Furiosos se gritaban improperios y se deseaban desgracias:

3. Históricamente, el problema de la herencia de los camellos está en un documento egipcio antiguo, el papyrus de Ahmes. El problema fue generalizado por el matemático italiano, Leonardo de Pisa (1175?-1250?), también conocido como Fibonacci. Vamos a adaptar el texto a nuestro Valle.

4. En el Valle de Valverde ocurrió una historia digna de ser contada, para la cual debes intentar hallar solución. Encontramos a tres hermanos (Vistrebundo, Sisebuto y Eufrasia) que discutían acaloradamente al lado de un grupo de 17 vacas. Furiosos se gritaban improperios y se deseaban desgracias: ¡No puede ser! ¡Esto es un robo!¡No acepto!

5. Sepamos de qué se trataba: -Somos hermanos –dijo Vistremundo- y recibimos, como herencia, esas 17 vacas. Según la expresa la voluntad de Donaciano, nuestro padre, a mi me corresponde la mitad ya que soy el mayor, mi hermano Sisebuto una tercera parte, y Eufrasia, la más joven, una novena parte. No sabemos cómo dividir de esa manera las 17 vacas.

6. Busca y razona el motivo por el que no se puede hacer el reparto sin sacrificar ningún animal. ¿Se te ocurre alguna idea para solucionar el caso? En caso de no llegar a una solución individualmente, puedes hacerlo en grupo con tus compañeros. A lo largo de la unidad os iré dando pistas si es necesario.

8. Comprender y utilizar los distintos conceptos de fracción. Reconocer y calcular fracciones equivalentes Aplicar la equivalencia de fracciones para facilitar los distintos procesos matemáticos Operar con fracciones. Resolver problemas con números fraccionarios. Identificar, clasificar y relacionar los números racionales y los decimales. Calcular potencias de exponente entero. Utilizar las potencias de base diez para expresar números muy grandes o muy pequeños. Reducir expresiones numéricas o algebraicas con potencias.

9. Conceptos Una fracción es una división indicada Consta de dos partes: Denominador: son las partes en las que dividimos la unidad. Numerador: son las partes que tomamos de la unidad Partes en que hemos dividido a la unidad… 8 Partes que tomamos… 5 Numerador Raya de la fracción Denominador

10. Conceptos Fracción propia: La que tiene el numerador menor que el denominador. - Representación en la recta racional 1/4 3/4 -1 1 0 2/4

11. Conceptos Fracción propia: La que tiene el numerador menor que el denominador. - Representación en la recta racional 1/3 2/3 -1 1 0

12. Conceptos Fracción propia: La que tiene el numerador menor que el denominador. - Representación en la recta racional -3/5 -1/5 -1 -4/5 -2/5 1 0

13. Conceptos Fracción impropia: es la que tiene el numerador mayor que el denominador ¿Cómo? No es posible, necesitamos otra unidad Y cogemos cinco Dividimos la unidad en tres partes… Por tanto una fracción impropia la podríamos descomponer en dos partes, una entera y una fraccionaria.En este caso una unidad más 2/3 Representa en tu cuaderno las siguientes fracciones: 2/5, 6/5, 9/4, 2/4 y 8/3 = +

14. Conceptos Una Fracción es una división indicada. La mayor parte de las veces puedes deducir mentalmente lo que vale la fracción. (Si es menor o mayor que uno, mayor que dos o tres o…) Vamos a decir mentalmente el valor que tienen las siguientes fracciones: 2/3 , 7/5 , 1/4 , 6/2 , 8/3 , 25/4 , 3/2 Entre 0 y 1 Entre 1 y 2 Entre 0 y 1 Entre 2 y 3 Entre 6 y 7 Entre 1 y 2 3

15. Conceptos Fracción impropia: es la que tiene el numerador mayor que el denominador ¿Cómo? No es posible, necesitamos otra unidad Y cogemos cinco Dividimos la unidad en tres partes… Por tanto una fracción impropia la podríamos descomponer en dos partes, una entera y una fraccionaria.En este caso una unidad más 2/3 Representa en tu cuaderno las siguientes fracciones: 2/5, 6/5, 9/4, 2/4 y 8/3 = +

