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第 3 章 几乎完全非线性函数

第 3 章 几乎完全非线性函数. (1) 特征为奇数的有限域上， PN 函数是差分均匀度最 优的函数， APN 函数是差分均匀度次优的函数. (2) 特征为偶数的有限域上， APN 函数是差分均匀度最 优的函数. 定义 3.1 设 F ( x ) 是 上的函数，这里 p 为素数， n 为正整数，如果 则称 F ( x ) 为 上的几乎完全非线性函数 ( Almost Perfect Nonlinear Function ), 简称 APN 函数. § 3.1 几乎完全非线性函数的定义与性质. 第 3 章 几乎完全非线性函数.

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第 3 章 几乎完全非线性函数

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Presentation Transcript

  1. 第3章 几乎完全非线性函数 (1)特征为奇数的有限域上，PN函数是差分均匀度最 优的函数，APN函数是差分均匀度次优的函数. (2)特征为偶数的有限域上，APN函数是差分均匀度最 优的函数. 定义3.1设F(x)是 上的函数，这里p为素数，n为正整数，如果 则称F(x)为 上的几乎完全非线性函数(Almost Perfect Nonlinear Function),简称APN函数. §3.1几乎完全非线性函数的定义与性质

  2. 第3章 几乎完全非线性函数 命题3.2 上的函数F(x)为APN函数当且仅当对任意非零，集合 中恰好有 个元素，其中 . 命题3.1 上的函数F(x)为APN函数当且仅当对任意 ，方程 在 中最多有两个解. §3.1几乎完全非线性函数的定义与性质

  3. 第3章 几乎完全非线性函数 (1)组件函数 实际上为F的分量函数的线性组合. (2)F的Walsh变换有如下两种表示： 上述两种Walsh变换是一致的. 定义3.2设， 表示从 到 的迹函数，对任意 ，令 ， 则称 为F的组件函数. §3.1几乎完全非线性函数的定义与性质

  4. 第3章 几乎完全非线性函数 命题3.2记 为函数 的组件函数，则F是APN函数当且仅当对任意非零，均有 其中 表示布尔函数在 处的Walsh谱. 定理3.1扩展Walsh谱 是CCZ等价不变量. §3.1几乎完全非线性函数的定义与性质

  5. 第3章 几乎完全非线性函数 (1)平方和指标与Walsh谱具有如下关系： (2)记 为函数 的组件函数，则 F为APN函数 . 定义3.3布尔函数f 的平方和指标定义为 其中 . §3.1几乎完全非线性函数的定义与性质

  6. 第3章 几乎完全非线性函数 (1)由Parseval恒等式可知， 一定为 形式，其中 . (2)高原函数的Walsh谱具有如下性质：当n为偶数时，可以被 整除；当n为奇数时，可以被 整除. (3)如果 ，则f 在任何点处的Walsh谱均为 从而f 为Bent函数. 定义3.4设f 是一个n元布尔函数，如果它的Walsh谱取值为 的子集合，那么f 就称为高原函数. §3.1几乎完全非线性函数的定义与性质

  7. 第3章 几乎完全非线性函数 (1)如果 ，那么F不是APN函数. (2)如果F是APN函数，那么 ，并且等号成立当且仅当 . 反过来，如果 ，且 ，则F是APN函数. (3)如果F是APN函数，则F就不是置换. 进一步，不存在 上的线性函数L，使得F+L为置换. 定理3.3设n为正偶数， 满足对任意 ，组件函数 是高原函数，记 是集合 中Bent函数的个数， ，则 §3.1几乎完全非线性函数的定义与性质

  8. 第3章 几乎完全非线性函数 (1) F为置换当且仅当对任意的 ，有 . (2) F为APN置换当且仅当任意的 ，有 ， . 定理3.4设 ，对任意的 ， 表示 F的组件函数，则 §3.1几乎完全非线性函数的定义与性质

