1 / 14

Hornerova shema

Hornerova shema. Polinomi su najjednostavnije algebarske funkcije. Možemo ih definirati nad bilo kojim prstenom R u obliku: gdje su koeficijenti iz tog prstena, a x je simbolička “varijabla”. Polinomi, kao simbolički objekti, imaju algebarsku strukturu prstena

saskia
Télécharger la présentation

Hornerova shema

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Hornerova shema

  2. Polinomi su najjednostavnije algebarske funkcije. Možemo ih definirati nad bilo kojim prstenom R u obliku: gdje su koeficijenti iz tog prstena, a x je simbolička “varijabla”. Polinomi, kao simbolički objekti, imaju algebarsku strukturu prstena • Međutim, polinome možemo interpretirati i kao funkcije, koje možemo izvrednjavati u svim točkama x0prstena R, uvrštavanjem x0 umjesto simboličke varijable x. Dobiveni rezultat p(x0) je opet u R

  3. Složenost očito ovisi o broju članova u sumi. Da broj članova ne bi bio umjetno prevelik, standardno uzimamo da je i da je vodeći koeficijent , tako da je n stupanj tog polinoma p. Kada želimo naglasiti stupanj, polinom označavamo s pn • Polinom se obično zadaje stupnjem n i koeficijentima a0 ,..., an u nekoj bazi vektorskog prostora polinoma stupnja ne većeg od n. Na početku razmatranja koristimo standardnu bazu 1, x , x2,..., xn

  4. Računanje vrijednosti polinoma u točki • Zadan je polinom stupnja n kojemu treba izračunati vrijednost u točki x0. To se može napraviti na više načina. Prvo, napravimo to direktno po zapisu, potencirajući. Krenemo li od nulte potencije x0 = 1, svaka sljedeća potencija dobiva se rekurzivno xk = x ∙ xk-1 Imamo li zapamćen xk-1, lako je izračunati xk korištenjem samo jednog množenja

  5. Vrijednost polinoma s pamćenjem potencija (algoritam) sum := a0; pot := 1; for i:= 1 to n do begin pot := pot ∗x0; sum := sum + ai ∗pot; end; { Na kraju je pn(x0)= sum. } • Prebrojimo zbrajanja i množenja koja se javljaju u ovom algoritmu. U unutarnjoj petlji javljaju se 2 množenja i 1 zbrajanje. Budući da se petlja izvršava n puta, ukupno imamo 2n množenja + n zbrajanja

  6. Hornerova shema (algoritam) • Izvrednjavanje polinoma u točki može se izvesti i s manje množenja ako polinom zapišemo u obliku pn(x)=(···((anx+ an-1)x+ an-2)x+ ···+ a1)x+ a0 • Algoritam koji po prethodnoj relaciji izvrednjava polinom zove se Hornerova shema. Predložio ga je W. G. Horner, 1819. godine, ali sličan zapis je koristio i Isaac Newton, još 1669. godine sum := an; for i := n − 1 down to 0 do sum := sum ∗ x0 + ai; { Na kraju je pn(x0)= sum. } • Odmah je očito da smo korištenjem ovog algoritma broj množenja prepolovili, tj. da je njegova složenost n množenja + n zbrajanja

  7. Dijeljenje polinoma linearnim faktorom oblika x - x0 • Do sada smo vidjeli kako se pomoću algoritama prikazuje Hornerova shema, a kako se praktično zapisuje kad se radi “na ruke”? • Napravi se tablica na sljedeći način. U gornjem redu se popišu svi koeficijenti polinoma pn redom od an do a0. Donji red se izračunava korištenjem gornjeg reda i broja x0. Označimo elemente donjeg reda, gledajući slijeva nadesno, s x0, cn-1, cn-2,..., c0, r0, tako da se cn-1 nalazi ispod an

