Understanding the Future: Online Algorithms and Computational Thinking for Decision Making

1. Computational ThinkingOnline Algorithmen[Was istes wert, die Zukunftzukennen?] Kurt Mehlhorn KonstantinosPanagiotou

2. Der Weihnachtsmannkonnteleidernichtkommen

3. Bisher… • In allen Problemen, die wir gesehen haben, war die Eingabe immer vollständig spezifiziert • Sortieren • Kürzeste Wege, Eulertour, … • Kompression

4. Aber… • Manchmal ist die Eingabe nicht im Voraus vollständig bekannt • Entscheidungen müssen getroffen werden, ohne zu wissen „was kommt“ • Beispiele • Börse • Logistik (zBPost, Amazon) • Aufträge/Anfragen

5. Online Probleme/Algorithmen • Daten werden schrittweise verfügbar • Es gibt keine Information über die zukünftigen Daten • Die Daten müssen sofortverarbeitet werden • Entscheidungen, die getroffen werden, sind nicht umkehrbar

6. Diskussion • Das Modell ist recht restriktiv • In der Praxis sind oft einige Informationen bekannt • Finanzwelt: Annahmen über Kursverläufe • Logistik: Verteilung der Aufträge • Solches Wissen kann im Modell berücksichtigt werden

7. Bin Packing

8. Beispiel • Im Bin Packing geht es darum, Gegenstände in Behälter (= Bins) unterzubringen • Man möchte so wenig Bins wie möglich verwenden • Schneiden von Teilen • Spedition

9. Das Problem • Eine vereinfachte Annahme • BinPacking • Eingabe: n Objekte mit Größen • Ausgabe: Eine Packung der Objekte in Bins der Größe 1 • Online: die Größen werden eine nach der anderen aufgedeckt, und der Gegenstand muss sofort in einen Bin platziert werden.

10. Ein einfacher Algorithmus NextFit • Es gibt immer einen einzigen aktiven Bin • Falls das nächste Element in den aktivenBin passt, so wird es dort eingefügt • Sonst wird der Bin geschlossen, und ein neuer, leerer Bin wird aktiv • GeschlosseneBins werden nie wieder betrachtet

11. Beispiel 0.2 0.4 0.1 0.9 0.3

12. Ein besserer (?) Algorithmus Warum sollten man Bins schließen? FirstFit • Falls das nächste Element in irgendeinen Bin passt, so wird es dort eingefügt • Ansonsten wird es in einen neuen, leeren Bin eingefügt

13. Beispiel 0.2 0.4 0.1 0.9 0.3

14. Wie gut sind diese Algorithmen? • Vergleich mit einem optimalen Algorithmus • Dieser Algorithmus kennt die Zukunft • Alle Größen sind im Voraus bekannt • Er berechnet die kleinste Anzahl Bins, die benötigt werden • Der kompetitive Faktor eines Algorithmus ALG ist definiert als

15. Beispiele (I) • Alle Gegenständesindgroß

16. Beispiele (II) • 8 Gegenstände mit Größe • 8 mit Größe

17. Die Reihenfolge ist wichtig! • Angenommen die Elemente kommen abwechselnd NextFit FirstFit

18. FirstFit kann schlecht sein • 0.15 + 0.34 + 0.51 = 1 • Instanz: 6 x 0.15, 6 x 0.34, 6 x 0.51

19. Analyse von NextFit • Nehmen wir an, NextFithätte b Bins benutzt • Seien die Gewichte der Bins • Dann gilt: • Außerdem gilt: • Da aber in jedem Bin Gewicht höchstens 1 passt, folgt daraus

20. Geht es besser? • Wie gut kann ein online Algorithmus sein? • Kann man einen Algorithmus angeben, der immer die beste Lösung konstruiert? • Nein! 