  9. 第3章 几乎完全非线性函数 定理3.5设F为 上的置换，n=2t，则 (1) 如果n=2，F不是APN函数. (2) 如果n=4，F不是APN函数. (3) 如果，F不是APN函数. (4) 如果对任意的 ， 均为高原函数，则F不是APN函数. 大APN问题：当n为偶数时，是否存在 上的APN置换. §3.1几乎完全非线性函数的定义与性质

  10. 第3章 几乎完全非线性函数 进一步，如果 是APN函数，那么当n为奇数时， ；当n为偶数时， . 定理3.6设r，n均为正整数， ，函数 的单变元多项式表示属于 .如果对于某个 存在 ，满足 那么F不是APN函数. §3.1几乎完全非线性函数的定义与性质

  11. 第3章 几乎完全非线性函数 (1) Gold函数 (2) Kasami函数 (3) Welch函数 在特征为偶数的有限域上，目前已知的APN幂函数只有如下六类： §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  12. 第3章 几乎完全非线性函数 (4) Niho函数 其中n=2t+1. (5) Inverse函数 (6) Dobbertin函数 §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  13. 第3章 几乎完全非线性函数 (2) Gold函数与Kasami函数在奇数情形下，APN性质可以看成其AB性质的直接推论. (1) Gold函数与Kasami函数的域扩张次数为任意正整数， Welch函数，Niho函数和Inverse函数的域扩张次数只能为奇数，Dobbertin函数的域扩张次数为5的倍数. §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  14. 第3章 几乎完全非线性函数 (1) 一种技术手段是直接证明 对任意的 ，最多只有两个解. (2) 另一种技术手段是证明差函数 可以表示为一个置换多项式与一个2-1函数的合成. 六类幂函数APN性质的证明主要采用两种技术手段： §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  15. 第3章 几乎完全非线性函数 定理3.6Gold函数和Inverse函数均为APN函数. 定理3.7Kasami函数、Welch函数、Niho函数和Dobbertin函数均为APN函数. 引理3.1设 ，那么F是APN函数当且仅当对任意 ，方程 的解数为2或0. §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  16. 第3章 几乎完全非线性函数 (1)首先证明 为置换多项式. (2)其次证明 为 上2-1的映射. (3)最后证明 (这里 )可以表示为 . Welch函数APN性质的证明思路： §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  17. 第3章 几乎完全非线性函数 (1)首先证明 是 上置换多项式， 这里 ，并且 . (2)其次证明 是2-1的函数. (3)最后证明 ，这里 . Kasami函数APN性质的证明思路： §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  18. 第3章 几乎完全非线性函数 Dobbertin猜测 特征为2的有限域上，APN幂函数只有六类：Gold函数、Kasami函数、Welch函数、Niho函数、Inverse函数和Dobbertin函数. §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  19. 第3章 几乎完全非线性函数 • (1) Budaghyan-Carlet-Felke-Leander第一类函数 • 其中 在特征为偶数的有限域上，APN多项式函数有如下六类： §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  20. 第3章 几乎完全非线性函数 • (2) Budaghyan-Carlet-Felke-Leander第二类函数 • 其中 §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  21. 第3章 几乎完全非线性函数 (3) Bracken-Byrne-Markin-Mcguire第一类函数 其中 且b在 中不能开3次方. §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  22. 第3章 几乎完全非线性函数 (4) Budaghyan-Carlet函数 其中 并且在 中不可约. §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  23. 第3章 几乎完全非线性函数 (5) Bracken-Byrne-Markin-Mcguire第二类函数 其中 并且u是 中本原元. §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  24. 第3章 几乎完全非线性函数 (6) Budaghyan-Carlet-Felke-Leander第三类函数 其中 ，并且对于最小可能的 ，满足 . §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  25. 第3章 几乎完全非线性函数 上述6类APN函数均为DO型函数，其差分函数为有限域上线性化多项式，故其APN性质的证明思想是基本一致的，只需证明线性化多项式最多只有两个解. 注意到 是一个DO型函数与一个二次布尔函数之和，其APN性质证明与其他5类函数APN性质有点区别. §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  26. 第3章 几乎完全非线性函数 定理3.8设F是 上的APN函数，并且F的代数次数是2，假设f 是一个n元二次布尔函数，对任意非零 ，定义如下两个函数 则 是APN函数当且仅当对任意 ，存在线性布尔函数 ，满足如下条件： (1) ； (2)如果对某个 ，有 ，那么 §3.2特征为偶数的有限域上的APN函数