  8. Elementi donjeg reda se računaju s lijeva na desno, kako slijedi cn-1 = an, ci-1 := ci ∗ x0 + ai-1, i= n,...,1 (1) • Dakle, vodeći koeficijent an se prepiše, a svi ostali se računaju tako da se posljednji izračunati koeficijent ci pomnoži s x0, a zatim mu se doda koeficijent ai-1 koji se nalazi iznad. Na kraju, ispod koeficijenta a0 se dobije r0, tj. vrijednost polinoma u točki x0 • Pokažimo kako to funkcionira na konkretnom primjeru

  9. Izračunajmo vrijednost polinoma p5(x) = 2x5 − x3 + 4x2 + 1 U točki x0 = −1. Formirajmo tablicu: Dakle, p5(−1) = 4. • Pogledajmo značenje koeficijenata ci koji se javljaju u donjem redu tablice. Promatrajmo polinom koji dobijemo dijeljenjem polinoma pn s polinomom stupnja 1 oblika x − x0. Nazovimo kvocijent ta dva polinoma s qn-1(to je ponovno polinom, ali sada stupnja n−1), a ostatak (broj, jer mora biti stupnja manjeg od polinoma kojim dijelimo) s r0

  10. Tada vrijedi: pn(x) = (x−x0) qn-1(x) + r0 (2) • Uvrštavanje x = x0 u (2) pokazuje da za ostatak vrijedi r0 = pn (x0). Znamo da je qn-1 polinom stupnja n−1, a njegove koeficijente označimo s bi, 1≤ i ≤ n (što je pomak indeksa za jedan u odnosu na dosad korištenu notaciju), (3) • Dodatno, označimo, b0 = r0 • Uvrstimo li (3) u (2) i sredimo koeficijente uz odgovarajuće potencije, dobivamo pn(x)= bnxn+(bn-1−x0bn)xn−1+...+(b1−x0b2)x+b0−x0b1

  11. Za vodeći koeficijent bn, odmah zaključujemo bn=an, a za ai uz potenciju xi , i<n je ai = bi − x0 · bi+1, i= n−1,...,0 • Zadnja relacija i veza bn=an pokazuju da bi možemo izračunati iz bi+1 rekurzijom bi = ai + x0 · bi+1 • Primijetimo da je to relacija istog oblika kao (1), samo s pomaknutim indeksima, a kako je inicijalno i bn = cn-1, zaključujemo da vrijedi bi = ci-1, i=1,...,n • Dakle, koeficijenti koje dobijemo u Hornerovoj shemi su baš koeficijenti polinoma-kvocijenta i ostatka pri dijeljenju polinoma pn linearnim faktorom x − x0

  12. Hornerova shema za traženje vrijednosti derivacija u nekoj točki • Takozvana Potpuna Hornerova shema • Što se događa ako postupak dijeljenja polinoma linearnim faktorom nastavimo, tj. ponovimo više puta? Vrijedi: pn(x) =(x−x0)qn−1(x)+r0 =(x−x0)[(x−x0)qn−2(x)+r1]+r0 =(x−x0)2 qn−2 (x)+r1(x−x0)+r0 =··· = rn(x−x0)n+...+r1(x−x0)+r0. • Dakle, polinom pn napisan je razvijeno po potencijama od (x−x0). Koja su značenja ri?

  13. Usporedimo dobiveni oblik s Taylorovim polinomom oko x0 pa zaključujemo da vrijedi: 0 ≤ i ≤ n • Potpuna Hornerova shema računa sve derivacije polinoma u zadanoj točki podijeljene pripadnim faktorijelima

  14. Formirajmo potpunu Hornerovu tablicu Odatle lako čitamo P5(-1)=4, P5(1)(-1)=−1∙1!=−1, P5(2)(-1)= −13∙2!=−26, P5(3)(-1)=19∙3!=114, P5(4)(-1)=−10∙4!=−240, P5(5)(-1)=2∙5!= 240 Primjer - Nadimo sve derivacije polinoma p5(x)=2x5−x3+4x2+1 u točki −1. • Algoritam koji nalazi koeficijente ri, odnosno koeficijente Taylorovog razvoja zadanog polinoma oko točke x0, može se napisati koristeći samo jedno polje

More Related