Capítulo 6

1. Capítulo 6 Estabilidade de Sistemas de Controle

2. Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução • Definições de Estabilidade • Tópicos principais e palavras chave • Estabilidade Absoluta • Estabilidade Relativa • Critério de Routh-Hurwitz

3. Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução • 1 ) Dos estudos das equações diferenciais lineares, ( com coeficientes constantes) de sistemas de entrada única e saída única EUSU foi visto que a solução homogênea corresponde a resposta transiente do sistema e é governada pelas raízes da equação característica.

4. Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução (cont.) • 2) Basicamente o projeto de sistemas de controle lineares se restringe à locação de polos e zeros da função de transferência, de tal modo que o sistema irá se comportar de acordo com as condições especificadas

5. Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução (cont.) • 3) Entre os principais requisitos se tem o fato de que o sistema tem de ser estável • 4) Um sistema instável é em geral sem utilidade • 5) Pode-se lidar com estabilidade de sistemas : lineares, não lineares, não variantes com o tempo e variantes com o tempo

6. Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução (cont.) • 6) Lidaremos a princípio com sistemas do tipo EUSU, e invariantes com o tempo • 7) Estudaremos estabilidade absoluta e relativa • 8) Para nos preparar para a definição de estabilidade,vamos relembrar a definição de • (i) Resposta a todos os estados nulos, e • (ii) Resposta a entradas nulas

7. Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução (cont.) • 9) Resposta a todos os estados nulos • Neste caso a resposta é devida somente as entradas e todas as condições iniciais são nulas • 10) Resposta a entradas nulas • Neste caso a resposta é devida somente as condições iniciais e todas as entradas são nulas

8. Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas - para sistemas de dados contínuos • Se u(t), y(t), e g(t) são a entrada, saída e resposta a um impulso respectivamente • Se o sistema é linear, invariante com o tempo • Se tem-se condições iniciais iguais a zero o sistema é dito entrada finita e saída finita estável ou simplesmente estável, ( BIBO). • Se a sua saída finita é relacionada com a sua entrada finita

9. Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas - para sistemas de dados contínuos (cont.) Ou, tomando o valor absoluto dos dois lados da equação

10. Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas - para sistemas de dados contínuos (cont.) Como

11. Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas - para sistemas de dados contínuos (cont.) Como a saída também é finita ou

12. Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas - para sistemas de dados contínuos (cont.) Ou seja a condição explicitada na equação anterior implica em que a área sobre a curva de |g()| seja finita

13. Relação entre Raízes da Equação Característica e a Estabilidade • Raízes da equação característica devem estar sobre o lado esquerdo do plano complexo

14. Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula • Nesta parte serão definidos a estabilidade assintóticas e a estabilidade de entrada nula, será estabelecida a relação com a estabilidade “BIBO” (entrada e saídas finitas)

15. Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula • A estabilidade de entrada nula é a condição de estabilidade quando a entrada é nula, e o sistema é “movido apenas pelas condições iniciais” • Será mostrado que esta estabilidade tambem é função das raízes da equação característica

16. Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula Se a entrada de um sistema é nula, então a saída devido às condições iniciais y(t) será: Então

17. Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula • E gk (t)é a saída de resposta nula, devido a yk (to) • A estabilidade de entrada nula é definida como • Se y(t) , sujeito as condições inicias, alcança zero a medida que t aumenta o sistema é dito ser estável a entradas nulas, caso contrário o sistema é dito ser instável, i.e.

18. Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula A última equação requer que a magnitude de y(t) seja zero quando o tempo aumenta muito (tende a infinito). A isto se dá o nome de estabilidade assintótica

19. Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula

20. Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula Os termos esit das equações precedentes controlam a resposta a medida que y(t) tende a infinito, portanto as componentes reais de si tem de ser negativas. Isto é, as raízes da equação característica devem estar no lado esquerdo do plano s

21. Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula Estabilidade marginal ou Instabilidade marginal = quando a equação característica possui raízes no eixo jw, do plano s Exceção , quando o sistema for projetado para ser oscilante

22. Condições de Estabilidade de Sistemas Lineares (Invariantes como tempo) de Dados Contínuos • Condição de estabilidade Valores das raízes • Assintóticamente Todas as raízes no lado estável ou somente estável esquerdo do plano s • Estabilidade marginal ou si=0 para todo i para • instabilidade marginal raízes simples, e nenhum • . si>0 ( para raízes múltiplas)* • . * Há exceções • Instável si>0 para qq.i ou si=0 para qq raíz de ordem múltipla . Pelo menos uma raiz simples . no plano s ou no mínimo uma . raíz múltipla no eixo jw