16. Conceptos Calcula los 2/3 de 180 Supongamos que esta es la unidad 60 Dividimos la unidad en tres partes. 180 60 120 Cada parte tendrá 60 60 Como son dos partes: 120 NOTA: Para hacer la fracción de un número, se divide el número por el denominador y al resultado lo multiplicamos por el numerador Ejercicio: Calcula en tu cuaderno el valor de los 3/7 de 63, 2/5 de 70 y 6/3 de 24

17. Conceptos Dos fracciones son equivalentes cuando su representación gráfica coincide. (tienen el mismo valor)

18. Conceptos También decimos que dos fracciones son equivalentes cuando es igual su producto cruzado. 8 x 3 = 24 EXTREMOS 6 x 4 = 24 MEDIOS De siempre se ha llamado a esta particularidad PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES Y se define como el producto de medios es igual al producto de extremos

19. Conceptos Hemos dicho que dos fracciones son equivalentes si el producto de medios es igual al producto de extremos. Pero vamos a utilizar una estrategia para encontrar rápidamente fracciones equivalentes a una dada: FÍJATE Para hacer fracciones equivalentes, basta con multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número.

20. Conceptos La mayor parte de las veces es preferible trabajar con números pequeños, sobre todo si tenemos en cuenta que las fracciones tienen el mismo valor. Para simplificar fracciones se dividen el numerador y el denominador por el mismo número tantas veces como sea posible hasta que ambos sean primos entre si. La forma más sencilla de hacerlo es buscar el m.c. d. de ambos y dividir por él. Veamos cómo se hace Descomposición Factorial Factorización Definición m.c.d.=22.3 = 12 24 =23.3 24 60 3 2 Fracción Irreducible 12 2 20 5 60=22.3.5 6 2 4 2 24 =2.2.2.3 X X X 3 3 2 2 60=2.2.3.5 X X X 1 1

21. onceptos Para comparar fracciones, la mayor parte de las veces, necesitamos que las partes sean iguales… El procedimiento más rápido para hacer que las partes sean iguales es el mínimo común múltiplo de los denominadores. Veamos en la diapositiva siguiente cómo lo hacemos.

22. onceptos Compara ahora las fracciones:¿Fácil, no? 4 5 1 Descomponemos factorialmente los denominadores: Colocamos el m.c.m. como denominador Fracciones equivalentes Al Nume rador También Por 4 Al Nume rador También Por 3 Al Nume rador También Por 9 12 4 9 ¿Por cuánto he multiplicado al 4 para que de 36? ¿Por cuánto he multiplicado al 9 para que de 36? } Ayúdate de esta tabla para encontrar los numeradores ¿Por cuánto he multiplicado al 12 para que de 36? 4 = 22 m.c.m. = 22.32 m.c.m. = 36 9 = 32 12 = 22. 3 Por 9 16 15 Por 9 9 Por 4 < < 36 36 36 Por 3

23. Conceptos Para sumar o restar fracciones es condición indispensable que tengan igual denominador (las partes han de ser iguales) Reducimos a común denominador por el m.c.m. y hacemos las fracciones equivalentes utilizando el procedimiento de la diapositiva anterior 9 = 32 3 7 1 4 12 = 22 .3 - m.c.m = 22 . 32. 5 = 180 + + 18 = 22 . 32 18 15 9 12 18 = 3. 5 2 2 3 3 5 67 Denom 1 3 20 80 + 45 – 70 + 12 137 – 70 70 3 80 45 12 = = - Denom 2 15 = + + 180 Denom 3 10 180 180 180 180 180 180 Denom 4 12 denominadores

24. Conceptos Una fracción de otra es el producto de ambas Reducimos Por 12 3 3 4 4 12 1 de . = = = 108 9 9 12 9 12 Se multiplican los numeradores y los denominadores Fracción de un número 3 3 . 72 72 48 16 16 de = = 4 4 72 Esto es una fracción que tiene denominador 1 16 16

