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II. STRUMENTI PER L’ANALISI E IL DIMENSIONAMENTO

II. STRUMENTI PER L’ANALISI E IL DIMENSIONAMENTO

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II. STRUMENTI PER L’ANALISI E IL DIMENSIONAMENTO

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  1. II. STRUMENTI PER L’ANALISI E IL DIMENSIONAMENTO

  2. INDICE • II.1 Le risorse di rete e i modelli di servizio • II.2 Analisi prestazionale di sezioni di rete

  3. II.1 Le risorse di rete e i modelli di servizio Aldo Roveri, “Fondamenti di reti” Univ. di Roma “La Sapienza” - a.a. 2009-2010

  4. CONTENUTI II.1.1 Modelli di interazione tra attività e risorse II.1.2 La domanda di servizio II.1.3 Processo di coda II.1.4 Condizioni di equilibrio statistico

  5. II. LE RISORSE DI RETE E I MODELLI DI SERVIZIO II.1.1 Modelli di interazione tra attività e risorse

  6. Sistemi di servizio (1/3) • L’accesso a una o più risorse condivise può essere descritto da particolari modelli matematici, chiamati sistemi di servizio.

  7. Sistemi di servizio (2/3) • Tali modelli: • assumono come dato di partenza una caratteriz-zazione della domandache le attività di utilizzazione presentano alle risorse; • schematizzano l’interazione tra attività e risorse, fornendo una rappresentazione delle modalità di gestione di questa interazione e tenendo conto in particolare delle modalità di risoluzione delle condizioni di contesa;

  8. Sistemi di servizio (3/3) • consentono di caratterizzare la risposta conse-guente a questa interazione e quindi di valutarne i relativi parametri prestazionali (ad es. la portata media in funzione del carico medio, il rendimento di utilizzazione, il grado di accessibilità, ecc. in condizioni di stazionarietà).

  9. Problemi risolubili (1/3) • Siano AU: l’insieme delle attività di utilizzazione che possono accedere a risorse condivise; RC : l’insieme delle risorse condivise. AG: l’insieme delle attività di gestione preposte a controllare l’interazione di AU con RC

  10. Problemi risolubili (2/3) • Se Do è la domanda di servizio che AU presenta a RC Pl è la potenzialità di lavoro di RC , Fg indica le funzioni di gestione che sono svolte da AG Pp indica i parametri prestazionali che qualificano l’interazione di AU con RC sotto il controllo di AG , i sistemi di servizio sono un modello, analitico o simulativo, per risolvere problemi progettuali o gestionali

  11. Problemi risolubibli (3/3) DATI DI INGRESSO DATI DI USCITA TIPO DI PROBLEMA VINCOLI Do Pl Fg ANALISI VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Pp Do Pp Fg Minimizzare i costi DIMENSIONAMENTO DELLE RISORSE Pl SINTESI Do Pl Ottimizzare Pp GESTIONE DELLE RISORSE Fg

  12. SERVIZIO Servente Servente • • Ingresso Uscita • Servente Ambiente e modello (1/4) Struttura generale FILA D’ATTESA

  13. Ambiente e modello (2/4) • Il modello include in generale • un servizio comprendente uno o più serventi; • una fila d’attesa (che può anche essere assente); • una popolazione di utenti potenziali. • Nella corrispondenza modellistica: AU diventa l’insieme U degli utenti potenziali del sistema di servizio; RC diventa l’insieme S dei serventi.

  14. Ambiente e modello (3/4) • Inoltre alle attività di gestione AG corrispondono le funzioni di controllo G del sistema di servizio. • Alla capacità di una risorsa, corrisponde una uguale caratterizzazione della potenzialità di un servente a svolgere lavoro.

  15. Ambiente e modello (4/4) MODELLO CHE LA RAPPRESENTA REALTÀ DA RAPPRESENTARE AU U RC S AG G

  16. Caratteristiche strutturali (1/4) • Sono definite da • il numero dei serventi (finito o infinito); • la lunghezza della fila d’attesa (finita o infinita); • il numero degli utenti potenziali (finito o infinito). • In relazione alle caratteristiche strutturali, si distinguono • sistemi di servizio ad attesa (senza perdita); • sistemi di servizio ad attesa con perdita; • sistemi di servizio a perdita in senso stretto.