  27. 第3章 几乎完全非线性函数 (1) Helleseth, Rong 和Sandberg小组 (2) Dobbertin, Pott 和 Felke小组 (3) Zha和Wang小组 特征为奇数的有限域上APN幂函数只要由三个研究小组给出： §3.3特征为奇数的有限域上的APN函数

  28. 第3章 几乎完全非线性函数 (1) (2) (3) (4) ，n为奇数 (5) (6) Helleseth, Rong和Sandberg所给出的APN幂函数为： §3.3特征为奇数的有限域上的APN函数

  29. 第3章 几乎完全非线性函数 (1) (2) (3) (4) (5) Dobbertin, Pott和Felke所给出的APN幂函数为： §3.3特征为奇数的有限域上的APN函数

  30. 第3章 几乎完全非线性函数 (1) d 满足 ，其中 k为奇数 (2) d 满足 ，其中 (3) d 满足 ，其中 (4) ，其中 ，n为奇数 Zha和Wang所给出的APN幂函数为： §3.3特征为奇数的有限域上的APN函数

  31. 第3章 几乎完全非线性函数 例3.2 为 上函数，这里p为奇素数，则 例3.1 是 上APN函数，这里 §3.3特征为奇数的有限域上的APN函数

  32. 第3章 几乎完全非线性函数 例3.3 设奇素数p满足 ， 为 上二次特征， 为 上的映射，则当 时， §3.3特征为奇数的有限域上的APN函数

  33. 第3章 几乎完全非线性函数 例3.4 设p为奇素数， ， ，则 §3.3特征为奇数的有限域上的APN函数

  34. 第3章 几乎完全非线性函数 定理3.9 设 为奇数， 满足 则 为 上的APN函数. 特征为奇数的有限域上APN多项式函数： §3.3特征为奇数的有限域上的APN函数

  35. 第3章 几乎完全非线性函数 (1) 参数不同的Gold函数之间是CCZ不等价的； (2) Gold函数与Kasami函数、Welch函数是CCZ不等 价的； (3) Inverse函数和Dobbertin函数是CCZ不等价的，并且它们与Gold函数、Kasami函数、Welch函数和Niho函数都是CCZ不等价的； (4) APN多项式函数对某些域扩张次数n，它们与APN幂函数是CCZ不等价的. APN函数的等价性： §3.3几乎完全非线性函数的等价性

  36. 第3章 几乎完全非线性函数 (1) 一种技术手段是反证法. 假设两个不同的APN函数是CCZ等价的，细致地分析展开项的指数，最后通过添加适当条件导出矛盾. (3) 另一种技术手段是给出一些CCZ等价不变量，通过计算不同APN函数的等价不变量来说明它们之间的CCZ不等价性. APN函数不等价性证明主要采用两种技术手段： §3.3几乎完全非线性函数的等价性

  37. 第3章 几乎完全非线性函数 例3.6Gold函数、Kasami函数、Welch函数和Niho函数的扩展Walsh谱是经典的. 即当n为奇数时，扩展Walsh谱为三值，当n为偶数时，扩展Walsh谱为五值的. 而Invese函数和Dobbertin函数的扩展Walsh谱不是经典的，从而前四类函数与后两类函数是CCZ不等价的. 例3.5 设 ，并且 ，那么F和G在 上是CCZ不等价的. §3.3几乎完全非线性函数的等价性

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