25. Conceptos Fracción inversa 3 Es la que se obtiene si volteamos sus términos 12 Para dividir fracciones multiplicamos al dividendo por la inversa del divisor Reducimos Por 3 3 4 3 4 48 16 : = . = 9 9 12 9 12 27 Reducimos Por 3 Para ahorrar tiempo puedes dividir multiplicando en cruz 3 48 4 16 : 9 9 12 27

26. Consideraciones En tal caso, felicidades, te voy a valorar el hallazgo, pero no te conformes con ello. Intenta resolverlo matemáticamente A veces un dibujo soluciona el problema, como suele suceder en estos ejercicios de fracciones… A la hora de “atacar” un problema, debes tener en cuenta el siguiente esquema: Incógnitas ¿Qué me pide? Igual número de ecuaciones que de incógnitas y cuantas menos mejor. Si puedes, juega con objetos que te simulen la situación del problema, dibuja, experimenta,… Lee detenidamente el enunciado y trata de ponerte e la “situación” que se plantea Cuando ya lo tengas todo claro, puedes contestar a estas dos preguntas: ecuaciones ¿Qué se yo? PLANTEO COMPROBACIÓN(EN EL ENUNCIADO) SOLUCIONES RESOLUCIÓN

27. He gastado 2/5 de mi dinero en un bocadillo y aún me quedan 3,6 euros. ¿Cuánto dinero tenía al principio? Vamos a representar… ¿Lo has leído bien? ¿Podemos comenzar? Luego estas tres partes son 3,6 euros… O sea que cada una son 1,2 € y las cinco juntas 6 € Las cinco partes El bocadillo (2/5) El dinero que tenía 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 TENIA 6 € AL PRINCIPIO

28. He gastado 2/5 de mi dinero en un bocadillo y aún me quedan 3,6 euros. ¿Cuánto dinero tenía al principio? En el enunciado 3/5 de x son 3,6 euros La unidad tiene 5/5 El bocadillo eran los 2/5 Luego nos quedan los 3/5 Los 3/5 son 3,6 euros 3 3,6 x = 5 Pasemos esto a una ecuación 3x = 3,6 ; 3x = 3,6 . 5 ; 5 ¿Dónde? Debemos comprobar 18/3 ; x = 6 x 3x = 18 ; =

29. Este crucero tiene 1/3 de su altura por debajo de la línea de flotación. 10,5 m. 1/5 hasta la línea roja 22,5 m. Y el resto, hasta el extremo de su antena, son diez metros y medio. 1 5 Calcula la altura total del crucero. 1 1 1 8 5 3 + + 3 = = 3 5 15 15 15 SOLUCIÓN: El crucero mide 22,5 metros de alto Representamos La parte desconocida son 8/15 Esos 7/15 miden 10,5 metros Reducimos a común denominador La unidad son 15/15 La parte conocida son 7/15 Por tanto 1/15 mide 1,5 metros Y los 15/15 medirán 22,5 metros

30. Este crucero tiene 1/3 de su altura por debajo de la línea de flotación. 10,5 m. En el enunciado 1/5 hasta la línea roja Y el resto, hasta el extremo de su antena, son diez metros y medio. x 1x 5 Calcula la altura total del crucero. 1x Llamamos x a la altura total del crucero Multiplicamos por el denominador 15 CADA SUMANDO 3 TRANSPOSICIÓN de términos 1x 1x 3x 8x 5x SOLUCIÓN: El crucero mide 22,5 metros de alto + = + = ¿Dónde? 3 5 15 15 15 Debemos comprobar 8x + 10,5 = x ; 8x 157,5 = 15x ; 157,5 = 15x - 8x + ; 15 x 157,5/7 = x ; 157,5 = 7x ; 22,5 =

