Zero de função

1. Zero de função

2. Problema • O cálculo de raízes de funções encontra um grande emprego na obtenção da solução de uma vasta gama de problemas de engenharia. • Em geral, trata-se de determinar o(s) valores de x tal que f(x)=0, onde f é a função cujo raízes são a determinar.

3. Métodos matemáticos • A matemática fornece métodos formais que permite a determinação exata das raízes em diversos casos. • Os métodos mais conhecido permitem a determinação de raízes de polinômios ate grau 3, ou grau maior mais em certas condições. • Em muitas situações, a resolução matemática necessita de intuição para que elas sejam transformadas em casos resolvíveis.

4. Exemplos • Polinômios do primeiro e segundo grau ou transformáveis em polinômios do primeiro ou segundo grau: • Funções cuja a recíproca é conhecida:

5. Determinação gráfica • A representação gráfica de uma função é uma fonte de informações úteis sobre o comportamento da função, particularmente para a determinação das raízes. • Além disso, o grafo permite de compreender o funcionamento dos métodos numéricos para determinar as raízes.

6. Raízes com gráfico Raízes são dadas pelos pontos de interseção do grafo com o eixo dos x.

7. Métodos numéricos • Mesmo com um método formal, o(s) valor(es) calculado(s) pelo computador é aproximado, a não seja usar um CAS. • Existem métodos numéricos que permite aproximar as raízes em casos gerais, inclusivo casos que a matemática não resolva de formalmente.

8. Métodos numéricos • Vamos estudar três métodos de determinação de raízes: • Bisseção • Secante • Newton-Raphson

9. Bisseção • Th: Se y=f(x) é uma função contínua e muda de sinal no intervalo [a,b] (isto é se f(a).f(b)<0), então existe pelo menos um ponto x0Î [a,b] tal que f(x0)=0. • Além disso, se f’(x) não muda de sinal em [a,b], x0 é a única raiz de f(x) nesse intervalo.

10. Bisseção • Para se aproximar de uma raiz, o princípio da bisseção consista em reduzir o intervalo inicial testando o sinal de f(x) para o ponto médio do intervalo. • Considerando o intervalo [a,b] • Se , o novo intervalo e [a,(a+b)/2] • Se , o novo intervalo e [(a+b)/2,b]

11. Algoritmo • Raiz(f,a,b,tol) • Enquanto (|a-b|>tol) • x=(a+b)/2 • Se f(x).f(a)<0 • b=x • Senão • a=x • Resultado=(a+b)/2

12. Bisseção • Esse método, com um bom escolhe do intervalo inicial, é adaptado com a representação dos números do computador: a divisão por 2 a cada passo é uma operação simples. • A convergência do algoritmo é garantida, o algoritmo não saia do intervalo inicial, esse intervalo é cada vez dividido por dois, • A convergência é muito lenta: para ganhar uma decimal (base 10), preciso de 3 a 4 passos.

13. Secante • O método da secante funciona sobre o mesmo princípio que a bisseção e necessita da mesma condição inicial: continuidade da função.

14. Secante • Com esse método, determinamos um ponto a partir da assimilação da curva com um segmento passando pelos pontos (XE, f(XE)) e (XD, f(YD)). O candidato para ser raiz é o ponto de interseção desse segmento com o eixo x.

15. Secante • Determinação de XN: Temos a relação: De onde podemos extrair XN:

16. Secante • O segmento (XN,f(XN)); (XD,f(XD)) é usado para determinar o valor do passo seguinte.

17. Algoritmo • Raiz(f,a,b,iter) • Repete iter vezes • b=(b.f(a)-a.f(b))/(f(a)-f(b)) • Resultado=b

18. Falsa posição • O método da falsa posição aparece como uma combinação entre o método da secante e a bisseção. As condições iniciais são as mesma que no caso da bisseção (intervalo onde a função troca de sinal).

19. Falsa posição • Como no caso da secante, determinamos um ponto a partir da assimilação da curva com um segmento passando pelos pontos (XE, f(XE)) e (XD, f(YD)). • Temos:

20. Falsa posição • No caso da falsa posição, o novo segmento é determinado em função dos sinais de f(XN)f(XD) e f(XN)f(XE). • Se f troca de sinal entre XE e XN, o novo intervalo é [XE, XN], senão o novo intervalo é [XN, XE].

21. Algoritmo • Raiz(f,a,b,iter) • Repete iter vezes • x=(b.f(a)-a.f(b))/(f(a)-f(b)) • Se f(x).f(a)<0, b=x • Senão a=x • Resultado=x

22. Newton-Raphson • O método de Newton-Raphson não precisa de um intervalo inicial. Ela considera que a curva no ponto inicial pode ser aproximada com a reta tangente à curva nesse ponto.

23. Newton-Raphson • De forma equivalente, consista também a considerar a função como aproximada nesse ponto pela série de Taylor de 1° grau: f(x1)=f(x0)+(x1-x0).f’(x0) • Determinação de XN: XN=XD-f(XD)/f’(XD)

24. Newton-Raphson • Por um processo iterativo, a raiz pode ser aproximada: xi+1=xi-f(xi)/f’(xi)

25. Algoritmo • Raiz(f,x0,iter) • X=x0 • Repete iter vezes • X=X-f(X)/f’(X) • Resultado=X

26. Newton-Raphson e Secante • Os dois métodos de secante e Newton-Raphson são próximos. O método da secante é o método de Newton-Raphson aonde a derivada no ponto inicial é substituída pela diferencia finita. A vantagem da secante é que não é necessário conhecer a função derivada.

27. Convergência • A convergência desses métodos é em geral mais rápida que no caso da bisseção. O método da bisseção usa sempre o mesmo algoritmo para qualquer função enquanto os outros métodos usam o comportamento da curva (diferencia finita ou derivada) para se aproximar da raiz.

28. Convergência • Se Newton-Raphson e Secante podem ser mais eficiente, elas podem ser também com dificuldade de convergência se a função tem variação do sinal da derivada próxima da raiz procurada.

29. Convergência • Vários critérios podem ser usados para decidir de para a aplicação do algoritmo: • um número dado de iterações, • quando a diferencia entre dois passo de uma iteração é menos que um erro |xi+1-xi|< e, • quando o valor da função em xi é perto de 0 |f(xi)|<e, • quando os dois últimos critérios não para o algoritmo, ele pode ser parado porque considerado como não convergente.