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Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation

1 / 35. Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation. Michael Szell, Sept. 2007, Siena. 2 / 35. Probleme mit ELBA+. Oszillationen Abhängigkeit von Gitterauflösung Numerisches Verfahren von ELBA+?.

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Presentation Transcript

  1. 1 / 35 Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation Michael Szell, Sept. 2007, Siena

  2. 2 / 35 Probleme mit ELBA+ • Oszillationen • Abhängigkeit von Gitterauflösung • Numerisches Verfahren von ELBA+? Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  3. 3 / 35 Annahmen & Vereinfachungen • Berechnungsschema 2-dimensional • Flachheit • Größenabhängigkeit: Großlawinen • Material: newtonsches Fluid, Trockenlawinen • Inkompressibilität • Isothermalität • Beliebige Topographien, Rotationsinvarianz • DHM äquidistant gerastert • Kontinuität Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  4. 4 / 35 Fluidbeschreibung Substantielle Ableitung: • Lagrangesche Sichtweise • Eulersche Sichtweise Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  5. 5 / 35 Koordinatensystem • 2-Dim kartesisch, äquidistant • Global und Lokal: Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  6. 6 / 35 Hangneigung • Steigung und Exposition: Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  7. 7 / 35 Gradienten, Geländeradius • Gradienten durch Hornschen Schätzer: • Geländeradius: Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  8. 8 / 35 Modellkräfte • Fg Gravitationskraft • FphHydrostatischer Druck • Fe Turbulente Reibung • Fd Trockene Reibung Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  9. 9 / 35 Gravitationskraft und hydrostatischer Druck • - • - • - Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  10. 10 / 35 Turbulente Reibung Nach Voellmy (1955), erweitert mit Keulegan- Relation Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  11. 11 / 35 Trockene Reibung • Mohr-Coulomb + Zentrifugalbeschleunigung Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  12. 12 / 35 Kontinuitätsgleichung • Massenerhaltung: • Für ELBA: Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  13. 13 / 35 Impulsgleichungen • Für ELBA:(kein Spannungstensor – vereinfacht) Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  14. 14 / 35 CFL-Bedingung • Courant-Friedrichs-Lewy Bedingung:„the numerical scheme defining the approximation[...] must be able to include all the physical information which influences thebehaviour of the system in this point.“(Hirsch, Charles: Numerical Computation of Internal and External Flows, Vol. 1) Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  15. 15 / 35 Berechnungsschema ELBA+ Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  16. 16 / 35 Berechnungsschema ELBA+ • Schnell • Überschätzte Geschwindigkeit • Oszillationen • Abhängigkeit von Gitterauflösung • Verfahren „sehr diskret“ Neuimplementierung! Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  17. 17 / 35 Motivation der Verfahrensart Explizites Finite Differenzen Verfahren • Explizit vs. Implizit • Gitterauflösung, Stabilität • FDM vs. FEM/FVM • Literatur Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  18. 18 / 35 Klassifizierung der DGL Konservativ: ……. …… Nicht-konservativ: • Fall Ψ=0hyperbolisch, reine Konvektion • Fall Ψ>0parabolisch, Konvektion-Diffusion0<Ψ«1: konvektionsdominant Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  19. 19 / 35 Lineare Wellengleichung • Lösung: • Charakteristiken: Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  20. 20 / 35 Upwind Verfahren • Nach Informationsfluss gerichtet • 1. Ordnung: Diffusion Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  21. 21 / 35 Lax-Wendroff Verfahren • Zentral • 2. Ordnung: Oszillation Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  22. 22 / 35 Lax-Friedrichs Verfahren • Bereinigung eines instabilen Schemas • Sehr diffusiv Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  23. 23 / 35 MacCormack Verfahren • Prädiktor-Korrektor, Update • Mit künstlichem Diffusionskoeffizienten • 2-Dimensional Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  24. 24 / 35 TVD Methoden • Total Variation Diminishing (Harten 1983) • Sichtweise: Zellen • Numerischer Fluss • Idee: adaptiver Fluss, mit Flux-Limiter Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  25. 25 / 35 Limiter • Maß für „Glattheit“: • Sweby: TVD Gebiet 2. Ordnung durchund: Konvexkombination aus LW und BW • Minmod-, Superbee-Limiter Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  26. 26 / 35 Rekonstruktion und Slope-Limiter Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  27. 27 / 35 TVD Lax-Friedrichs Methoden • Verallgemeinerter Lax-Friedrichs-Fluss 2 Dim Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  28. 28 / 35 NOC Schema • Non-Oscillatory Central (Nessyahu, Tadmor 1990) • DGL-System: Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  29. 29 / 35 NOC Schema (1-dim) • Staggered Grid, 2-Schritt Verfahren • UpdateHalbschritte durch Taylor; TVD-Steigung Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  30. 30 / 35 1-Dim numerische Experimente • Test-Topographien: • MacCormack: Wellen, Massenzunahme, erhöhte Geschwindigkeit • MTVDLF: Verformung • NOC: Fast fehlerfrei • Superbee: Oft instabil, daher Minmod Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  31. 31 / 35 2-Dim numerische Experimente • MacCormack instabil • NOC diffusiver als im 1-Dim: (konstant geneigter Hang, nur Gravitationskraft) Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  32. 32 / 35 2-Dim num. Experimente NOC • Auslaufender Hang, Fg, Fph, Fdfgfphfd.wpl • Auslaufender Hang, Fg, Fph, Fd, Fefgfphfdfe.wplProbleme: „Pudding+Himbeersaft“he = h-Grenze für: Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  33. 33 / 35 Alt (ELBA+) vs. Neu (NOC) • Auf nat. Topographie (Lech), he=0,08m Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  34. 34 / 35 Alt (ELBA+) vs. Neu (NOC) • Oszillationen • Simulationsdauer • Auflösung • Zusatzfunktionen • Geometrische Fehler (?) Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

  35. 35 / 35 Fragen, Anregungen, etc? J. M. W. Turner, The Fall of an Avalanche in the Grissons. 1810. Oil on Canvas. 90.2 x 120 cm. Tate Gallery, London. Danke für die Aufmerksamkeit! Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation, Michael Szell

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