31. He gastado1/5 de mi dinero en comida. 3/4 de lo que me quedaba en un libro. Mi dinero Aún me sobran 2 €. ¿Cuánto dinero tenía al principio? TOTAL 2 2 2 2 2 Veamos con una ecuación 10 Euros

32. He gastado1/5 de mi dinero en comida. 2 euros 3/4 de lo que me quedaba en un libro. En el enunciado Mi dinero Aún me sobran 2 €. Realizamos el producto indicado ¿Cuánto dinero tenía al principio? x 1x 3 4x Multiplicamos por el m.c.m. 20 CADA SUMANDO ; 2 = x + + 4x 1x 3 5 4 5 5 5 4 1x 12x SOLUCIÓN: El dinero que tenía al principio eran 10 € 2 ; = x + + ¿Dónde? 5 20 12x 16x 40 4x + 40 = 20x ; 40 = 20x ; 20x - 16x + + = Debemos comprobar 10 = x; 40 = 4x; 40/4 = x;

33. Conceptos El número decimal es el resultado de realizar la división indicada en una fracción Al realizar una división podemos obtener tantos restos diferentes como indique el divisor (como máximo) Si no obtenemos ningún resto cero entonces han de repetirse tanto el resto como el cociente. Veamos esto con ejemplos:

34. Conceptos Decimal exacto 6/4 6:4=1,5 Número entero 6/3 6:3=2 puro 2,6 8/3 8:3=2,66… Decimal periódico La parte periódica comienza con la primera cifra decimal Número decimal mixto 1,43 43/30 43:30=1,4333… La parte decimal tiene una parte no periódica y otra periódica

35. 2,35 235/100 = f; 2,35 = f; 235 = 100f; Reduce 1,35 135,35 = 100f 1,35 = f Restamos 134 = 99f; 112 = 99f; 134/99 =f; Se pone la parte entera seguida de la parte periódica, se le resta la parte entera y se divide por tantos nueves como tenga el periodo Reduce

36. 1,12362 1,12362 = f; 112,362 = 100f; 112362,362 = 100000f Se pone la parte entera seguida de la parte no periódica y la periódica se le resta la parte entera seguida de la periódica y se divide por tantos nueves como tenga el periodo seguidos de tantos ceros como tenga el no periodo. Colocamos para restar 112350 = 99900f; 112350/99900 = f; Reduce restamos

37. Ejercicios básicos de fracciones con hotpotatoes Decimales, fracciones y porcentajes Teoría: unidades, ejercicios para realizar en tu cuaderno. DESCARTES Para aprender, trabajar y ejercitarse http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/fracciones/index.htm Ejercicios para trabajar con la PDI La fracción de un número Fraccionador Fraciones como decimal y porcentaje

38. Se evaluarán los siguientes aspectos: La actitud y trabajo en el aula: Atiendes, participas, intervienes individualmente o en equipo, … 10% • El trabajo personal en casa: realizas los deberes, haces tus trabajos, … 10% • Las anotaciones de aula a lo largo del tema: por hacer bien los ejercicios en la pizarra o el ordenador, contestar bien a la teoría, ayudar a un compañero, ... 10% • El cuaderno de trabajo: contiene los ejercicios propuestos tanto en clase como en casa, está bien presentado,… 10% • Los ejercicios enviados al profesor en formato informático por correo electrónico o si están en tu carpeta de trabajo. 10% • La prueba de evaluación específica de la unidad (puede ser en formato informático y/o papel) 50%

39. Pasaba por allí Ángel, el padre de Leticia. Y llegó Toño, el herrero de Friera Los dos comentaron lo siguiente:

40. -Ángel: Llevo en el camión una vaca, ayúdame a bajarla y se la doy para que hagan el reparto. -Toño:¿vas a regalarle una vaca? • Ángel:Tú no te preocupes. Cuando repartan todos los animales, subiremos mi vaca en el camión y habremos solucionado su problema. ¿Podrán hacer de este modo el reparto? ¿Cumplirán los hermanos los deseos de su padre? Razona la nueva situación.