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行列式的计算是一个重要的问题 , 也是一个很麻烦的问题 . 对于

1.3 行列式的性质. 行列式的计算是一个重要的问题 , 也是一个很麻烦的问题 . 对于. 很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算. 阶行列式 , 当. 几乎是不可能的 . 为此有必要对行列式的性质进行研究 , 从而简. 化行列式的计算. 记. 称行列式. 为行列式. 的转置行列式. 性质 1 行列式与其转置行列式相等 , 即. 性质 2 互换行列式的两行 ( 列 ) 元素 , 则行列式变号. 推论 1 若行列式中某两行元素对应相等 , 则行列式的值为零. 等于用. 乘以行列式 , 即. 性质 3 行列式某行元素都乘以数. , 则.

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行列式的计算是一个重要的问题 , 也是一个很麻烦的问题 . 对于

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  1. 1.3 行列式的性质 行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.对于 很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算 阶行列式,当 几乎是不可能的.为此有必要对行列式的性质进行研究,从而简 化行列式的计算. 记 称行列式 为行列式 的转置行列式.

  2. 性质1行列式与其转置行列式相等,即 性质2互换行列式的两行(列)元素,则行列式变号. 推论1若行列式中某两行元素对应相等,则行列式的值为零. 等于用 乘以行列式,即 性质3行列式某行元素都乘以数

  3. ,则 推论2由性质3知若行列式中某行(列)元素含有公因数 可以将数 提到行列式外. 推论3若行列式的某两行(列)元素对应成比例,则此行列式的 值为零. 性质4若行列式的某一行(列)是两组数之和,则这个行列式可 以写成两个行列式的和,即 此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式.

  4. 性质5把行列式中某行(列)元素的 倍加到另外一行(列)的 对应元素上去,行列式的值不变.即

  5. 例6计算行列式 的值,其中 解:

  6. 例7计算行列式 的值,其中 解法一:分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第 一行得

  7. 解法二:利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得解法二:利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得 例8计算行列式 的值,其中

  8. 解: 例9 计算行列式 的值,其中

  9. 加到后一列上去得 解:把前一列乘以 加到 再将第三列乘以 加到第四列上去，第二列乘以 第三列上去得 由于此时行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的 性质可得 .

  10. 1.5 行列式按行（列）展开 1.5.1 余子式与代数余子式 定义6在 阶行列式 中划去元素 所在的第 行和第 个元素按原来的排法 列的元素,剩下的 构成一个 的余子式, 阶的行列式,称为元素 符号 后称为元素 的代 记作 .对 冠以 数余子式,记为 ,即

  11. 1.5.2 行列式按行（列）展开 引理 设 是一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这个行列式的值等于 乘以它的代数 余子式 ，即 定理1行列式的值等于其某行（列）元素与其代数余子式乘 积之和,即 这个定理称为行列式按行(列)展开法则．

  12. 例10算行列式 的值,其中 解：

  13. 的值，其中 例11计算行列式 解：

  14. 为 例12 设行列式 求 的值. 解: 为行列式 的值等于行列式 而 按第二行的展开式,因此

  15. 因此:

  16. 作为定理1的推论,我们有： 推论 阶行列式的 的任意一行(列)的各元素与另一行(列) 对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 或 或

  17. .试求 例13：设多项式 的根. 解法一： 解得 的解为：

  18. 时， 解法二：由性质2推论3知，当 ，故 为 的根。 为 由于 的4次多项式，因此， 只有4个根。

  19. 1.4 克莱姆法则 1.6.1 克莱姆（Cramer）法则 现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形. 定理2如果线性方程组

  20. 的系数构成的行列式 那么线性方程组 有解,并且解是惟一的,解可以由下式给出 中第 列换成方程组的常数项 其中 是行列式 而得到的行列式. 此定理称为克莱姆法则,克莱姆法则主要解决方程个数 与未知量个数相等的方程组的求解问题，而这类方程组又 是非常特殊、非常重要的方程组.

  21. 例14解方程组 解:方程组的系数行列式

  22. 由克莱姆法则得: . 所以方程组的唯一解为:

  23. 定理3 如果齐次线性方程组 的系数构成的行列式 那么它只有零解.

  24. 1.4.2 克莱姆法则的推论 定理4若非齐次线性方程组无解或有多个解，则其系数 行列式 . 推论 :如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式 . 例15 为何值时,方程组 有非零解. 解： 由以上推论知, 当齐次线性方程组有非零解时它的系数 行列式 ,即

  25. 所以 .不难验证,当 时方程组确有非零解. 取何值时，齐次线性方程组 例16 问 有非零解？ 解： 由以上推论知, 当齐次线性方程组有非零解时它的系数 行列式 ,即

  26. 由 得 .不难验证，当 时，该齐次线性方程组有非零解.

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