Le mod

1. Le mod�le de la covariance (ou mod�le � effets fixes) Rappel sur la r�gression partag�e Op�rateurs BETWEEN et WITHIN Sp�cification du mod�le � effets individuels L�estimateur LSDV Tests Mod�le avec effets temporels Mod�le avec effets individuels et temporels

3. Rappel sur la r�gression partag�e (2) Alors on d�montre (th�or�me Frisch-Waugh), � l�aide des �quations normales, que : Remarque : est �quivalent � l�estimateur des MCO sur le mod�le transform� par M1 :

4. Op�rateurs between et within (1) Op�rateur between : Soit : Op�rateur : Lorsqu�il est appliqu� � une variable, BN permet de calculer les moyennes par individu de cette variable. Cet op�rateur est donc appel� � op�rateur interindividuel � ou � op�rateur between �.

5. Op�rateurs between et within (2) Op�rateur within : Op�rateur : Lorsqu�il est appliqu� � une variable, WN permet de calculer les �carts de chaque observation aux moyennes individuelles. Cet op�rateur est donc appel� � op�rateur intraindividuel � ou � op�rateur within �.

6. Sp�cification du mod�le � effets individuels (1) Pour chaque individu i et chaque p�riode t : Pour chaque individu i : En regroupant tous les individus :

7. Sp�cification du mod�le � effets individuels (2) Pour compl�ter le mod�le, on admet : La matrice des variables explicatives est de rang complet : Les erreurs :

8. L�estimateur LSDV (1) Le mod�le est un mod�le de r�gression en forme partag�e. On peut donc appliquer le th�or�me FW: Forme de l�estimateur de l�effet individuel : L�estimateur de l�effet individuel est donc �gal � la moyenne des r�sidus du i �me groupe.

9. L�estimateur LSDV (2) Les r�sultats s�obtiennent �galement en appliquant les MCO sur le mod�le transform� par WN : Utilit� pratique du mod�le transform� : Le mod�le � global � implique l�inversion d�une matrice (N + K, N + K) Le mod�le transform� ne n�cessite que l�inversion d�une matrice (K, K) Attention : la transformation n�est pas non-singuli�re, on perd N ddl (ddl = NT � N � K)

10. Tests (1) : test d��galit� des coefficients individuels On veut savoir si les effets fixes sont diff�rents d�une �quation � l�autre : Proc�dure de test : Proc�dure de Chow Comparaison mod�le contraint/mod�le non-contraint Le mod�le contraint est le mod�le I (r�gression ordinaire).

11. Tests (2) : H�t�rosc�dasticit� et autocorr�lation H�t�rosc�dasticit� : Arellano (1987) a montr� qu�on pouvait, de fa�on similaire � White (1980), estimer de fa�on robuste � une h�t�rosc�dasticit� de forme inconnue la variance de l�estimateur intra-individuel. On peut aussi effectuer les tests de White (1980) ou de Breusch-Pagan. Autocorr�lation : S�il y a autocorr�lation des erreurs : Une extension du test de Durbin-Watson a �t� propos�e au cadre du mod�le � effets fixes � partir des r�sidus estim�s du mod�le intra-individuel.

12. Le mod�le avec effets temporels (1) Pour chaque individu i et chaque p�riode t : Pour chaque individu i : En regroupant tous les individus :

13. Le mod�le avec effets temporels (2) On d�finit les op�rateurs inter- et intratemporels : L�estimateur LSDV de b est : Cet estimateur s�obtient comme l�estimateur des MCO sur le mod�le transform� :

14. Le mod�le avec effets individuels et temporels (1) Il s��crit : Cependant, les param�tres a et l ne sont pas tous identifiables car la matrice [D N D T] n�est pas de rang complet (multicolin�arit�) Pour des raisons de sym�trie, on propose : d�inclure N - 1 variables muettes individuelles d�inclure T � 1 variables muettes temporelles d�ajouter un terme constant global

15. Le mod�le avec effets individuels et temporels (2) Le mod�le s��crit alors : L�estimateur de g s�obtient comme l�estimateur des MCO sur le mod�le transform� :

16. Le mod�le avec effets individuels et temporels (3) Diff�rents tests possibles : Test joint sur les effets individuels et temporels : Test sur les effets individuels seulement : Test sur les effets temporels seulement :

17. Le mod�le � erreurs compos�es (ou mod�le � effets al�atoires) Sp�cification du mod�le avec effets individuels D�composition spectrale de la matrice de variances-covariances Quelques estimateurs et leurs propri�t�s Tests de sp�cification Le mod�le � effets individuels corr�l�s Le mod�le avec effets individuels et temporels

