostaneme sčítaním rozšírených matíc elementov • Výsledná matica je pásová, symetrická a pozitívne definitná

10. Zostavenie matice konštrukcie • šírka polpásu matice sústavy • M = (R + 1) v • kde R je max. rozdiel čísiel uzlov na prvkoch modelu sústavy • v je počet globálnych stupňov voľnosti uzla prvku • minimalizácia šírky polpásu = minimalizácia R • Zásada: číslovať uzlové body tak, aby rozdiel na prvku (max. a min. číslo uzla) bol minimálny. • Pozn. • vplyv šírky polpásu na rýchlosť riešenia je závislý na použitej metóde riešenia napr. v prípade Gaussovej eliminačnej metódy. U frontálnej metódy má vplyv napr. rozdiel čísiel uzlov susedných prvkov

11. Zostavenie matice konštrukcie Príklad vplyvu číslovania uzlových bodov na šírku polpása matice

12. Zostavenie matice konštrukcie • vzhľadom na symetriu matice sústavy ukladáme iba nenulové členy nad diagonálou a pod tzv. profilom pása matice + diagonálne členy matice K • usporiadavajú sa do poľa pre ušetrenie miesta v pamäti počítača • pásovosť matice možno narušiť nevhodným číslovaním uzlových bodov

13. Zostavenie matice konštrukcie

14. Príklad - jednorozmerná úloha Vypočítajte reakcie a maximálne napätie v prúte.

15. Zostavenie výslednej sústavy rovníc úlohy: Vektor posunutí telesa: a = [u1 u2 u3 u4] T Okrajové podmienky:u1 = u4 = 0 a) Celková potenciálna energia sústavy

16. Minimalizáciou potenciálnej energie vzhľadom na posunutia dostaneme

17. čo v maticovom tvare

18. b) Matice tuhosti elementov sústavy

19. Rozšírené matice tuhosti elementov sústavy:

20. Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie): Pozn.noe označuje počet elementov v sústave

21. Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie):

22. Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie):

23. Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie):

24. Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie): Pozn. Symetria matice vyplýva z Maxwell-Bettiho vety o vzájomnosti posunutí.

25. Výsledná sústava rovníc celejkonštrukcie pre neupevnené teleso: Matica K je singulárna. Po dosadení okrajových podmienok a do vektora uzlových síl

26. Redukovaná sústava rovníc celejkonštrukcie má tvar Výsledné posunutia uzlov 2 a 3

27. Vynechané rovnice pre výpočet reakcií Napätia v elementoch sústavy

28. Príklad - dvojrozmerná prútová sústava Vypočítajte reakcie a sily v prútoch sústavy.

29. matice tuhosti prútov v LSS vektory posunutí uzlov v LSS vektory uzlových síl v LSS

30. rozšírené matice tuhosti prútov v LSS rozšírené vektory posunutí uzlov v LSS rozšírené vektory uzlových síl v LSS

31. Transformácia uzlových posunutí a síl medzi LSS a GSS

32. Pre dvojuzlový prutový element potom Podobne sú transformované uzlové sily

33. Matice prúta v 2-D priestore rovnovážne rovnice v LSS rozšírené rovnice v LSS * Ke je globálna symetrická matica 4x4

34. transformácia matíc do GSS Prút 1: vektor globálnych posunutí uzlov prvku vektor globálnych uzlových síl transformačná matica

35. globálna matica tuhosti prvku rozšírená matica tuhosti prvku

36. transformácia matíc do GSS Prút 2: vektor globálnych posunutí uzlov prvku vektor globálnych uzlových síl transformačná matica

37. globálna matica tuhosti prvku rozšírená matica tuhosti prvku

38. transformácia matíc do GSS Prút 3: vektor globálnych posunutí uzlov prvku vektor globálnych uzlových síl transformačná matica

39. globálna matica tuhosti prvku rozšírená matica tuhosti prvku

40. globálny vektor posunutí konštrukcie globálny vektor uzlových síl konštrukcie

41. vzhľadom na okrajové podmienky Pozn. multipoint constraint podobne pre sily

42. Celková globálna matica tuhosti konštrukcie

43. Výpočet primárnych neznámych a reakcií vo väzbách Výslednú sústavu rovníc celejkonštrukcie upravíme do tvaru kde: aa sú neznáme zložky uzlových posunutí ab sú známe zložky uzlových posunutí fa sú známe (zaťažujúce) sily v uzloch fb sú neznáme reakcie vo väzbách

44. Potom neznáme uzlové posunutiaaa vypočítame z rovníc a neznáme reakcie fb Úloha sa výrazne zjednoduší ak ab = 0 t.j. v uzloch sú tuhé upevnenia

45. Izoparametrické prvky • Dôvody zavedenia a používania izoparametrických elementov: • modelovanie zložitých telies so zakriveným povrchom, • problémy s integráciou cez objem a povrch zložitých telies • Princíp IE: • využívajú vlastnosti a možnosti transformácie bodov oblasti (objemu) na iný jednoduchší (normalizovaný) tvar, • objemová, resp. plošná integrácia sa potom vykonáva na tejto normalizovanej tzv. jednotkovej oblasti, • transformácia musí byť pritom jednojednoznačná (každému bodu pôvodnej oblasti jednoznačne prislúcha jeden bod normalizovanej oblasti a naopak).

47. Izoparametrické prvky Pre transformáciu súradníc ľubovolného bodu platí teda kde Ni() sú tvarové funkcie vyjadrené v prirodzených súradniciach

48. Izoparametrické prvky ktoré musia spĺňať okrajové podmienky Ak  = 1 x() = x3  = 1 y() = y3  = 0 x() = x9  = 0 y() = y9 : : atď....

49. Izoparametrické prvky Izoparametrický prútový prvok pre ľubovolný bod prvku

50. Izoparametrické prvky pre posunutia uzlových bodov potom posunutie ľubovolného bodu prvku