  17. Caratteristiche strutturali (2/4) • Siano S: il numero di serventi (S;0 < S  ) ; Q: la lunghezza della fila di attesa (Q;0  Q  ); U: il numero di utenti potenziali (U ;0 < U   ); C=S+Q: la capienza del sistema; (C ; 0 < C  );

  18. Sistema ad attesa (senza perdita) Q > 0 C  U Q = 0 C, U, Q Sistema ad attesa con perdita Q > 0 C < U Q = 0 Sistema a perdita in senso stretto Caratteristiche strutturali (3/4) Sistema senza attesa e senza perdita

  19. Caratteristiche strutturali (4/4) • La scelta di una delle alternative per le caratteristiche strutturali di un sistema di servizio dipende da quale sia il modo di risoluzione delle condizioni di contesa che si intende modellare; • I sistemi ad attesa (senza perdita) sono utilizzati come modelli di risoluzione nel modo ad attesa; • i sistemi a perdita in senso stretto sono utilizzati come modelli di risoluzione nel modo a perdita; • i sistemi ad attesa con perdita sono utilizzati come modelli di risoluzione nel modo ad attesa con perdita.

  20. richieste di servizio rifiutate richieste richieste di servizio di servizio accolte offerte senza ritardo richieste di servizio accolte richieste di servizio accolte con ritardo Trattamenti del servizio Nel caso più generale di un sistema ad attesa con perdita

  21. Richieste di servizio (1/3) • La domanda è caratterizzata dalle richieste di servizio che gli utenti del sistema presentano in relazione alle loro esigenze.

  22. t t t t t t 4 6 3 5 1 2 t t : istante di arrivo della i-esima richiesta di servizio i Richieste di servizio (2/3) • Consideriamo una sequenza degli istanti di richiesta di servizio, quali sono osservabili come possibile manifestazione del comportamento degli utenti potenziali. • Gli istanti di richiesta di servizio sono distribuiti aleatoriamente sull’asse dei tempi e costituiscono un insieme numerabile.

  23. Richieste di servizio (3/3) • La i-esima richiesta di servizio include la quantità di lavoroLi che i serventi del sistema devono svolgere per soddisfare la richiesta.

  24. V.A. caratterizzanti (1/2) • Se • ci riferiamo all’i-esimo degli istanti di richiesta di servizio; • supponiamo che la capacità di ogni servente del sistema sia identica e uguale a , osserviamo la realizzazione di due variabili aleatorie associate a questa richiesta di servizio:

  25. V.A. caratterizzanti (2/2) • l’i-esimo tempo di interarrivoT(i) : intervallo che intercorre tra l’istante di presentazione della richiesta immediatamente precedente e quello della richiesta considerata T(i) = ti- ti-1 i=1,2,... • l’i-esimo tempo di servizio(i): intervallo di tempo che un servente deve dedicare per soddisfare tale richiesta (i)= Li /  i=1,2,...

  26. Modelli della domanda (1/4) • Consideriamo l’intera sequenza degli istanti di richieste di servizio; • si osserva allora la realizzazione di due famiglie numerabili e ordinate di variabili aleatorie: • la prima è la sequenza dei tempi di inter-arrivo, • la seconda è quella dei tempi di servizio.

  27. t t t t t t t 4 6 3 5 1 2 T(4) T(6) T(2) T(5) T(1) T(3) t (1) (6) (3) (4) (2) (5) t t : istante di arrivo della i-esima richiesta di servizio i : tempo di inter-arrivoi-esimo T(i) (i) : tempo di servizioi-esimo Modelli della domanda (2/4) (a) (b) (c)

  28. Modelli della domanda (3/4) • Queste sequenze sono le realizzazioni di due processi aleatori: il processo di ingresso il processo di servizio; • questi costituiscono i modelli matematici delle due componenti della domanda nell’interazione tra attività di utilizzazione e risorse; • nella corrispondenza modellistica queste componenti caratterizzano anche la domanda degli utenti al sistema di servizio.

  29. Modelli della domanda (4/4) • Normalmente si suppone che • le variabili aleatorie componenti ognuno di que-sti due processi siano equidistribuite estati-sticamente indipendenti; • inoltre, per ciò che riguarda la relazione tra i processi di ingresso e di servizio, nelle trattazioni elementari si assume che • tali processi siano statisticamente indipendenti.

  30. Popolazione degli utenti • E’ in generale costituita da una o più classi, che presentano differenti comportamenti, in particolare per ciò che riguarda • le caratteristiche della domanda di servizio; • le esigenze di funzioni di controllo svolte dal sistema.

  31. Funzioni di controllo • Le funzioni di controllo svolte da un sistema di servizio includono la gestione • dell’accesso al sistema, • dell’accesso al servizio, • della disciplina di servizio.