18. Sp�cification (1) Pour chaque individu i et chaque p�riode t : u i = effet individuel rendant compte de l�influence sur y des variables non prises en compte, si elles sont stables dans le temps. W it = effet r�siduel repr�sentant l�influence des autres variables omises, variant selon les individus et variant dans le temps. Hypoth�ses :

19. Sp�cification (2) Les propri�t�s suivantes sur les erreurs sont donc v�rifi�es : Interpr�tation : Autocorr�lation temporelle �individu par individu�, constante quel que soit le nombre de p�riodes s�parant deux perturbations Pas de corr�lations entre les individus

20. Sp�cification (3) Si on empile les observations pour l�individu i :

21. Sp�cification (4) Si on empile les N individus :

22. D�composition spectrale de la matrice des variances-covariances (1) On d�montre que : V appara�t comme la combinaison lin�aire des matrices between et within. Les quantit�s et sont les valeurs propres de cette matrice (resp. de multiplicit� N et NT � N).

23. D�composition spectrale de la matrice des variances-covariances (2) Remarque 1 : il est facile de montrer que : Remarque 2 : soit Alors F est la matrice permettant d�effectuer une transformation qui ram�ne au MCO car :

24. Quelques estimateurs (1) : l�estimateur des MCO Le mod�le : L�estimateur des MCO : Estimateur centr�, convergent en probabilit� (pour N et T ?8) mais non efficient.

25. Quelques estimateurs (2) : l�estimateur Between Il s�agit de l�estimateur des MCO appliqu� au mod�le sur les moyennes individuelles : Il correspond � l�estimateur appliqu� au mod�le transform� par B N :

26. Quelques estimateurs (2) : l�estimateur Between Cette m�thode n�utilise que la variance interindividuelle des individus privil�giant les diff�rences permanentes entre individus. Estimateur sans biais et convergent (pour N et T ?8 ou N ?8 et T fix�).

27. Quelques estimateurs (3) : l�estimateur Within Il s�agit de l�estimateur des MCO appliqu� au mod�le sur les moyennes individuelles : Il correspond � l�estimateur appliqu� au mod�le transform� par W N :

28. Quelques estimateurs (2) : l�estimateur Within Cette m�thode n�utilise que la variance intraindividuelle des individus, excluant toute variabilit� attribuable aux diff�rences permanentes entre individus. Estimateur sans biais et convergent (pour N et T ?8 ou N ?8 et T fix�). En outre, il est asymptotiquement efficient.

29. Quelques estimateurs (4) : l�estimateur des MCG purs L�estimateur des MCG purs est d�fini par : Compte tenu de la d�finition de V, cet estimateur se r��crit comme :

30. Quelques estimateurs (4) : l�estimateur des MCG purs Cet estimateur combine donc les variabilit�s inter- et intraindividuelles dans une proportion particuli�re. Il s�interpr�te ainsi comme la combinaison optimale des deux composantes. Il est l��quivalent � l�estimateur des MCO du mod�le o� les donn�es sont transform�es par F (transformation quasi-d�viation � la moyenne). Cet estimateur est sans biais, convergent (pour N et T ?8 ou N ?8 et T fix�) et efficient.

31. Quelques estimateurs (5) : l�estimateur des MCGR Comme la valeur de q est inconnue, il faut l�estimer de fa�on convergente. Swamy et Arora (1972) ont propos� d�utiliser les variances estim�es des r�sidus des r�gressions intra- et interindividuelles. Un estimateur centr� de est donn� par : o� sont les r�sidus de la r�gression intra.

32. Quelques estimateurs (5) : l�estimateur des MCGR Un estimateur centr� de est donn� par : o� sont les r�sidus de la r�gression inter. Un estimateur convergent de q se d�duit de ces deux estimations : On applique enfin les MCG avec au lieu de q.

33. Tests (1) : le test d�absence d�effets sp�cifiques individuels Le but est de tester : Test de Fisher ou du multiplicateur de Lagrange (� partir du mod�le contraint estim� par les MCO), suivant asymptotiquement une loi du ?2 � 1 ddl. Honda (1985) a propos� une version unilat�rale de ce test.

