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Animationen zu Kap. 4.3: AVL-Bäume

Animationen zu Kap. 4.3: AVL-Bäume. Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund. 12. VO DAP2 SS 2008 27. Mai 2008. Petra Mutzel DAP2 SS08. 1. Rotationen (1). Beispiel 1:. bal(7)=0. bal(5)=2. 5.

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Animationen zu Kap. 4.3: AVL-Bäume

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Presentation Transcript

  1. Animationen zuKap. 4.3: AVL-Bäume Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 12. VO DAP2 SS 2008 27. Mai 2008 Petra Mutzel DAP2 SS08 1

  2. Rotationen (1) Beispiel 1: bal(7)=0 bal(5)=2 5 5 Rotation nach links an 5 bal(7)=1 7 7 bal(5)=0 8 8 5 ist unbalanciert 5, 7, 8 sind balanciert

  3. Rotationen (2) Beispiel 2: bal(5)=2 5 5 Rotation nach links an 5 bal(7)=0 7 7 6 8 6 8 falsch: die 6 muss mitwandern 5 ist unbalanciert 5, 7, 8 sind balanciert

  4. Rotationen (3) bal(7)=-1 bal(5)=2 5 5 bal(5)=1 Rotation nach links an 5 bal(7)=0 6 7 7 6 8 6 8 so korrekt! Warum eigentlich? falsch: die 6 muss mitwandern 5 ist unbalanciert 5, 7, 8 sind balanciert Die Suchbaumeigenschaft bleibt bei einer Rotation erhalten. Nach einer Rotation entsteht wieder ein binärer Suchbaum Achtung: dies ist nicht so wenn gleiche Schlüssel enthalten sind

  5. Rotationen (4) Beispiel 3: bal(8)=0 bal(5)=2 5 5 Rotation nach links an 5 bal(8)=-1 8 8 bal(5)=0 7 7 5 ist unbalanciert falsch: Das war keine Rotation!!!

  6. Rotationen (5) bal(8)=-2 bal(5)=2 5 5 Rotation nach links an 5 bal(8)=-1 8 8 bal(5)=1 7 7 5 ist unbalanciert Diese Rotation hat nichts genützt!

  7. Rotationen (6) bal(7)=0 bal(5)=2 bal(5)=2 5 5 5 bal(8)=-1 bal(7)=1 8 8 7 bal(8)=0 bal(5)=0 7 7 8 Rotation nach links an 5 Rotation nach rechts an 8 Doppelrotation Rechts-Links notwendig!

  8. u a a d v u d v c b c b Doppelrotationen u v d b a c

  9. Definition • AVL-Ersetzung: Operation (z.B Insert, Delete), die einen Unterbaum T eines Knotens z durch einen modifizierten AVL-Baum ersetzt, dessen Höhe um höchstens 1 von der Höhe von T abweicht.

  10. Rebalancierung • Wir betrachten einen AVL-Baum unmittelbar nach einer AVL-Ersetzung (Einfügung bzw. Entfernens eines Knotens). • Sei u ein unbalancierter Knoten maximaler Tiefe, d.h. bal(u)∈{-2,+2}. • Sei T der maximale Unterbaum mit Wurzel u in T. • Wir unterscheiden vier verschiedene Situationen.

  11. u v v u C A C A B B 1. Fall: bal(u)=-2 • Sei v das linke Kind von u (existiert!) • Fall 1.1: bal(v)∈{-1,0}:Rotation nach rechts anu bal(v)∈{0,1} bal(u)=-2 Rotation nach rechts Wir wissen: h(C)=h(A)-1 und h(B)=h(A) oder h(A)-1 • Suchbaumeigenschaft bleibt erhalten; u und v sind balanciert • Für die Knoten unterhalb hat sich nichts geändert.

  12. bal(u)=-2 w u bal(v)=1 v v u D w A A D B B C C 1. Fall: bal(u)=- 2 ff. • Sei v das linke Kind von u (existiert!) • Fall 1.2: bal(v)=+1: Links-Rechtsrotation anu Links- rotation an v dann Rechts- rotation an u u, v und w sind balanciert h(D)=h(A) und ( h(B)=h(A) oder h(C)=h(A) )

  13. 2 + u v v u C A C A B B 1. Fall: bal(u)= -2 • Sei v das linke Kind von u (existiert!) • Fall 1.1: bal(v)∈{-1,0}:Rotation nach rechts anu rechte 2 {0,1} bal(u)=-2 bal(u)=2 Rotation nach rechts links h(C)=h(A)-1 und h(B)=h(A) oder h(B)=h(A)-1 • Inorder-Reihenfolge bleibt erhalten und u und v sind balanciert • Für die Knoten unterhalb hat sich nichts geändert.

  14. + bal(u)=-2 w u bal(v)=-1 v v u D w A A D B B C C 2 1. Fall: bal(u)= - 2 ff. • Sei v das linke Kind von u (existiert!) • Fall 1.2: bal(v)=+1: Links-Rechtsrotation anu rechte rechte Rechts-Links -1 2 bal(u)=2 bal(u)=2 Rechts- Links- rotation an v dann Rechts- rotation an u Links- u, v und w sind balanciert h(D)=h(A) und ( h(B)=h(A) oder h(C)=h(A) )

  15. Rebalancierung ff. • Seien T der maximale Unterbaum mit Wurzel u in T vor der Rebalancierung, T´ der gleiche Teilbaum nach einer einfachen Rotation und T´´ nach einer Doppelrotation. • Für die einfache Rotation gilt: h(T´)-h(T)∈{-1,0} • Im Falle der Doppelrotation gilt: h(T´)-h(T) ∈{-1,0} • Alle Transformationen (Einfach- und Doppelrotationen) kann man also als eine AVL-Ersetzung auffassen.

  16. Rebalancierung ff. • Nach der AVL-Ersetzung gilt: • Die Unterbäume mit Wurzel u und v sind danach balanciert. Für die Unterbäume unterhalb hat sich die Balancierung nicht geändert. • Bestimme nun den nächsten unbalancierten Knoten maximaler Tiefe. Diese Tiefe ist nun kleiner als vorher. • Wiederhole die Rebalancierung (AVL-Ersetzung) solange, bis alle Knoten balanciert sind. • Das Verfahren konvergiert nach O(h(T)) Iterationen zu einem gültigen AVL-Baum.

  17. Rebalancierung ff. • Die Insert-Operation unterscheidet sich nur insofern von der Delete-Operation, dass hier ein einziger Rebalancierungsschritt genügt. • Bei der Delete-Operation hingegen kann es sein, dass mehrere Rebalancierungsschritte notwendig sind. Implementierungen:

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