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第五节　隐函数及参数方程的求 导方法、高阶导数

第三模块　函数的微分学. 第五节　隐函数及参数方程的求 导方法、高阶导数. 一、隐函数的微分法. 二、由参数方程所确定的函数的微分法. 三、对数微分法. 四、高阶导数. 一、隐函数的微分法. 例 1 设方程 x 2 + y 2 = R 2 ( R 为常数 ) 确定函数 y = y ( x ) ，　. 解 在方程两边求微分，. d( x 2 + y 2 ) = d R 2 ，. 即. 2 x d x + 2 y d y = 0. 由此，当 y  0 时解得. 或.

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第五节　隐函数及参数方程的求 导方法、高阶导数

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  1. 第三模块　函数的微分学 第五节　隐函数及参数方程的求 导方法、高阶导数 一、隐函数的微分法 二、由参数方程所确定的函数的微分法 三、对数微分法 四、高阶导数

  2. 一、隐函数的微分法 例1设方程 x2 + y2 = R2(R 为常数)确定函数 y = y(x)，　 解 在方程两边求微分， d(x2 + y2 )= dR2， 即 2xdx + 2ydy = 0. 由此，当 y  0 时解得 或

  3. 例2设方程 y + x – exy = 0 确定了函数 y = y(x)， 解 方程两边求微分，得 d(y + x – exy)= d0， 即 dy + dx - dexy= 0， dy + dx –exy(xdy + ydx )= 0. 当 1 -xexy 0 时，解得 即

  4. 　　例3求曲线 x2 + y4 = 17 在 x = 4 处对应于曲线上的点的切线方程. 解 方程两边求微分，得 2xdx + 4y3dy= 0， 得 　　 即对应于 x = 4 有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4, 1) 和 P2(4, - 1). 将 x = 4 代入方程，得 y =  1.

  5. 在 P2 处切线的斜率 y|(4, - 1) = 2. 　　在 P1 处的切线斜率 y|(4,1)= - 2， 所以，在点 P1 处的切线方程为 y – 1 = - 2(x- 4) 即 y + 2x – 9 = 0 在点 P2 处的切线方程为 y+ 1 = 2(x- 4)，即 y- 2x + 9 = 0

  6. ≤ ≤ 补证反三角函数的导数公式： 设 y = arcsin x，则 x = sin y，两边对 x求微分，得 dx = cos ydy， cos y 取正号，

  7. 二、由参数方程所确定的 函数的微分法 参数方程，它的一般形式为 ① ② 对方程 ② 两边求微分，得 dy = f (t)dt， ③ 同样对方程 ① 两边求微分，得 ④ dx =  (t)dt，

  8. 即

  9. (椭圆方程)确定了函数 y = y(x)， 例4设参数方程 解 dx = - a sin tdt， dy = bcos tdt ， 所以

  10. 　　例5求摆线 (a 为常数) 在对应于 　 时曲线上点的切线方程 . 解 与　 对应的曲线上的点为 dy = asintdt ， dx =a(1 – cos t)dt ，

  11. 所以 点 P处的切线方程为

  12. y x 例6设炮弹与地平线成 a角，初速为 v0 射出， 地平线为 x轴，过原点垂直 x轴方向上的直线为 y轴(如图). 如果不计空气阻力，以发射点为原点， 由物理学知道它的运动方程为 中弹点 O (2)如果中弹点与以射点同在一水平线上，求炮弹的射程. 求(1)炮弹在时刻 t时的速度大小与方向，

  13. Vy Vx 中弹点 y O x 解 (1)炮弹的水平方向速度为 炮弹的垂直方向速度为 所以，在 t时炮弹速度的大小为 它的位置是在 t时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为

  14. (2)令 y = 0，得中弹点所对应的时刻

  15. 3 例7设 三、对数微分法 解　两边取对数，得 两边求微分，

  16. 所以

  17. 例8设 y = (tan x)x，求 y . 解　lny = xln(tan x) = x(lnsin x- lncos x) 所以

  18. 记作 f (x) 或 y 或 记作 f (x) 或 或 ···， 四、函数的高阶导数 如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导， 所得到的一个新函数， 称为函数 y = f(x) 的二阶导数， 　　　　　　　　　　　如对二阶导数再求导，则称三阶导数， 　四阶或四阶以上导数记为 y(4)，y(5)，···，y(n) 　 　　而把 f (x)称为 f (x) 的一阶导数.

  19. 例9　设 y = ex，求 y(n). 解 y  = ex，y = ex， ···，y(n) = ex .

  20. 　　例10　设 y = ln(1 + x) . 求 y(0)，y(0)， y(0)， ···，y(n)(0). 解

  21. 例11　设 y = sin x， 解

  22. 五、 高阶偏导数 函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数 如果这两个函数关于 x , y的偏导数也存在， 一般说来仍然是 x , y的函数， 则称它们的偏导数是 f (x , y)的二阶偏导数. 　　　　　　　　　　　　　　　二阶偏导数有四个： 依照对变量的不同求导次序，

  23. 其中 及 称为二阶混合偏导数. 类似的，可以定义三阶、四阶、…、n阶偏导数， 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数， 称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数.

  24. 求函数 的所有二阶偏导数. 例12 解 所以

  25. = 本例中 ， 有下述 定理： 这不是偶然的，

  26. 如果函数 z = f (x , y) 在区域 D上两个二阶混合偏导数 、 连续， 定理 则在区域 D上有 求导结果与求导次序无关， 即当二阶混合偏导数在区域 D上连续时， 　　　　　　　　　　　　　这个定理也适用于三元及三元以上的函数. 证明从略.

  27. 试求 ， . 例13 解

  28. 验证了

  29. 例14 解 因为

  30. = + + 2 2 2 xyz ( 1 3 xyz x y z ) e . 所以 + + × xyz z ( 1 xyz ) e xy

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