34. Tests (2) : le test de Mundlak (1978) Selon Mundlak (1978), les effets sp�cifiques al�atoires ont de grandes chances d��tre corr�l�s avec les variables explicatives = corr�lation entre les caract�ristiques inobservables des individus et les caract�ristiques observables (r�gresseurs). Dans ce cas, il montre que seul l�estimateur within reste sans biais et convergent. Il en d�duit �galement un test de corr�lation entre les effets sp�cifiques et les variables explicatives.

35. Tests (3) : Le test d�Hausman Principes g�n�raux des tests d�Hausman : Ces tests reposent sur la diff�rence entre : un estimateur convergent et efficace sous l�hypoth�se nulle de bonne sp�cification mais non convergent sous l�hypoth�se alternative et un estimateur convergent sous les deux hypoth�ses

36. Tests (3) : Le test d�Hausman Application au mod�le � erreurs compos�es : L�hypoth�se nulle correspond au mod�le � erreurs compos�es alors que l�hypoth�se alternative correspond au mod�le de Mundlak (o� les effets sp�cifiques sont corr�l�s avec les variables explicatives) Dans ce cas, l�estimateur des MCG est convergent et efficace sous H 0 mais non convergent sous H a. Au contraire, l�estimateur within est convergent dans les deux cas.

37. Tests (3) : Le test d�Hausman Le test repose alors sur la diff�rence : La quantit� : Remarque : on peut �galement tester l�exog�n�it� des effets sp�cifiques en comparant deux quelconque des estimateurs suivants :

38. Le mod�le � effets individuels corr�l�s Si la corr�lation ne peut pas �tre rejet�e, il faut consid�rer un � mod�le � effets individuels corr�l�s � : estimateur within ou, estimateur MCO ou MCG sur le mod�le en diff�rences premi�res (pour �liminer l�effet individuel) ou, estimateurs des variables instrumentales

39. Le mod�le avec effets individuels et temporels (1) Pour chaque individu i et chaque p�riode t : Hypoth�ses :

40. Le mod�le avec effets individuels et temporels (2) Les propri�t�s suivantes sur les erreurs sont donc v�rifi�es : Interpr�tation : Autocorr�lation temporelle �individu par individu�, constante quel que soit le nombre de p�riodes s�parant deux perturbations Covariance contemporaine entre les individus

41. Le mod�le avec effets individuels et temporels (3) Si on empile les observations pour l�individu i :

42. Le mod�le avec effets individuels et temporels (4) Si on empile les N individus :

43. Le mod�le � coefficients al�atoires Sp�cification et hypoth�ses Proc�dures d�estimation Test de l�homog�n�it� des coefficients

44. Sp�cification du mod�le de Swamy (1) Soit le mod�le : Les hypoth�ses : Sur les variables explicatives : on suppose Z i fixe, de rang complet K+1 Sur les erreurs :

45. Sp�cification du mod�le de Swamy (2) Sur les coefficients : on suppose les g i al�atoires g est la partie fixe et d i sont les effets individuels al�atoires. On admet que o� ? est une matrice d�finie-positive. Le mod�le de Swamy est donc un mod�le de r�gression multiple avec perturbations autocorr�l�es et h�t�rosc�dastiques.

46. Sp�cification du mod�le de Swamy (3) On empile le mod�le pour un individu i donn� : Soit : Alors :

47. Sp�cification du mod�le de Swamy (4) On empile le mod�le pour tous les individus :

48. Estimation (1) : les MCG purs Par d�finition : Cette expression peut se simplifier compte tenu de la formulation de V : 

49. Estimation (1) : les MCG purs Interpr�tation : il s�agit d�une moyenne pond�r�e matricielle des . La moyenne est pond�r�e en fonction inverse de la variance : les individus pour lesquels l�estimation est la plus pr�cise p�sent plus dans l�estimation globale que les autres. Cependant, puisque C i n�est pas connue, cette m�thode n�est pas applicable.

50. Estimation (2) : les MCGR La matrice C i d�pend de si2 et de ? qui sont en g�n�ral inconnus. Pour si2, on utilise la somme des carr�s des r�sidus des r�gressions individuelles. Pour ?, on utilise l�estimateur : On peut ensuite remplacer si2 et ? par leurs estimations dans V pour la 2�me �tape des MCGR. On obtient un estimateur convergent et asymptotiquement efficace pour N ? 8 et T fixe.

51. Test de l�homog�n�it� des coefficients On teste : Puisque l�h�t�rog�n�it� des coefficients induit une forme d�h�t�rosc�dasticit�, cette derni�re peut �tre test�e � l�aide de l�approche Breusch-Pagan.