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9.2 导数的应用(一)

9.2 导数的应用(一). 讲课人：宛芬. 导数应用的四个方面： 1.利用导数判断函数的单调性； 2.利用导数求函数的极值与最值； 3. 利用导数证明简单的不等式； 4.利用导数解决生活中“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”等优化问题。. 如果在某个区间内恒有 , 则 为常数. y. y. y=f(x). y=f(x). o. a. x. b. o. a. x. b. 1. 导数与函数单调性的关系 (1) 函数 y=f(x) 在某个区间内可导

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9.2 导数的应用(一)

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Presentation Transcript

  1. 9.2 导数的应用(一) 讲课人：宛芬

  2. 导数应用的四个方面： 1.利用导数判断函数的单调性； 2.利用导数求函数的极值与最值； 3.利用导数证明简单的不等式； 4.利用导数解决生活中“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”等优化问题。

  3. 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. y y y=f(x) y=f(x) o a x b o a x b 1.导数与函数单调性的关系 (1)函数y=f(x)在某个区间内可导 ①若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内_________； ②若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内_________. ③如果在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为________. 单调递增 单调递减 常数函数 f '(x)<0 f '(x)>0

  4. (1)函数单调性的充分条件 函数y=f(x)在某个区间(a,b)上可导， 若f'(x)>0,那么函数y=f(x)在(a,b)上单调递增； 若f'(x)<0,那么函数y=f(x)在(a,b)上单调递减。 (2)函数单调性的必要条件 函数y=f(x)在某个区间(a,b)上可导， 若y=f(x)在(a,b)上单调递增，则f'(x)≥0 若y=f(x)在(a,b)上单调递减，则f'(x)≤0 (3)函数单调区间的求法 ①先求定义域 ②求f'(x) ③解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0) ④将①和③的交集作为函数的单调增区间(或减区间)，注意，用“，”或“和”隔开

  5. (2)设f′(x)是函数f(x)的导函数， y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x) 的图象最有可能是______. 【即时应用】 (1)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上的单调情况是______. 单调递增 ③ (3)若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________.

  6. (4)核按钮变式1 C

  7. (5)核按钮变式2：

  8. 2.函数极值的概念 (1)极值点与极值 设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性____(或导数值异号)，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值. (2)极大值点与极小值点 ①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为_______点. ②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为_______点. (3)用导数法求极值的步骤 ①求导函数f'(x)；②求解方程f'(x)=0；③检查f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值. 相反 极大值 极小值 左负右正为极小，左正右负为极大。

  9. 例:下列函数中，x=0是极值点的函数 是( ) A.y=－x3 B.y=x2 C.y=x2－xD.y=1/x B 极值点两侧单调性互异,导函数异号

  10. 注：极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而

  11. 2. _________ 1. 即时应用 A 6

  12. 3.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)上有极小值，则实数b的取值范围是（ ） 4. D A

  13. 理解极值概念时需注意的几点 • (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的． • (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点． • (3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值． • (4)导数为0的点不一定是极值点.

  14. 注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一 2.最大值一定比最小值大. 3．函数的最值与导数 (1)函数y＝f(x)在闭区间[a，b]内每一点均可导，则y＝f(x)在闭区间[a，b]内必存在最大值和最小值，且f(x)max＝max{f(a)，f极大值(x)，f(b)}，f(x)min＝min{f(a)，f极小值(x)，f(b)}． (2)求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： ①求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)； ②将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,最大的一个为最大值，最小的 一个为最小值.

  15. y y 观察下列图形,你能找出函数的最值吗？ 因此：该函数没有最值。 f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3) y=f(x) y=f(x) a a x4 x4 x1 x1 x2 x2 x3 x3 x5 x5 x6 x6 b b o o x x 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值

  16. 例：函数 y = x³+ 3 x²－9x在 [－4, 4]上的最大值为,最小值为. 分析:(1) 由 f ´(x)=3x² +6x－9=0,得x1=－3，x2=1 当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表： 函数值为f (－3)=27, f (1)=－5 (2) 区间［－4, 4］端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76 比较以上各函数值， 可知函数在［－4, 4］上的最大值为 f (4) =76， 最小值为 f (1)=－5

  17. 练习：函数的最大值为___________. 【点评】利用导数探究函数的最值通常有二类： 第一类是在给定闭区间上的最值，这类问题既要研究极值，又要比较极值与区间端点函数值的大小，最终确定最值； 第二类是已知函数是单峰函数，这种情境下，极小值即最小值，极大值即最大值．

  18. 规范答题：核按钮例4

  19. 这节课复习到什么？

  20. 练习：已知函数 (1)若曲线y=f(x)与y=g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程； (2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时，求最小值φ(a)的解析式。

  21. 谢谢老师们和同学们

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