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菱形的判定

菱形的判定. 1 ． 如图， AB 、 CD 是⊙ O 的两条直径，四边形 ACBD 是矩形吗？证明你的结论．. ∵ AO=BO,CO=DO （圆的相等半径） ∴四边形 ABCD 是平行四边形（ ① ） ∵ AB=CD( 圆的直径相等） ∴四边形 ABCD 是矩形 （ ② ）. ABCD. 2 ． 如图，  ABCD 中，∠ 1=∠2. 此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ zxxk. ∵ ∴ AO=CO,BO=DO

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菱形的判定

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Presentation Transcript

  1. 菱形的判定

  2. 1． 如图，AB、CD是⊙O的两条直径，四边形ACBD是矩形吗？证明你的结论． ∵AO=BO,CO=DO （圆的相等半径） ∴四边形ABCD是平行四边形（ ① ） ∵AB=CD(圆的直径相等） ∴四边形ABCD是矩形 （ ② ）

  3. ABCD 2． 如图，ABCD中，∠1=∠2.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？ zxxk ∵ ∴AO=CO,BO=DO （ ① ） ∵ ∠1=∠2 ∴AO=BO（ ② ） ∴AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 （ ③ ）

  4. ABCD 1． 如图，ABCD中，AB=6, BC=8, AC=10.求证四边形ABCD是矩形. ∵ AB=6,BC=8,AC=10 且62+82=102 ∴AB2+BC2=AC2 ∴ ∠B=900（ ① ） ∵ ∴四边形ABCD是矩形 ( ② )

  5. 2. 如图，△ABC中，AB=AC, AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE.求证： AB=DE. ∵AB=AC,AD平分∠BAC ∴AD⊥BC, ∠1= ∠BAC /2 (等腰三角形三线合一） ∵ AE平分∠BAF ∴ ∠2= ∠BAF/2 ∵ ∠BAC + ∠BAF=1800 ∴ ∠1+ ∠2=(∠BAC + ∠BAF)/2=900 ∵ BE⊥AE ∴ ∠BDA= ∠DAE= ∠BEA=900 ∴四边形BDAE是矩形（ ① ） 1 2 F

  6. 已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于O，简述平行四边形的性质：z.x.x.k已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于O，简述平行四边形的性质：z.x.x.k 复习： 两组对边分别平行 边 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 角： 两组对角分别相等 对角线互相平分 对角线：

  7. 复习：菱形的特殊性 四边相等 • 边： • 角： • 对角线： 对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分 菱形的性质有： 1.两条对角线互相平分 2.四条边都相等 3.每条对角线平分一组对角

  8. A D B C 判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 O ∵ ABCD AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ ABCD AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=CD=AD ∴四边形ABCD是菱形 判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 ∵AC平分∠BAD和 ∠ BCD,BD平分∠ABC和∠ADC ∴四边形ABCD是菱形 问：如何证明判定定理2和判定定理3呢？

  9. ABCD 判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形 已知 ABCD中，对角线AC、BD互相垂直， 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：在 中，OA＝OC （ ①）． 又∵AC⊥BD， ∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线， ∴ AB＝BC， ∴ 四边形ABCD是菱形 （ ②）．

  10. A D B C 判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形 已知：AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形 ∵AB=CD,BC=AD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB=CD ∴四边形ABCD是菱形 （有一组邻边相等的平行四边形是菱形）

  11. A D B C 判断对错： （1）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （ ） （2）对角线垂直且平分的四边形是菱形。 （ ） （3）对角线垂直的矩形是菱形。 （ ） （4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。 （ ） （5）有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形。 （ ） 课后练习2、3

  12. 1． 如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证四边形AEDF是菱形. 2． 如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DG⊥AB于G，EK⊥AB于K，GH⊥AC于H，EK和GH相交于点F．求证： 四边形DEFG是菱形．

  13. 如图,AE平行BF,AC平分角BAD,交BF于C,BD平分角ABC,交AE于D,连接CD。求证:四边形ABCD是菱形。 课本102页6、11、10、12

  14. 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F， 求证:四边形AFCE是菱形 证明 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AE∥FC（ ① ） ∴ ∠1＝∠2．（ ② ） ∵ EF平分AC， ∴ AO＝OC． 又∵ ∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △AOE≌△COF（ ③ ）， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形（ ④ ） 又∵EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形（ ⑤ ）

  15. 3． 如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、BD交于O，AC＋BD＝q，求菱形ABCD的面积． （提示： 利用两数和的平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理）

  16. 小结： 判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 • 菱形的证明方法 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形 判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形

  17. 作业： • 课本P116

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