21. Das Gegenbeispiel (I) • Angenommen, wir haben Gegenstände mit Gewicht • Optimale Lösung: Bins • Sei BinPac ein beliebigerOnline Algorithmus • Dann benutzt BinPac bins • Also gilt:

22. Das Gegenbeispiel (II) • Angenommen wir haben Gegenstände • haben Gewicht • haben Gewicht • Optimale Lösung: Bins • Was macht BinPac? • Die Bins können aufgefüllt werden. • Die restlichen Gegenstände benötigen nochmal so viele Bins

23. Zusammenfassung Instanz I • mit Gewicht • Optimal = • Bins: Instanz II • mit Gewicht mit Gewicht • Optimal = • Bins:

24. Also… • … kann es keinen online Algorithmus geben, der einen kompetitiven Faktor kleiner als hat! • FirstFit: der Faktor ist 1.7. • Übrigens: BinPacking ist NP-vollständig!

25. Scheduling

26. Scheduling • Gegeben sind • Maschinen • Jobs • Beispiele • Fabriken und Aufträge • Aufzüge und Menschen

27. Problemformulierung • Maschinen • Jobs, mit Bearbeitungszeiten • Problem: minimiere die totale Bearbeitungszeit ( = der Zeitpunkt, an dem alle Jobs abgearbeitet wurden) • Online Problem • die Bearbeitungszeiten sind nicht alle zu Beginn bekannt • wirdbekannt, sobald der te Job einerMaschinezugeordnetwurde

28. Der Algorithmus • Verteile die Jobs nach folgender Regel: „Job wird der Maschine zugeordnet, die aktuell die geringste Last hat“ 0.2 0.4 0.1 0.9 0.3

29. Wie gut ist der Algorithmus? • Wie vorher: vergleiche die Leistung des Algorithmus mit einem optimalen Algorithmus, der alle Bearbeitungszeiten schon zu Beginn kennt

30. Die obere Schranke

31. Die untere Schranke • Kann der Algorithmus wirklich so schlecht werden? • Ja! • Instanz: • Jobs der Länge 1, ein Job der Länge • Die kurzen Jobs kommen zuerst

32. Experten

33. Das Problem • Wir möchten eine Vorhersage machen • Wird es morgen regnen? • Wird der DAX steigen? • Es gibt n Experten, die wir befragen können • Ja/Nein Antworten • Am Ende des Tages erfahren wir, wer Recht hatte • Wie können wir möglichst viele richtige Vorhersagen machen?

34. Eine Idee • Jeder der Experten bekommt ein Gewicht: • Zu Beginn sind alle Gewichte = 1 • Gesamtgewicht = • Wir fragen alle Experten, und bilden die Summe aller „Nein“-Sager und aller „Ja“-Sager • Wir wählen die Antwort mit dem größeren Gewicht

35. Wie lernen wir? • Am Ende des Tages werden die Gewichte angepasst • Jeder, der eine falsche Prognose gemacht hat, wird „bestraft“: das Gewicht wird mit multipliziert • Bei richtigen Prognosen passiert nichts.

36. Beispiel Tag 1 Tag 2 Tag 3 Tag 4

37. Wie gut ist das? • Wir vergleichen die Anzahl unserer richtigen Prognosen mit der des besten Experten • Sei die Anzahl falscher Prognosen des ten Experten nach Tagen • Sei die Anzahl unserer falscher Prognosen • Was können wir über die Relation dieser ‘s sagen?

38. Eine allgemeine Schranke • Sei das Gesamtgewicht am ten Tag • Dann ist • Angenommen, wir haben am Tag die falsche Prognose gemacht • Dann ist das Gesamtgewicht der Experten die falsch prognostiziert haben • Nach der Aktualisierung:

39. Also…

40. Andererseits • Jedesmalwenn ein Experte einen Fehler macht, wird sein Gewicht mit mit multipliziert • Somit

41. Zusammenfassung • Online Probleme • Eingabe wird nach und nach bekannt gemacht • Entscheidungen können nicht rückgängig gemacht werden • Kompetitiver Faktor