  32. Accesso • Per l’accesso al sistema • nel caso dei sistemi a perdita, si procede con il meccanismo del rifiuto; • nel caso dei sistemi a ritardo, si opera con la messa in fila d’attesa e quindi con il meccanismo del ritardo; entrambi questi meccanismi possono o meno discriminare tra le classi di utenti potenziali.

  33. Disciplina di servizio (1/3) • E’ il criterio con cui viene assegnato un nuovo lavoro ad un servente non appena questi si libera da un impegno precedente; • alcune discipline sono conservative se non è creato né distrutto il lavoro entro il sistema: il servente è sempre occupato quando il sistema non è vuoto e gli utenti lasciano il sistema solo dopo aver ricevuto il lavoro richiesto;

  34. Disciplina di servizio (2/3) • le discipline di servizio sono classificate in base • all’ordine di arrivo di ogni utente del sistema; • ad una certa misura della quantità di lavoro richiesta o già ricevuta da un utente; • all’uso di priorità.

  35. Disciplina di servizio (3/3) CRITERIO DISCIPLINA DI SERVIZIO Primo arrivato - Primo servito (FIFO) ORDINE DI ARRIVO Ultimo arrivato - Primo servito (LIFO) Ordine casuale Lavoro più breve - Primo servito (SJF) LAVORO GIA’ SVOLTO O DA SVOLGERE Lavoro più lungo - Primo servito (LJF) Condivisione temporale Senza interruzione senza ripetizione PRIORITA’  Con interruzione con ripetizione

  36. II. LE RISORSE DI RETEE I MODELLI DI SERVIZIO II.1.2 La domanda di servizio

  37. Modelli dell’ingresso (1/3) processo a stato-continuo e a tempo discreto; la V.A. componente è l’i-esimo tempo di interarrivo che si realizza in corrispondenza dell’i-esimo arrivo;

  38. Modelli dell’ingresso (2/3) processo a stato-discreto e a tempo-continuo (processo di conteggio); la V.A. componente è il numero di arrivi che si verificano nell’intervallo:

  39. Modelli dell’ingresso (3/3) • Condizione necessaria e sufficiente affinchè un processo di ingresso nella forma di processo di conteggio sia di Poisson e’ che la distribuzione dei tempi di inter-arrivo sia esponenziale negativa con parametro indipen-dente dallo stato del sistema di servizio

  40. Notazioni (1/2) • Sia X una V.A. continua non negativa; per tale V.A. si usano le seguenti notazioni: • la funzione di densita’ di probabilita’ (f.d.p.) di X • la funzione di distribuzione cumulativa (F.D.P.) di X

  41. Notazioni (2/2) • il valore atteso (o medio) di X • la varianza di X • il coefficiente di variazione di X

  42. Parametri frequenziali • Frequenza media di arrivo = numero medio di arrivi nell’unita’ di tempo • Frequenza media di servizio = numero medio di terminazioni di servizio nell’unita’ di tempo

  43. Esempi di modelli di ingresso o di servizio (1/5) • Sono possibili modelli dei processi di ingresso o di servizio le distribuzioni • esponenziale negativa; • deterministica; • erlangiana di ordine r; • iper-esponenziale di ordine r.

  44. Esempi di modelli di ingresso o di servizio (2/5) • Distribuzione esponenziale negativa

  45. Esempi di modelli di ingresso o di servizio (3/5) • Distribuzione deterministica

  46. Esempi di modelli di ingresso o di servizio (4/5) • Distribuzione erlangiana di ordine r • e’ la distribuzione di una V.A. definita come somma di un numero fisso r di V.A. equidistribuite e statisticamente indipendenti, con distribuzione esponenziale negativa di parametro r

  47. Esempi di modelli di ingresso o di servizio (5/5) • Distribuzione iper-esponenziale di ordine r • e’ la combinazione lineare di r distribuzioni esponen-ziali negative con differenti parametri i (i=1,2,...r)

  48. Distribuzione senza memoria (1/2) • Condizione di assenza di memoria:

  49. Distribuzione senza memoria (2/2) • Condizione necessaria e sufficiente affinchè una distribuzione sia senza memoria (distribuzione markoviana) e’ che essa sia esponenziale negativa.

  50. Processo di sovrapposizione (1/2) • Dati due o più processi di ingresso (processi componenti), il processo di sovrapposizione si ottiene da quelli dati considerando l’insieme di tutti gli arrivi dei processi componenti; • per due o più processi di ingresso, si ha quindi un singolo processo di sovrapposizione come uscita dell’operazione di composizione.